（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第六章 不等式、推理與證明 課時分層作業(yè)四十 6.6 數學歸納法 理.docVIP

課時分層作業(yè) 四十數學歸納法一、選擇題(每小題5分,共35分)1.用數學歸納法證明“2nn2+1對于nn0的正整數n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應取()a.2b.3c.5d.6【解析】選c.當n=1時,21=2=12+1,當n=2時,22=422+1=5,當n=3時,23=832+1=10,當n=4時,24=1652+1=26,當n=6時,26=6462+1=37,故起始值n0應取5.2.(2018淄博模擬)設f(x)是定義在正整數集上的函數,且f(x)滿足:當f(k)k+1成立時,總能推出f(k+1)k+2成立,那么下列命題總成立的是()a.若f(1)2成立,則f(10)11成立b.若f(3)4成立,則當k1時,均有f(k)k+1成立c.若f(2)2,f(8),f(16)3,f(32),觀察上述結果,可推測出一般結論()a.f(2n)b.f(n2)c.f(2n)d.以上都不對【解析】選c.f(2)=f(21)=,f(4)=f(22),f(8)=f(23),f(16)=f(24),f(32)=f(25),由此可推知f(2n).6.用數學歸納法證明1+2+3+2n=2n-1+22n-1(nn*)時,假設n=k時命題成立,則當n=k+1時,左端增加的項數是()a.1項b.k-1項c.k項d.2k項【解析】選d. 運用數學歸納法證明1+2+3+2n=2n-1+22n-1(nn*)當n=k時,則有1+2+3+2k=2k-1+22k-1(kn*)左邊表示的為2k項的和.當n=k+1時,則左邊=1+2+3+2k+(2k+1)+2k+1,表示的為2k+1項的和,因此,增加了2k+1-2k=2k項.7.(2018商丘模擬)已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c對一切nn*都成立,則a,b,c的值為()a.a=,b=c=b.a=b=c=c.a=0,b=c=d.不存在這樣的a,b,c【解題指南】根據數學歸納法的要求,只需代入前三個數即可.【解析】選a.因為等式對一切nn*均成立,所以n=1,2,3時等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018洛陽模擬)用數學歸納法證明1+1)時,第一步應驗證的不等式是_.解析】由nn*,n1知,n取第一個值n0=2,當n=2時,不等式為1+2.答案:1+的過程中,由n=k推導n=k+1時,不等式的左邊增加的式子是_.導學號12560630【解析】不等式的左邊增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n為正偶數,用數學歸納法證明1-+-+-=2(+)時,若已假設n=k(k2且k為偶數)時命題為真,則還需要用歸納假設再證()a.n=k+1時等式成立b.n=k+2時等式成立c.n=2k+2時等式成立d.n=2(k+2)時等式成立【解析】選b. k為偶數,則k+2為偶數.2.(5分)用數學歸納法證明“1+1,nn*),求證:1+(n2,nn*).【證明】(1)當n=2時,=s4=1+=1+,即n=2時命題成立;(2)假設當n=k(k2,kn*)時命題成立,即=1+1+,則當n=k+1時,=1+1+1+=1+=1+,故當n=k+1時,命題成立.由(1)和(2)可知,對n2,nn*.不等式1+都成立.5.(13分)在數列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nn*,0). (1)求a2,a3,a4.(2)猜想an的通項公式,并加以證明.【解析】(1)a2=2+2+2(2-)=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24.(2)由(1)可猜想數列通項公式為:an=(n-1)n+2n.下面用數學歸納法證明:當n=1,2,3,4時,等式顯然成立,假設當n=k(k4,kn*)時等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么當n=k+1時,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k-1)k+1+k+1+2k+1