談“余弦定理”一節(jié)課的教學(xué)案例分析.doc

附件1沛縣（含徐州市）第四屆中小學(xué)教學(xué)案例封面案例題目：談“余 弦 定 理”一節(jié)課的教學(xué)案例分析案例涉及的學(xué)科：數(shù)學(xué) 學(xué)段：高中作者姓名：郝培影 出生年月：1977.8性別：男 職稱：中教一級(jí) 作者單位（全稱）：沛縣湖西中學(xué)郵編：221611 學(xué)校意見（鑒定是否抄襲）：學(xué)校印章年 月 日 縣區(qū)意見（是否同意上報(bào)）：?jiǎn)挝挥≌履?月 日 市評(píng)審小組認(rèn)定等次：簽名等次簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3復(fù)審認(rèn)定等次： 簽名：終審認(rèn)定等次： 簽名：談“余 弦 定 理”一節(jié)課的教學(xué)案例分析沛縣湖西中學(xué) 郝培影隨著教育改革的深化，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索能力是廣大教師非常重視的問題其中數(shù)學(xué)的教學(xué)也不僅僅是原來那種教師講解，學(xué)生被動(dòng)接受的傳統(tǒng)教學(xué)模式，而是要學(xué)生真正的參與進(jìn)去，成為學(xué)習(xí)的主體，通過其動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，引發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考、探索，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考、勇于歸納的良好思維品質(zhì)本文就“余弦定理”一節(jié)課的教學(xué)談?wù)剛€(gè)人的看法一、教學(xué)內(nèi)容分析蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修第章解三角形第單元第課余弦定理，改變了傳統(tǒng)的證明方法，是利用向量的數(shù)量積來推導(dǎo)余弦定理的要求學(xué)生正確理解定理的結(jié)構(gòu)特征，正確解決三角形邊角邊，邊邊邊，邊邊角的問題，通過定理的應(yīng)用，體會(huì)方程思想在解決問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力二、學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換以及正弦定理等有關(guān)內(nèi)容，對(duì)三角形中的邊角關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)，已能解決一些簡(jiǎn)單的邊角關(guān)系，在此基礎(chǔ)上探求余弦定理，會(huì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣.余弦定理的推導(dǎo)有一定的難度，這就要求教師要合理的設(shè)疑，正確的引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算-歸納-推理余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣 三、設(shè)計(jì)思想為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮在教學(xué)中的主體性，本課的教學(xué)采用探究式的教學(xué)方式，即教學(xué)過程中教師以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)問題情境，學(xué)生通過自主探究和合作交流，解決問題、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、歸納規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)“余弦定理”、證明“余弦定理”在此過程中，學(xué)生通過交流、討論，互為取長(zhǎng)補(bǔ)短，在知識(shí)形成發(fā)展過程中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體會(huì)方程思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，通過余弦定理解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，養(yǎng)成學(xué)以致用的品質(zhì)四、教學(xué)三維目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.掌握余弦定理的兩種表示形式，理解證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決 “邊角邊”、“邊邊邊”兩類基本的解三角形問題，以及邊邊角的問題；2.運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題（二）過程與方法 利用向量的數(shù)量積來推導(dǎo)余弦定理，通過余弦定理的變形推出其推論，并通過實(shí)踐掌握運(yùn)用余弦定理解決三角形邊角邊、邊邊邊、邊邊角的問題（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處解決三角形的一些問題；2. 通過三角函數(shù)、向量數(shù)量積、余弦定理等多處知識(shí)間聯(lián)系來理解事物之間的普遍聯(lián)系性.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積證明余弦定理. 六、教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1.三角形全等的判斷方法有哪些？2.向量加法的三角形法則是什么?3.正弦定理的內(nèi)容是什么？可解決哪幾類三角形的問題？【設(shè)計(jì)意圖】回顧已學(xué)相關(guān)知識(shí)，防止遺忘 4.在ABC中a8，b5，c60，你能求c邊長(zhǎng)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、坐標(biāo)系等方面進(jìn)行估計(jì)判斷【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生體會(huì)到正弦定理的不足，從而激發(fā)研究興趣，探索新知師：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、向量知識(shí)、平面直角坐標(biāo)系、三角函數(shù)等多方面進(jìn)行分析，選擇簡(jiǎn)潔的處理方法，引發(fā)學(xué)生的積極討論生1：過點(diǎn)B作BDAC交AC與D點(diǎn)，通過BCD可以求出線段BD、CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AD的值，再借助ABD求出線段AB的值，即c邊長(zhǎng)；生：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)(0,0),點(diǎn)A(5,0),通過三角函數(shù)可求出點(diǎn)B(4,),借助兩點(diǎn)距離公式可求出師:兩位同學(xué)的方法都很好,大家回想一下,我們?cè)趯W(xué)習(xí)向量的時(shí)候研究過向量加法的三角形法則,那么這個(gè)問題能否從向量的角度來思考呢? 【注】學(xué)生通過討論,終于有個(gè)學(xué)生說出自己的解法生3: 即 【評(píng)】通過具體問題的解題探究，為一般性問題的探究做鋪墊，使學(xué)生在探究新知是不會(huì)感到無從下手，通過類比容易找到解決一般性問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生從特殊演繹到一般的思考意識(shí)二、研探新知 師：通過這一具體問題的求解，同學(xué)們討論討論，我們能否借助這三位同學(xué)的方法解決任意三角形中邊角邊的問題生：如果用第一種方法需要對(duì)是銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類討論，比較麻煩，應(yīng)用第二、三種方法則不必討論，應(yīng)用第二種方法可做如下證明：建立直角坐標(biāo)系，則所以同理可證，生5：應(yīng)用向量的方法證明如下： 如圖，在中，、的長(zhǎng)分別為、，+， 即 ；同理可證：， 【設(shè)計(jì)意圖】在利用數(shù)量積計(jì)算時(shí)，兩個(gè)向量的夾角可能會(huì)找錯(cuò)，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果，教師要適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量的有關(guān)知識(shí)；同時(shí)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知于是得到以下定理余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 師：這幾個(gè)式子有怎樣的特點(diǎn)？可以什么樣的問題？學(xué)生：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍?？梢越鉀Q“邊角邊”問題【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識(shí)記，同時(shí)首尾呼應(yīng)師：從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？生：上面的式子可變形為：，可以由三邊求出一角，解決“邊邊邊”問題【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理的理解，熟悉其應(yīng)用范圍：已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角師：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？生：若中，C=，則，這時(shí)，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1在中，（1）已知，求；（2）已知，求例2 在中，最大角為最小角的2倍，且三邊、為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求、的值【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題,訓(xùn)練計(jì)算能力，同時(shí)，鞏固好正弦定理，余弦定理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)方法在解三角形中的綜合應(yīng)用例 以5，12，13為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以4，12，13為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以12，13，14為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形【設(shè)計(jì)意圖】用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長(zhǎng)去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例例在ABC中， 求邊 分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性【設(shè)計(jì)意圖】繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于正弦定理并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊邊角”問題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊四、鞏固深化，反饋矯正 . 在中，則_. 在中，則角的度數(shù)是_.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是、，則的取值范圍是_.用余弦定理證明：在中，當(dāng)為銳角時(shí)，；當(dāng)為鈍角時(shí)，【設(shè)計(jì)意圖】用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過知識(shí)回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲六、板書設(shè)計(jì)（略）七、教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、正弦定理等基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，從而我采取了從復(fù)習(xí)以前相關(guān)內(nèi)容入手，從解三角形的問題出發(fā)，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，在對(duì)舊知識(shí)應(yīng)用中提煉出新知識(shí)，從而新舊知識(shí)融為一體，使學(xué)生建立完整的知識(shí)系統(tǒng)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)知識(shí)進(jìn)行多角度分析問題，從而培養(yǎng)了學(xué)生思考問題的靈活性，在得到充分的討論后，找出問題解決的辦法，揭示了蘊(yùn)含在處理問題中的數(shù)學(xué)思想方法，不僅知其然，而且知其所以然在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出公式，通過類比的方法引導(dǎo)學(xué)生推到出三個(gè)等式和三個(gè)推論，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律的好習(xí)慣通過和勾股定理的比較，得出勾股定理是余弦定理的特殊情況，使學(xué)生加深了對(duì)余弦定理的理解，思維問題更加深入，提高了思維能力常言說：要學(xué)以至用余弦定理的應(yīng)用是本節(jié)教學(xué)的重要一環(huán)所以，例題的選擇和講解是學(xué)習(xí)本節(jié)課的重要一環(huán)例1、例2是余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，目的在于鞏固余弦定理知識(shí)，加深對(duì)定理的理解；例是余弦定理的變形應(yīng)用，通過本題的訓(xùn)練，使學(xué)生更靈活