一元二次方程的認(rèn)識(shí).doc

【例題1】 【基礎(chǔ)、提高】判斷下列方程是否一元二次方程：（1） （2）（3） （4）（5） （6）【分析】 （1）不是。因?yàn)樽罡叽螖?shù)是（2）不是。因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)是（3）是的。符合一元二次方程的定義（4）不是。含有兩個(gè)未知數(shù)（5）不是。不是整式方程（6）不是。不是整式方程【精英】判斷下列關(guān)于的方程何時(shí)為一元二次方程：（1） （2）（3） （4）【分析】 （1）當(dāng)時(shí)。最高次數(shù)是，是一元二次方程。（2）不是。因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)是（3）當(dāng)，即時(shí)，符合一元二次方程的定義（4）這里出現(xiàn)了、兩個(gè)未知數(shù)比較特殊，如果未知數(shù)前的系數(shù)均為0，那么就符合一元二次方程的定義。，解得，即當(dāng)、均為0時(shí)，其為一元二次方程?！纠}2】 【基礎(chǔ)】方程化成一元二次方程的一般式是 【分析】 【提高、精英】把方程化為一元二次方程的一般形式是 【分析】 原方程化為，整理得到。注意：不能寫為，因?yàn)閮蓚€(gè)方程的系數(shù)是不一樣的?！纠}3】 【基礎(chǔ)、提高】方程是一元二次方程嗎？【分析】 一個(gè)方程是一元二次方程，必須滿足兩個(gè)條件：它是整式方程，方程中含有一個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是。判斷一個(gè)只含一個(gè)未知數(shù)的整式方程是不是一元二次方程時(shí)，通常應(yīng)先將這個(gè)方程整理成所含各項(xiàng)的次數(shù)不同的形式，再觀察含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是否為。由于本題所討論的這個(gè)方程經(jīng)整理后為，其中含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是，所以它不是一元二次方程，而是一元一次方程?！揪ⅰ恳阎匠淌顷P(guān)于的一元二次方程，則對(duì)應(yīng)、的值有（ ）.組 .組 .組 .組【分析】 本題有種情況：,這個(gè)方程組都有解，且各不相同，所以選。【例題4】 指出方程，的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)?！痉治觥?原方程可變形為，整理，得，所以，二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是。原方程可變形為，所以，二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是?！纠}5】 【基礎(chǔ)】關(guān)于的方程當(dāng) 時(shí)是一元二次方程，當(dāng) 時(shí)是一元一次方程?！痉治觥?當(dāng)即時(shí)，原方程為一元二次方程。當(dāng)而時(shí)，即時(shí)，原方程為一元一次方程?！咎岣摺糠匠淌顷P(guān)于的一元二次方程，則的值為 【分析】 由題意可得：，且，解得【精英】當(dāng) 時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程；當(dāng) 時(shí)，這個(gè)方程是一元一次方程?！痉治觥?由一元二次方程的定義，二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，即，可得。若原方程是一元一次方程，則二次項(xiàng)的系數(shù)等于零，且一次項(xiàng)系數(shù)不為零；即，解得?！纠}6】 【基礎(chǔ)】已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，求的值?！痉治觥?把代入方程中，得到，解得，再將代入原方程，得到，為一元二次方程，所以?！咎岣?、精英】已知是一元二次方程的一個(gè)根，則 【分析】 將代入方程，得，解得，但應(yīng)有，因此。【例題7】 根據(jù)題意，列出方程（不求解）（1）一個(gè)矩形花園，面積為，長(zhǎng)比寬多，求花園的長(zhǎng)和寬。（2）有一個(gè)矩形，面積為，若將它的一邊剪短，另一邊剪短，恰好變?yōu)橐粋€(gè)正方形，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。（3）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，一條直角邊比另一條直角邊長(zhǎng)，求兩條直角邊的長(zhǎng)度?！痉治觥?（1）設(shè)長(zhǎng)方形的寬為，其方程為（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，其方程為（3）設(shè)直角三角形的較短的直角邊的長(zhǎng)為，其方程為【例題8】 若方程的一個(gè)根與它的倒數(shù)相等，則的值為 【分析】 一個(gè)數(shù)與它的倒數(shù)相等的數(shù)是，因此方程的根是或，分別代入得到?！纠}9】 【基礎(chǔ)】已知是關(guān)于的方程的一個(gè)解，求的值?！痉治觥?把代入方程中得，解得，將代入，得到【提高、精英】已知是方程的一個(gè)根，求的值?！痉治觥?因?yàn)槭撬f(shuō)方程的根，所以，故，由此得到溫馨提示：求也可用下面的方法：因，將兩邊同除以，易得到，故。【例題10】 若方程與方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值?！痉治觥?假定這個(gè)相同的實(shí)數(shù)根為，則將它代入兩個(gè)方程，得到兩個(gè)關(guān)于、的等式，視它們?yōu)殛P(guān)于、的方程組，即可求出的值。設(shè)是兩個(gè)方程相同的根，則有，。（*）兩式相減，得，即，所以或。當(dāng)時(shí)，兩個(gè)方程都是。這個(gè)方程無(wú)實(shí)根，故不合題意。當(dāng)時(shí)，代入（*）式中任何一式，都可以解得，所以?！纠}11】 （年浙江省競(jìng)賽題）一元二次方程中，若、都是偶數(shù)，是奇數(shù)，則這個(gè)方程（ ）.有整數(shù)根 .沒(méi)有整數(shù)根 .沒(méi)有有理數(shù)根 .沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】 。假設(shè)有整數(shù)根，不妨設(shè)它的根是或（為整數(shù)），分別代入原方程得方程兩邊的奇偶性不同的矛盾結(jié)果，所以排除；若、分別取，則排除。故選?！纠}12】 【基礎(chǔ)、提高】方程的根是 ?！痉治觥?或，所以或?！揪ⅰ浚陻?shù)學(xué)周報(bào)杯競(jìng)賽題）已知三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為 【分析】 設(shè)是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則，。把三個(gè)式子相加，并整理得。因?yàn)?，所以。于是【練?xí)1】 【基礎(chǔ)】下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（ ）. . . .【分析】 【提高、精英】下列方程 其中是一元二次方程的有 ?！痉治觥?【練習(xí)2】 判斷下列方程是不是一元二次方程如果不是，請(qǐng)說(shuō)出為什么 ； ； ； ； （和都是未知數(shù)）； ； （是系數(shù)）； （是未知數(shù)）【分析】 是分式方程，是二元方程，整理后是一元一次方程，當(dāng)時(shí)是一元二次方程，當(dāng)時(shí)是一元一次方程，因?yàn)橛肋h(yuǎn)成立，所以無(wú)論為何值，方程都是一元二次方程，是一元二次方程【練習(xí)3】 【基礎(chǔ)】關(guān)于的方程當(dāng) ，它是一元二次方程。【分析】 【提高】為何值時(shí)，方程是一元二次方程，當(dāng)為何值時(shí)，此方程是一元一次方程?！痉治觥?原方程可以化為，當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，即；當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，即?！揪ⅰ糠匠淌顷P(guān)于的一元二次方程，求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的積?！痉治觥?是關(guān)于的一元二次方程,應(yīng)滿足，則當(dāng)時(shí)，原方程為，所以二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，因此它們的積威?！揪毩?xí)4】 【基礎(chǔ)、提高】若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為零，則的值為_(kāi)【分析】 由題意得到:，解得?！揪ⅰ咳羰顷P(guān)于的一元二次方程，求、的值【分析】 分以下幾種情況考慮： ，此時(shí)，； ，此時(shí)，； ，此時(shí)，【練習(xí)5】 若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，求的值?！痉治觥?把代入方程得，而時(shí)，不合題意，舍去。所以，?！揪毩?xí)6】 已知關(guān)于的方程有一個(gè)根為，另一個(gè)根為，則 ， ， 【分析】 把代入得，把代入得，兩式相加得，即?！揪毩?xí)7】 若是方程的一個(gè)根，則的值為 【分析】 把代入方程得，因?yàn)?，所以，即?！揪毩?xí)8】 已