隨機(jī)理論及Zipf定律的研究及其在金融中的應(yīng)用-金融數(shù)學(xué)碩士論文

碩士學(xué)位論文隨機(jī)理論及Zipf定律的研究及其在金融中的應(yīng)用Study on Stochastic Theory and Zipfs law and Its Application in Finance作者：郭亞龍導(dǎo)師：王 軍北京交通大學(xué)2011年5月學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解北京交通大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。特授權(quán)北京交通大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué)校向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤。（保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說明）學(xué)位論文作者簽名： 導(dǎo)師簽名：簽字日期： 年 月 日 簽字日期： 年 月 日中圖分類號：O211.9UDC：學(xué)校代碼：10004密級：iv北京交通大學(xué)碩士學(xué)位論文隨機(jī)理論及Zipf定律的研究及其在金融中的應(yīng)用Study on Stochastic Theory and Zipfs law and Its Application in Finance作者姓名：郭亞龍學(xué) 號：09122141導(dǎo)師姓名：王 軍 職 稱：教授學(xué)位類別：理 學(xué) 學(xué)位級別：碩 士學(xué)科專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究方向：金融數(shù)學(xué)北京交通大學(xué)2011年5月致謝本論文的工作是在我的導(dǎo)師王軍教授的悉心指導(dǎo)下完成的，王軍教授嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和科學(xué)的工作方法給了我極大的幫助和影響。在此衷心感謝兩年來王軍老師對我的關(guān)心和指導(dǎo)。兩年來，無論是在研究生的課程學(xué)習(xí)當(dāng)中，還是在論文的選題，研究和定稿當(dāng)中，王老師自始至終給了我無私的關(guān)懷和大力的幫助。兩年的研究生生活之中，王老師淵博的知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度使我受益匪淺，并將受益終身。而跟隨王老師學(xué)習(xí)以及課題研究也為我以后工作的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。在此，向王老師表示衷心的感謝。感謝我的父母對我多年的教育與培養(yǎng)，在我遇到各種困難時，他們總是在積極地鼓勵我，支持我，給與我精神上的支持和物質(zhì)上的幫助，使我能夠全身心的投入到課題研究中去。在撰寫論文期間，潘活潑、余峣等同學(xué)對我論文中的研究工作給予了熱情幫助，在此向他們表達(dá)我的感激之情。感謝我同門的師兄師姐和師弟師妹，和他們共同學(xué)習(xí)的過程中，收獲頗多。另外也感謝我的朋友們，他們的理解和支持使我能夠在學(xué)校專心完成我的學(xué)業(yè)。感謝各位學(xué)者，專家在百忙之中審閱我的文章，并給出批評意見。中文摘要摘要：本文研究了語言統(tǒng)計學(xué)中的Zipf定律，闡述了與之相關(guān)的基本理論及相關(guān)知識。在此及基礎(chǔ)上，結(jié)合隨機(jī)理論和金融學(xué)的有關(guān)知識，構(gòu)造了新的證券價格波動模型和-Zipf模型。在新的證券價格波動模型中，我們引入了三個參數(shù)：Zipf指數(shù)，時間尺度，預(yù)期收益率。針對不同參數(shù)，我們給出了價格上漲，價格下跌，價格穩(wěn)定的絕對頻率和相對頻率，并進(jìn)一步分析了中國證券投資者的心理行為特征。通過MATLAB以及SPSS編程，我們對上證綜合指數(shù)的單日收益率序列進(jìn)行了Zipf分析，通過計算Zipf指數(shù)找出大盤與個股之間，不同時間尺度之間價格波動的差異，并通過KS檢驗對其進(jìn)行了正態(tài)性分析。在-Zipf模型中，我們引入了兩個新的參數(shù)：字母子序列長度，字母序列所含不同字母個數(shù)。我們討論了當(dāng)取2和3時，不同下的中國證券指數(shù)和國際主要證券指數(shù)價格波動情況。通過計算每個股指的Zipf指數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)了中國證券市場與國際主要證券市場的價格波動差異。此外，我們還對上證綜合指數(shù)的單日及5日的各種不同收益序列進(jìn)行了R/S分析，借此分析了上證綜合指數(shù)的長期記憶性問題。我們發(fā)現(xiàn)，不管是單日還是5日收益，上證綜合指數(shù)均存在著長期記憶性。另外，通過計算上證綜合指數(shù)及其50支權(quán)重股的分形Zipf指數(shù)和Hurst指數(shù)，我們找出了中國證券市場兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而將一個非時間序列與時間序列聯(lián)系起來，有其一定的參考意義。關(guān)鍵詞： Zipf指數(shù)；收益率；相對頻率；絕對頻率；H指數(shù)；-Zipf分類號：0211.9ABSTRACTABSTRACT:In this paper,we study the Zipf law in language statistics,and introduce the basic and relative knowledge on Zipf law.On the basic of Zipf law,we construct a new price fluctuation of stock model and -Zipf model,which applies the theories about stochastic process and finance.In the new price fluctuation of stock model,we give three parameters:the Zipf exponent,the time scale,the expected rate of return. For different time scales and expected rates of return,we estimate the relative frequencies and absolute frequencies of prcies up,prices down and prcies stable.Moreover,we also analyze the psychological behavior of Chinese investors.We apply the computer simulate the daily return series of Shanghai Composite Index by Zipf analysis.By estimating the Zipf exponent,we find the ties and differences between broader market and individual stocks.In -Zipf model,we give two new parameters:the length of sub-sequence of alphabet sequence,the number of different alphabets of alphabet sequence.We discuss the price fluctuation of Chinese main stock index and the international main stock index when and ,and study the difference between them by estimating the Zipf exponent.In addition,we study the different return series of Shanghai Shanghai Composite Index by R/S analysis,and study the long-term memory of price fluctuation based on this.We find that the Shanghai Shanghai Composite Index exsit the long-term memory whatever daily return or 5-day return.Moreove,we find the mathematical relationship between Zipf exponent and H exponent by analyzing the Shanghai Shanghai Composite Index and its fifty heavyweight stocks,so that we can link the non-time series with the time series.KEYWORDS:Zipf exponent;return;relative frequency;absolutef requency;H exponent；-ZipfCLASSNO.：0211.9目錄中文摘要iiiABSTRACTiv1 緒論71.1 引言71.2 選題背景81.2.1 金融數(shù)學(xué)的發(fā)展81.2.2 股票指數(shù)介紹91.2.3 冪律與肥尾101.3 隨機(jī)過程與時間序列111.4 收益和風(fēng)險121.4.1 收益率131.4.2 收益率過程141.4.3 風(fēng)險的度量142 利用Zipf理論構(gòu)造股市波動過程及理論分析162.1 Zipf定律162.2 模型構(gòu)造182.3 模型的實證研究202.4 非隨機(jī)預(yù)期收益率下的Zipf分布232.5證券收益率的Zipf實證研究242.5.1 KolmogorovSmirnov檢驗242.5.2一日收益率的Zipf分析252.5.3 不同時間尺度的收益率的Zipf分析273 基于(m,k)-Zipf分析的證券市場統(tǒng)計特征293.1 -Zipf模型的構(gòu)造293.2 -Zipf的實證研究294 中國股市分形結(jié)構(gòu)研究344.1 分形理論344.1.1 分形布朗運動344.1.2 時間序列的長期記憶性344.2 RS分析方法354.2.1 經(jīng)典RS分析方法354.2.2 修正R/S分析方法374.3 證券市場的R/S分析384.4 分形的Zipf指數(shù)與赫斯特指數(shù)間的關(guān)系405 結(jié)論42參考文獻(xiàn)43作者簡歷46獨創(chuàng)性聲明471 緒論1.1 引言在經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展的今天，隨著經(jīng)濟(jì)及科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，在全球經(jīng)濟(jì)一體化不斷加速以及市場經(jīng)濟(jì)的不斷完善的今天，數(shù)學(xué)被越來越多的應(yīng)用的經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域。尤其是在我國加入WTO后，金融市場得到了迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)思想在證券、期貨、基金、保險等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并形成了金融數(shù)學(xué)這一門學(xué)科。金融數(shù)學(xué)又稱數(shù)理金融學(xué)、數(shù)學(xué)金融學(xué)、分析金融學(xué)，是指采用高等數(shù)學(xué)的方法研究金融資產(chǎn)及其衍生資產(chǎn)定價、復(fù)雜投資技術(shù)與公司金融政策的一門交叉學(xué)科。要求我們利用數(shù)學(xué)工具研究金融，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、理論分析、數(shù)值計算等定量分析，以求找到金融內(nèi)在規(guī)律并用以指導(dǎo)實踐。金融數(shù)學(xué)也可以理解為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與計算技術(shù)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用，是目前十分活躍的前沿學(xué)科之一。由于金融市場的不確定性，金融市場上的價格波動現(xiàn)象可歸結(jié)為隨機(jī)數(shù)學(xué)的問題，如我們常常假設(shè)證券市場中證券價格的波動服從某一個隨機(jī)過程，像幾何布朗運動，然后進(jìn)行隨機(jī)分析。在對金融市場的統(tǒng)計特性進(jìn)行分析時，我們采用的最多是利用時間序列來對金融市場的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和分析，而在本文中，我們將引入一種新的分析方法Zipf（齊普夫）分析。近些年來，尤其是20世紀(jì)90年代以后，源于語言統(tǒng)計學(xué)的Zipf定律被廣泛的應(yīng)用到金融市場中來，以H.E. Stanley、N.Vandewalle、M.Ausloos為首的學(xué)者在這方面做了大量工作，見文獻(xiàn)1-6。通過Zipf分析，我們將時間序列轉(zhuǎn)換成離散的非時間序列。本文為了研究國內(nèi)證券市場與西方發(fā)達(dá)國家證券市場在價格波動方面的異同，我們以證券市場每天的收盤價為研究對象，應(yīng)用Zipf定律與隨機(jī)函數(shù)及分形理論的結(jié)合，構(gòu)造不同的價格波動模型，著重對Zipf指數(shù)進(jìn)行分析。根據(jù)1991年4月至2010年月各股指的大盤收盤價，應(yīng)用MATLAB（文獻(xiàn)78）及SPSS（文獻(xiàn)9）對構(gòu)造的隨機(jī)模型進(jìn)行分析。1.2 選題背景1.2.1 金融數(shù)學(xué)的發(fā)展金融數(shù)學(xué)是一門方興未艾的交叉學(xué)科，是通過數(shù)學(xué)的理論以及方法來研究金融市場運行規(guī)律的一門新興學(xué)科。金融數(shù)學(xué)也可以看做是現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法與計算機(jī)技術(shù)在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用,其研究的主要問題包括資資產(chǎn)定價問題、證券投資組合問題、證券市場價格波動及預(yù)測問題等等。金融數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到20世紀(jì)初, 法國學(xué)者Louis Bachelier在他的博士論文投機(jī)理論中詳細(xì)討論了數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用問題, 這也宣告了金融數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科的誕生。這篇論文把股票價格的變動描述為布朗運動, 這也是第一次給布朗運動以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述, 這一理論為金融數(shù)學(xué)的發(fā)展以及現(xiàn)代期權(quán)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。到了20世紀(jì)50年代，與數(shù)學(xué)理論相結(jié)合的現(xiàn)代金融理論正式形成。1952年，隨著Markowitz的資產(chǎn)組合的風(fēng)險模型（文獻(xiàn)10）推出，數(shù)理工具被第一次運用于金融研究中的定量檢驗和預(yù)測。Markowitz的風(fēng)險模型是假設(shè)投資者的預(yù)期效用函數(shù)是包含均值和方差兩個變量的函數(shù)。Markowitz也因此獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。到了20世紀(jì)60年代，在Markowitz工作的基礎(chǔ)上，Sharpe、Mossin、Lintner也分別年獨立地對任一證券組合收益與某個共同參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了研究，從而得到了資本資產(chǎn)定價模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。其中主要運用了帶參數(shù)的隨機(jī)二次規(guī)劃理論，并研究在一定風(fēng)險水平下達(dá)到最佳收益的投資組合問題。這一時期，另一個影響深遠(yuǎn)的理論是Samuelson與Fama在1965年提出的有效市場假說（Efficient Market Hypothesis，EMH），其中包括理性投資者、隨機(jī)游走和有效市場等三個方面。該假說表明了證券價格不可能通過歷史價格和其他信息來預(yù)測，另外一個信息機(jī)制和功能完備的資本市場的資產(chǎn)價格動態(tài)規(guī)律可以用鞅來進(jìn)行描述。有效市場假說對于套利定價理論、期權(quán)定價公式、資產(chǎn)組合理論等證券投資理論的證明有著極其重要的意義。20世紀(jì)70年代，金融理論的研究重點轉(zhuǎn)移到對金融衍生產(chǎn)品諸如期權(quán)期貨的定價問題。在1973年，Black和Scholes建立了期權(quán)定價模型，該模型利用了概率空間上的Ito過程，導(dǎo)出了隨機(jī)微分方程，從而得到了標(biāo)的資產(chǎn)價格過程。期權(quán)定價理論對金融市場的繁榮有著重要意義，大量的金融衍生品被創(chuàng)造出來進(jìn)入投資市場，金融市場得到了前所未有的發(fā)展。Black也因此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。此后，Ross又建立套利定價理論，研究了多時期證券市場的均衡定價，非對稱信息下的金融市場問題。到了20世紀(jì)80年代，現(xiàn)代金融理論和市場得到了迅猛發(fā)展，在此期間誕生了四個重要的金融工具，即期權(quán)交易、互換交易、票據(jù)發(fā)行便利和遠(yuǎn)期利率協(xié)議，而金融工程的出現(xiàn)也為金融市場的繁榮注入了新的活力，成為了金融市場創(chuàng)新的最新潮流和主要方向。隨著對金融工程理論研究的深入，金融工程已經(jīng)成為了金融理論的重要組成部分，在國際金融市場中占有極其重要的位置。20世紀(jì)90年代至今，隨著全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展一體化和國際金融市場一體化的情況，新的金融工具被不斷開發(fā)出來為金融發(fā)展服務(wù)。整個國際金融市場隨著金融創(chuàng)新理論的不斷發(fā)展以及金融工具的持續(xù)創(chuàng)造得到了巨大的效益和發(fā)展。金融工程也逐漸從金融學(xué)中獨立出來成為一門交叉新興學(xué)科。金融工程從廣義上講，金融工程將工程思維引入金融領(lǐng)域，綜合地采用各種工程技術(shù)方法（主要有計算機(jī)仿真模擬、網(wǎng)絡(luò)圖解、數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算等）設(shè)計、開發(fā)和投入新型金融產(chǎn)品，創(chuàng)造性地解決各種金融問題。而狹義角度，是就技術(shù)層面而言，指明了金融工程的最核心部分，即風(fēng)險管理的工具和技術(shù)。金融與數(shù)學(xué)的結(jié)合，是當(dāng)今金融學(xué)發(fā)展的一個趨勢，它對金融定量研究的深入發(fā)展有著關(guān)鍵性的作用。新興的金融工程則是金融與數(shù)學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，其必將對金融的發(fā)展起到巨大的推動作用。1.2.2 股票指數(shù)介紹股票指數(shù)全稱為股票價格指數(shù)，是由證券交易所或金融服務(wù)機(jī)構(gòu)編制的一種旨在表明股票市場波動的指示數(shù)據(jù)。它僅僅是一種參考值。由于股票價格走勢不定，投資者將面對股票價格風(fēng)險。對于單一的股票價格變化，投資者可以比較容易掌握，但對于很多種股票的價格的綜合變化，這是不容易做到的。為了能滿足這個要求，一些金融服務(wù)機(jī)構(gòu)就利用自己的業(yè)務(wù)知識和熟悉市場的優(yōu)勢，編制了股票價格指數(shù)，公開發(fā)布，作為股票市場價格的變動的指標(biāo)。投資者可以依據(jù)股票指數(shù)來檢驗自己投資的結(jié)構(gòu)，并用它來自我預(yù)測股票市場可能的動向。同時社會各界，例如公司領(lǐng)導(dǎo)人，各級政府領(lǐng)導(dǎo)人等等，都可以以此來，觀察并預(yù)測經(jīng)濟(jì)發(fā)展的形勢。股票價格指數(shù)是描述股票市場總的價格水平變化的指標(biāo)。它是通過選取一組有代表性的股票，把它們的價格加權(quán)，通過特定的計算方法計算。股票指數(shù)的在具體選股和計算方法都是有所不同的。一般計算股票指數(shù)，要考慮三個因素：一是抽樣，即在眾多股票中抽取少數(shù)具有代表性的成分股；二是加權(quán)，按單價或總值加權(quán)，或不加權(quán)平均；三是計算程序，計算算術(shù)平均數(shù)、集合平均數(shù)，或兼顧價格與總值。中國股票市場中，上海證券交易所綜合指數(shù)（上證綜指）和深圳證券交易所成份股價指數(shù)（簡稱深證成指），是中國證券市場中兩個最重要的股票指數(shù)。它們能比較全面的反映中國上海和深圳的股票市場情況。對于了解這中國證券市場的情況，是一個很好的參考。上證綜指是指上海證券交易所從1991年7月15日起編制并公布的、以全部上市股票為樣本、以股票發(fā)行量為權(quán)數(shù)，按加權(quán)平均法計算的股價指數(shù)。它以1990年12月19日為基期，基期指數(shù)定位100點。指數(shù)計算：以樣本股的發(fā)行股本數(shù)為權(quán)數(shù)進(jìn)行加權(quán)計算，計算公式為：報告期指數(shù)=報告期成份股的總市值/基期*基期指數(shù)；其中總市值=所有股票個數(shù)*（相應(yīng)市價*發(fā)行股數(shù)）。深證成指是深圳證券交易所的主要股票。它是按一定標(biāo)準(zhǔn)選出40家有代表性的上市公司作為成份股，用成份股的流通數(shù)作為權(quán)數(shù)，采用綜合法進(jìn)行編制而成的股價指標(biāo)。從1995年5月1日起開始計算，基數(shù)為1000點。其基本公式為：股價指數(shù)=現(xiàn)實成份股總市值/基期成份股總市值*1000。在本文中，將對中國股票指數(shù)和國際主要股票指數(shù)進(jìn)行對比研究，并對上證綜指進(jìn)行多方面的分析和研究，通過其統(tǒng)計現(xiàn)象，進(jìn)一步了解證券市場價格波動的統(tǒng)計規(guī)律。1.2.3 冪律與肥尾近年來，學(xué)者們對金融市場的價格波動做了大量的研究工作。高頻金融時間序列的一些統(tǒng)計特征被揭露，比如收益分布的肥尾現(xiàn)象，對數(shù)收益率的冪律分布。見參考文獻(xiàn)11-16。金融市場是一個包含大量相互作用單元的復(fù)雜系統(tǒng)，并且受到各種外部因素的影響，各個組成單元的的性質(zhì)和相互作用的規(guī)律相當(dāng)復(fù)雜，而各種外部因素（如與資產(chǎn)有關(guān)的信息）在很大程度上也都是不可預(yù)測的，這些原因都導(dǎo)致了金融市場的隨機(jī)性和復(fù)雜性。因此，人們很早就開始嘗試用概率和統(tǒng)計的方法來研究這一類系統(tǒng)。其中關(guān)于金融資產(chǎn)收益率分布的研究在理論和應(yīng)用兩方面都具有重要意義。20世紀(jì)50年代后，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對于金融資產(chǎn)收益率的研究有了迅速的發(fā)展。一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家假設(shè)：金融資產(chǎn)對數(shù)價格變化而非價格的絕對變化是獨立分布的隨機(jī)變量。冪律（power law）的最顯著特征就是，等級越高則越不均衡。其數(shù)學(xué)原理很簡單冪律描述的是這樣一組數(shù)據(jù)，其第n個位置的秩（rank）是第1個位置的秩的1/n。對于一個純冪律分布，第一位與第二位之間的差距要大于第二位與第三位之間的差距，以此類推。以維基百科的文章編輯為例，你可以料到排名第二的最活躍用戶的編輯量只及第一名編輯量的一半，而排名第10的只做了后者的1/10。這也是所謂“80/20法則”背后的形態(tài)按照現(xiàn)代金融理論的觀點（文獻(xiàn)17），由于市場參與者如此眾多并有理性，根據(jù)中心極限定理，收益率序列的分布函數(shù)應(yīng)當(dāng)漸進(jìn)為正態(tài)分布。由于信息具有非滯后性，序列應(yīng)當(dāng)呈現(xiàn)不相關(guān)性或獨立性。但現(xiàn)實中的證券市場具有肥尾的特征，分布的非正態(tài)性和序列的非獨立性。分形市場理論和行為金融理論可解釋這一現(xiàn)象。密度函數(shù)為肥尾性和非正態(tài)性有兩種解釋：一種認(rèn)為是由于信息的成堆出現(xiàn)引起價格的巨大波動；另一種解釋認(rèn)為投資主體對信息的處理是非線性的，信息并非馬上在當(dāng)前的價格中反映出來，信息的累積效應(yīng)使得價格大幅波動，從而導(dǎo)致肥尾現(xiàn)象的產(chǎn)生，因此收益率分布的非獨立性部分源于信息的滯后效應(yīng)和累積效應(yīng)。從社會學(xué)的觀點來說，人們都存在群體歸宿感和基于此產(chǎn)生的安全感，因此面對不確定性和潛在損失，特別是經(jīng)濟(jì)政策的非連續(xù)性、經(jīng)濟(jì)周期、制度變遷等外部因素加大金融市場的不確定性時，投資者會產(chǎn)生集體性的行為，也即心理學(xué)中的從眾心理或羊群效應(yīng)，這些都會放大市場信息，導(dǎo)致正反饋效應(yīng)。從風(fēng)險管理的角度來看，肥尾意味著在小概率情況下存在著相對于正態(tài)分布而言更高的風(fēng)險值。風(fēng)險產(chǎn)生的原因在于市場的不確定性，當(dāng)噪聲交易者主導(dǎo)市場而產(chǎn)生噪聲交易風(fēng)險時，理性投資者的投資起點從長期投資轉(zhuǎn)化為短期投機(jī)行為，兩異質(zhì)的投資主體有相同的投資起點，市場的流動性降低，市場處于不穩(wěn)定和高風(fēng)險中。因此，當(dāng)一個市場由投機(jī)者即噪聲交易者主導(dǎo)時，泡沫產(chǎn)生，投資主體處于高風(fēng)險中。1.3 隨機(jī)過程與時間序列參考文獻(xiàn)1819,我們給出以下定義：定義1-1設(shè)是給定的概率空間，為一指標(biāo)集，對于任意，都存在定義在上，取值于的隨機(jī)變量與它相應(yīng)。則稱依賴于的一族隨機(jī)變量為隨機(jī)過程，簡記為。對于任一個時間，隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望定義為：隨機(jī)過程的方差：定義1-2對于隨機(jī)序列，如果對任意的，有（1）（2）（3），對任意的則稱為白噪聲序列。即互不相關(guān)的離散時間序列。定義1-3設(shè)為一個時間序列，且符合，如果為白噪聲序列，則稱為隨機(jī)游走序列。由于所以；定義1-4如果隨機(jī)過程滿足（1）；（2）有平穩(wěn)獨立增量；（3）對于每一個，有，則稱為Brown運動。1.4 收益和風(fēng)險1.4.1 收益率在證券市場里，價格和收益率都是投資者衡量某一證券業(yè)績的指標(biāo)。但收益率比價格作用更加明顯：首先，相對于一般投資者而言，金融市場更接近于一個完全競爭的市場，因為投資者的投資規(guī)模不會影響價格變化。收益率由于沒有涉及到度量尺度，所以是對投資機(jī)會是一個很好的說明。其次，在理論和實踐應(yīng)用中，與價格相比較，收益率也有更好的統(tǒng)計性質(zhì)和特征。收益率主要分為絕對收益率和相對收益率。絕對收益率是期末價格減去期初價格的差值。由于絕對收益率不便于相互比較，所以很少使用。相對收益率是單位化的收益率，一般包括百分比收益率和對數(shù)收益率。（文獻(xiàn)2021）百分比收益率假設(shè)一個證券在時刻的價格為，那么從時刻到的百分比收益率為：則可以計算出從時刻到時刻共個單期總收益乘積，即百分比收益率雖然直觀，容易計算。但是它卻存在一些缺陷。第一，百分比收益率有時候并不滿足正態(tài)分布假設(shè)。因為投資者的損失最多限于自己的資金投入，那么收益率的變化范圍為。這與正態(tài)分布是不一致的。第二，即使單期收益率服從正態(tài)分布，多期收益率也不服從正態(tài)分布。因為多期收益與單期收益是乘積的關(guān)系，而正態(tài)隨機(jī)變量乘積是不服從正態(tài)分布的。這在金融模型數(shù)據(jù)處理中會遇到很多問題。因此，產(chǎn)生了另一種收益率的度量方法。對數(shù)收益率對數(shù)收益率也稱為連續(xù)復(fù)合收益率，經(jīng)常被定義為其中，。由于自然對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)是無窮小量的時候，和是等價無窮小量。在上述公式下，同樣可以計算出從時刻到時刻共個單期總收益乘積，即使用對數(shù)收益率的優(yōu)勢：第一，即便在有限原則之下，對數(shù)收益率的理論值也在之間。第二，多期收益計算也比較簡潔，而且其算術(shù)形式下也仍為正態(tài)分布，便于數(shù)學(xué)模型應(yīng)用。1.4.2 收益率過程參考文獻(xiàn)22，我們接著給出收益率過程的定義。定義：設(shè)表示某一只股票在時刻的股票價格過程（或者股票指數(shù)），表示某一股票時刻的收益率，并對所有的，令其中令，那么定義，稱為的收益率過程，也稱為收益過程。若令價格函數(shù)的初始值為，我們可以推出價格過程與收益過程的關(guān)系如下：根據(jù)前式有在下面模型構(gòu)造中，我們將建立收益過程，再通過上述兩者的關(guān)系得到價格或指數(shù)過程。1.4.3 風(fēng)險的度量 在投資過程中，風(fēng)險受到投資者的關(guān)注。但如何衡量風(fēng)險呢？風(fēng)險是實際收益對期望收益的偏離，是收益的不確定性，那么風(fēng)險就可以用概率來度量。金融風(fēng)險可以進(jìn)一步表述為“用概率度量的進(jìn)入資產(chǎn)收益的不確定性”，它表現(xiàn)為實際收益與期望收益的偏離，實際收益與期望收益可能發(fā)生地偏離越大，相應(yīng)的金融風(fēng)險也越大。在這樣的定義下，風(fēng)險可以用金融資產(chǎn)收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量，標(biāo)準(zhǔn)差越大，收益的離散程度越大，相應(yīng)的風(fēng)險就越大。我們先求出期望收益，用符號表示，因此，風(fēng)險的度量公式可以寫為，或因此，我們就得到了風(fēng)險和收益的表達(dá)式，理論上已經(jīng)證明，只要收益服從正態(tài)分布，使用方差可以很好的度量風(fēng)險。但是在實際生活中，獲得投資的收益率分布往往是不太可能的。因為投資者不可能得到所有相關(guān)的信息的。那么人們就必須能估計出一個可靠的收益分布。利用歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測收益和方差，是一個常用的辦法。因為歷史數(shù)據(jù)還是比較容易獲得的，所以用歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測收益率和度量風(fēng)險是可行的。那么計算收益率和方差的公式可寫為，或其中，是歷史收益率的個數(shù)，是第期的收益率。2 利用Zipf理論構(gòu)造股市波動過程及理論分析2.1 Zipf定律Zipf是由美國學(xué)者G.K.齊普夫于20世紀(jì)40年代提出的詞頻分布定律(文獻(xiàn)2324)。是一個在情報學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計有著廣泛應(yīng)用的經(jīng)驗定律。指的是在物理和社會科學(xué)中的很多數(shù)據(jù)研究都近似于一個Zipf分布。這個定律用第一個提出該定律的美國哈佛大學(xué)學(xué)者George Kingsley Zipf命名。盡管在這之前，J.B. Estoup已經(jīng)注意到這一規(guī)律。其主要的理論基礎(chǔ)是：如果把一篇較長文章中每個詞出現(xiàn)的頻次統(tǒng)計起來, 按照高頻詞在前, 低頻詞在后的遞減順序排列, 并用自然數(shù)賦予這些詞順序值, 即頻最高的詞順序值為1, 頻次次之的詞順序值為2, . 若用表示頻次, 表示順序值, 則有(為常數(shù)，取決于文集). 在Gorge Kingsley Zipf的工作基礎(chǔ)上, 后人又提出了修正式, 1936年美國語言學(xué)家Joose提出了雙參數(shù)分布律: , 其中都是參數(shù), 隨著文集中詞數(shù)的增多而變大.由, 有, 做出對的圖像, 此圖像呈一條斜率為的直線.設(shè)序列是隨機(jī)變量的個觀察值，對這個觀察值從大到小進(jìn)行排序, 記排序后的順序統(tǒng)計量為。做出對的圖像, 這就是Zipf圖像。在文獻(xiàn)23中，G.K. Zipf指出詞頻的Zipf指數(shù)為1，即在一篇文章中，每個單詞出現(xiàn)的頻率，從高到低滿足：。對于該結(jié)論，我們有如下證明：假設(shè)某文章使用了N個不同的詞，這N個詞出現(xiàn)的頻率依從大到小的順序依次為，那么根據(jù)信息論的有關(guān)定義，可以認(rèn)為，這N個詞的平均信息量為：，顯然，盡量使這N個詞傳輸?shù)钠骄畔⒘枯^大也是撰文著述者遵循的一個原則。由此，我們希望 （1.1.1）應(yīng)較大。式（1.1.1）中為各詞的平均序號。由于式（1.1.1）有約束條件，由拉格朗日乘數(shù)法可知，欲使R最大，須： （1.1.2）令，可將式（1.1.2）轉(zhuǎn)化為：,即,所以： （1.1.3）從而有：，得出，將其代入（1.1.3）得到，即 （1.1.4）令，則有：成立。該式有唯一的正根，由此，（1.1.4）可以轉(zhuǎn)化為： （1.1.5）由對數(shù)透視原理： （1.1.6）其中為“對數(shù)透視系數(shù)”。因此式（1.1.5）應(yīng)變更為 （1.1.7）令，則2.2 模型構(gòu)造為了研究原油價格的波動趨勢，有關(guān)原油價格動力學(xué)的模型在文獻(xiàn)2526中提出，并給出了預(yù)期收益的概念。在本部分論文中我們將考慮簡建立一個隨機(jī)環(huán)境下的證券價格波動模型，并用Zipf方法來研究該模型下不同時間尺度的概率分布，絕對概率以及相對概率。我們用來表示股票日收盤價的時間序列，然后將這一時間序列映射為一個字母序列（文獻(xiàn)27），如下圖為一定時間內(nèi)某支股票的漲跌情況，我們用“u”表示上漲，用“d”表示下跌（當(dāng)價格處于不變的時候，我們將其視為上漲）。則下圖可以表示成字符序列uudddddududuudu。uudddddududuudu即：令為給定的時間尺度，我們可以定義在時間尺度下的股票對數(shù)收益率，定義如下： 其中，。接下來我們考慮建立一個在時間尺度下及隨機(jī)環(huán)境下的對數(shù)價格變動模型。令是概率空間上的一個非負(fù)的隨機(jī)變量，我們將稱之為這個模型中的一個隨機(jī)閾值。例如，可以是區(qū)間上的一個均勻分布，也可以等同于隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布等等。這樣，就得到了一個源于原始的股票價格時間序列的新的時間序列，具體定義如下：其中，分別表示“價格上漲”，“價格穩(wěn)定”以及“價格下降”。在這個模型中，隨機(jī)閾值表示股票投資者的預(yù)期收益率?，F(xiàn)實中，股票市場中的大量信息將會對投資者對股票市場預(yù)期產(chǎn)生影響，包括投資者的股票買入點，股票賣出點等等。在目前的中國證券市場，證券市場的交易規(guī)則以及管理系統(tǒng)正在發(fā)生著巨大的變化。比如，股價每日的漲跌受到限制，現(xiàn)在是每天漲跌不超過10%，股份制改革，在香港股市直接投資，設(shè)立諸如期貨和期權(quán)等金融衍生產(chǎn)品等。另一方面，股票價格的估值，市場上的正面和負(fù)面新聞，趨勢，歷史數(shù)據(jù)，當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)形勢，可預(yù)見的未來信息，政治事件和經(jīng)濟(jì)政策等方面也可能影響市場參與者的投資態(tài)度。這就意味著投資環(huán)境會隨著時間的變化而變化?？紤]到這些，我們構(gòu)造了上述的股票價格模型。然后，我們將針對不同的參數(shù)和，對時間序列的波動特征（絕對頻率和相對頻率）進(jìn)行研究。令，和分別表示價格上漲，價格穩(wěn)定以及價格下跌等三種情況出現(xiàn)的頻率，然后我們給出時間序列在這三種情況下的絕對頻率，如下所示：其中，。在證券市場，股票價格出現(xiàn)較大幅度波動的概率往往是比較小的。考慮到這個特點，上面定義的各種情況出現(xiàn)的概率依賴于概率分布。接下來，我們定義時間序列的相對概率，即：在上面對相對概率的定義上，我們不考慮價格穩(wěn)定是的相對概率，因此和分別衡量價格上漲和價格下降兩種情況下的相對概率。接下來，我們將考慮當(dāng)兩個參數(shù)和取不同的值時，相對概率和絕對概率的統(tǒng)計特征。2.3 模型的實證研究在本節(jié)中，我們選取上證綜合指數(shù)2000年1月4日至2009年11月20日的每日收盤價對3.1模型中的絕對頻率和相對頻率進(jìn)行實證研究。我們對和取不同的值，并在MATLAB中對上述模型進(jìn)行模擬，計算出對應(yīng)的絕對頻率和相對頻率，并在圖3-1和圖3-2中給出了相應(yīng)的曲線圖。在圖2-1和圖2-2中，橫坐標(biāo)表示隨機(jī)預(yù)期收益率，縱坐標(biāo)表示時間序列的絕對頻率（相對頻率）。從圖3-1(a)和圖3-1（b）我們可以發(fā)現(xiàn)價格上漲函數(shù)和價格下降函數(shù)隨著遞增而遞減。并且對于兩個不同的時間尺度和，當(dāng)時，曲線總處于曲線的上方，同樣價格下降函數(shù)曲線也存在相同的特征。但是對于價格穩(wěn)定函數(shù) ，圖3-1（c）顯示其存在著前面兩者相反的趨勢特點，也就是說，會隨著的遞增而遞增。圖3-1顯示，對于給定的時間尺度，絕對頻率函數(shù)曲線會隨著值的增加而達(dá)到一個拐點。另外，當(dāng)時間尺度增加時，相應(yīng)的值（即絕對頻率函數(shù)拐點處的值）也會變大。除此之外，我們也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，相應(yīng)的拐點值（橫坐標(biāo)）明顯遠(yuǎn)大于當(dāng)時的拐點值。表3-1給出了絕對頻率函數(shù)曲線和相對頻率函數(shù)曲線達(dá)到拐點時的具體數(shù)值。我們可以發(fā)現(xiàn)時，價格上漲和價格穩(wěn)定在上不會出現(xiàn)拐點。圖3-2給出了不同時間尺度和不同預(yù)期收益率下相對頻率的分布曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，相對頻率的散點大體集中在0.5附近；而當(dāng)（）變大時，相對頻率的散點會迅速地從0.5附近向兩端發(fā)散。再聯(lián)想到中國股市的股價每日波動是有限制的，即當(dāng)天股價變動在-10%到10%之間，反映到本文章中，即。通過上面的論述，由于相對頻率的散點當(dāng)時會集中在0.5附近，也就是說當(dāng)時，相對頻率的變化相對穩(wěn)定，我們可以得出是一個低風(fēng)險的預(yù)期收益率這樣一個結(jié)論。而市場參與者如果希望獲得比0.1這一收益率更大的收益，他也將面對一個較高的投資風(fēng)險。(a)價格上漲的絕對頻率 (b)價格下降的絕對頻率(c)價格穩(wěn)定的絕對頻率圖2-1：上證綜合指數(shù)在隨機(jī)預(yù)期收益率下的不同時間尺度的絕對頻率分布(a)價格上漲的相對頻率 (b)價格下降的相對頻率圖2-2：上證綜合指數(shù)在隨機(jī)預(yù)期收益率下的不同時間尺度的相對頻率分布表2-1：絕對頻率和相對頻率的拐點值0.0990.0890.0990.0890.0890.2120.1630.2120.1630.1630.3500.2490.3500.2490.2490.6470.4000.6470.4000.4001.1730.5431.1730.5430.5430.7090.7090.7092.4 非隨機(jī)預(yù)期收益率下的Zipf分布在本節(jié)中，我們研究當(dāng)預(yù)期收益率不是隨機(jī)的時股票收益的絕對頻率。假設(shè)，比如。接著我們研究價格上漲和價格下降的Zipf分布。同樣對于不同的時間尺度，我們計算并畫出了相應(yīng)的Zipf分布圖。圖3-3給出了絕對頻率的Zipf分布圖，對圖中的曲線進(jìn)行擬合得出了相應(yīng)的Zipf指數(shù)，并在表3-2中計算出了的具體值。通過表3-2我們發(fā)現(xiàn)，除了當(dāng)時的曲線斜率小于1外，圖中的其他五個時間尺度下的Zipf曲線的斜率均大于1。由于一年的交易數(shù)據(jù)大概就是250個，所以可以看做是年收益率，這就是說當(dāng)投資期限是一年或者長于一年，證券價格上漲預(yù)期的波動會低于短期投資，即。由于這種現(xiàn)象的存在，我們定義短期投資期限，即和長期投資期限，即或者。我們也注意到，在短期投資期限內(nèi)，隨著時間尺度的增加，投資風(fēng)險也會增大，因為隨著的增加，標(biāo)準(zhǔn)差也在逐漸增加。 (a)價格上漲的Zipf分布(b)價格下降的Zipf分布圖2-3：上證綜合指數(shù)絕收益率對頻率的Zipf分布表2-2：絕對頻率Zipf分布的統(tǒng)計特征1.86552.22292.01371.46091.21020.62850.03010.04900.07550.10300.12370.09471.57641.98181.85631.39741.04620.58890.02680.04240.06080.08310.09800.13082.5證券收益率的Zipf實證研究2.5.1 KolmogorovSmirnov檢驗單樣本KS檢驗是用于比較某個變量觀測值的累積分布函數(shù)與指定的理論分布間是否存在差異(文獻(xiàn)2829)。指定的理論分布包括正態(tài)分布、均勻分布、Poisson分布及指數(shù)分布，是非參數(shù)檢驗的單樣本檢驗方法。KS檢驗的檢驗方法是以樣本數(shù)據(jù)的累積頻數(shù)分布與特定理論分布比較，若兩者的差距很小，則推定該樣本取自某特定分布族。下圖是一幅100個隨機(jī)數(shù)的正態(tài)累計頻數(shù)分布及理論正態(tài)分布函數(shù)圖。KS檢驗是通過考察圖中兩條曲線間的最大距離和最小距離來檢驗觀測值的累積分布函數(shù)是否服從正態(tài)分布。圖2-4 樣本數(shù)據(jù)的累積分布和正態(tài)分布圖:某變量的觀測值服從指定的理論分布；：某變量的觀測值不服從指定的理論分布；表示理論分布的分布函數(shù)，表示一組隨機(jī)樣本的累積頻率函數(shù)。KS檢驗的統(tǒng)計量定義如下：結(jié)論：當(dāng)實際觀測值（表示樣本容量為，顯著性水平為時，的拒絕臨界值），則拒絕，反之則接受假設(shè)。2.5.2一日收益率的Zipf分析為了研究我國證券市場中單一個股的價格波動同大盤價格波動的關(guān)系。我們運用Zipf定律對上證綜合指數(shù)（SSE）及在上海證券交易所上市的五只權(quán)重股即浦發(fā)銀行（PFYH）、寶鋼股份（BGGF）、華能國際（HNGJ）、中國石化（SINOPEC）和方正科技（FZKJ）進(jìn)行分析。選取它們從2005年1月4日到2009年11月20日間的每日收盤價作為研究數(shù)據(jù)，運用MATLAB及SPSS得出Zipf曲線、Zipf指數(shù)及相關(guān)統(tǒng)計量。從而驗證證券市場的長尾現(xiàn)象，并通過KS統(tǒng)計量考察證券收益同正態(tài)分布的相關(guān)性。圖2-5：上證綜指及五支權(quán)重股單日收益率的Zipf分布圖圖2-5給出了上證綜指和五支權(quán)重股單日收益率的Zipf分布圖。從圖中可以看出上證綜指及五支權(quán)重股收益率分布的走勢大致一致，但上證綜指的走勢相對五支權(quán)重股要平緩一些，而五支權(quán)重股的走勢基本重合；說明在中國證券市場，權(quán)重股在大盤的漲跌中扮演了重要角色，大盤的漲跌與權(quán)重股的漲跌基本一致。同時，六者的第10位到第100位間的收益率分布曲線大致和斜率為-1的直線平行。另外，大的收益率對應(yīng)的數(shù)據(jù)點較少，而在所有曲線的尾部集中了大部分的數(shù)據(jù)點，從而驗證了證券市場普遍存在的“長尾”現(xiàn)象。表2-3：上證綜指及五支權(quán)重股的Zipf指數(shù)及有關(guān)統(tǒng)計量上證綜指浦發(fā)銀行中國石化華能國際寶鋼股份方正科技樣本量118511301147114211461170期望0.01480.02420.02190.02150.02050.0246標(biāo)準(zhǔn)差0.01420.02280.02070.01980.02070.02321.00341.00391.00371.00391.00371.0037KS檢驗量5.1045.0274.9164.6905.4344.931絕對距離0.1480.1500.1380.1220.1610.144P值000000表2-3給出了經(jīng)過多項式擬合的上證綜指及五支權(quán)重股的Zipf指數(shù)的值，以及KS檢驗的結(jié)果。我們可以發(fā)現(xiàn)，各支股票的值基本接近或者相同，上證指數(shù)的值最小，為1.0034。這一結(jié)果與圖2-5各股票的走勢是一致的。上證指數(shù)的值最小使我們可以猜想在數(shù)據(jù)足夠多的情況下，大盤的波動比個股的波動要略小一些，但是從大盤的波動也基本可以看出個股的波動情況。值得注意的是，Zipf指數(shù)所體現(xiàn)的波動情況并不代表每一股票或者指數(shù)的整體波動情況，比如浦發(fā)銀行和華能國際的Zipf指數(shù)均為1.0039，但是兩者的標(biāo)準(zhǔn)差并不一樣。這是因為我們所求的Zipf指數(shù)并不是對于整個樣本而言，而是對于集中了大部分的樣本點的區(qū)間的；而標(biāo)準(zhǔn)差則是對整個樣本而言的。另外，從表中的KS檢驗的相關(guān)統(tǒng)計量可以看出，上證綜指及五支權(quán)重股的收益率分布大致是服從正態(tài)分布的。這也進(jìn)一步的解釋了證券市場的“長尾”現(xiàn)象：在證券市場中，除尾部外，證券的收益分布是大致服從正態(tài)分布的。2.5.3 不同時間尺度的收益率的Zipf分析在2.1的定義中，在證券市場，不同時間尺度對應(yīng)的對數(shù)收益率被定義為：。通過選取上證綜合指數(shù)從2000年1月4日至2009年11月20日的每天股市收盤價，我們上證綜指收益率在不同時間尺度下的Zipf分布。并且在圖2-6中給出了時的對應(yīng)Zipf分布曲線。通過曲線擬合，我們在表2-4中得出了對應(yīng)的Zipf指數(shù)。實證表明，當(dāng)時間尺度取短期投資期限即時，Zipf指數(shù)基本接近于1。而當(dāng)時間尺度取長期投資期限即時，Zipf指數(shù)（）相對于短期投資期限來說要遠(yuǎn)大于1。這種情況說明，在上證綜指里，長期投資期限收益率的Zipf分布在某種程度上與短期投資期限收益率的Zipf分布相背離。表2-4：不同時間尺度的上證綜指收益率的Zipf指數(shù)1.08220.95450.89900.92411.02841.18830.01250.02620.05290.11310.21910.5076事實上，圖2-6和表2-4中所反映出來的特性是符合當(dāng)下中國證券市場的特點的。中國證券市場相對于西方發(fā)達(dá)國家的證券市場來說，是一個正在發(fā)展當(dāng)中的且歷史較短的金融市場。在20年地改革以及開放資本市場后，現(xiàn)在金融市場在中國的國民經(jīng)濟(jì)中扮演著非常重要的角色。中國的風(fēng)險投資市場吸引著全世界的投資者，特別的是中國的股市有著極其龐大的散戶投資者，他們往往對他們能否在短時間內(nèi)獲得較高收益極其關(guān)注，但對長期投資卻關(guān)注甚少。在中國，由于投資資金全球范圍內(nèi)的流轉(zhuǎn)以及大的股價波動伴隨著大的成交量。我們常常能看到股市大漲或者大跌的情況。投資者的這種“羊群行為”在中國證券市場更為明顯。這些現(xiàn)象也就支持了我們上述實證研究所得出的結(jié)論：時的收益率Zipf分布在某種程度上不同時的收益率Zipf分布相似。圖2-6：上證綜合指數(shù)不同時間尺度下的收益率的Zipf分布3 基于(m,k)-Zipf分析的證券市場統(tǒng)計特征3.1 -Zipf模型的構(gòu)造定義：設(shè)是一個時間序列，按照3.1的原則將序列映射成為含有個字母的相應(yīng)的字母序列。將序列等分成長度為的N個子序列，其中。然后再對序列進(jìn)行Zipf分析。這樣的Zipf分析我們稱之為-Zipf分析。從上面的定義中我們可以發(fā)現(xiàn)，(m,k)-Zipf是一種基于分形思想的Zipf分析方法，見參考文獻(xiàn)303132。根據(jù)上述定義，我們可以構(gòu)造出一個證券收盤價的-Zipf分析模型。假設(shè)，即將證券收盤價時間序列映射成字母序列后只出現(xiàn)兩個字母，我們用“u”和“d”來表示，如果數(shù)據(jù)足夠多，那么映射后的字母序列存在個不同的子序列。對于子序列，我們定義它的相