微積分基本定理及其生活應(yīng)用.ppt

深大師院二附校唐麗 微積分基本定理 一 教材分析 地位 作用 歐洲數(shù)學(xué)家們沖出了古希臘人 嚴(yán)格證明 的圣殿 以直觀推斷的思維方式 創(chuàng)立了被恩格斯譽(yù)為 人類精神的最高勝利 的微積分學(xué) 微積分基本定理正是它的核心 2 教學(xué)重點(diǎn) 難點(diǎn)分析 重點(diǎn) 通過(guò)探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系 發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛形 進(jìn)而把結(jié)論一般化 是這節(jié)課的重點(diǎn) 難點(diǎn) 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定積分的基本思想來(lái)探究問(wèn)題 同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的意義作為橋梁來(lái)轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點(diǎn) 教學(xué)目標(biāo)分析 知識(shí)目標(biāo) 使學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程 直觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義 并理解導(dǎo)數(shù)與定積分的互逆關(guān)系 通過(guò)計(jì)算兩個(gè)簡(jiǎn)單的定積分 使學(xué)生體會(huì)微積分基本定理的優(yōu)越性 理解微積分在數(shù)學(xué)史上舉足輕重的地位 能力目標(biāo) 讓學(xué)生能夠體會(huì)微積分運(yùn)動(dòng)變化地思維方式和初等數(shù)學(xué)中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別 并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過(guò)程中善于變通的思想 敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神 情感目標(biāo) A揭示尋求計(jì)算定積分新方法的必要性 激發(fā)學(xué)生的求知欲 B體會(huì) 以直代曲 臨淵羨魚(yú) 不如退而結(jié)網(wǎng)的思想 C感受用近似無(wú)限接近精確的方法 教學(xué)方法和手段 盡管已是高中學(xué)生 但抽象的概念依然令學(xué)生望而生畏 因此著眼于個(gè)別實(shí)例的研究 強(qiáng)調(diào)來(lái)龍去脈 淡化證明過(guò)程 學(xué)生既不用面對(duì)極限 無(wú)窮項(xiàng)求和 導(dǎo)數(shù) 積分綜合難題的證明 又不失為良好的推導(dǎo)微積分基本定理的過(guò)程 由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù) 知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率 路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為速度 二 學(xué)情分析 根據(jù)函數(shù)曲線圖學(xué)生不難看出位移差 二 學(xué)情分析 上一節(jié)中剛學(xué)習(xí)了 汽車行駛的路程 學(xué)生明白路程的計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)求定積分的過(guò)程 即對(duì)的定積分 讓學(xué)生再一次感受小區(qū)間不斷細(xì)分對(duì)近似程度的影響 如何通過(guò)逐步逼近而求出定積分 教學(xué)過(guò)程 引題 追根溯源 公元3世紀(jì)誕生的劉徽著名的 割圓術(shù) 割之彌細(xì) 所失越少 則與圓周合體而無(wú)所失矣 割之又割 以至于不可割 教學(xué)過(guò)程 情景設(shè)置 首先讓學(xué)生回顧計(jì)算的過(guò)程 分割 近似代替 求和 取極限 教學(xué)過(guò)程 接著動(dòng)手利用定義計(jì)算 重復(fù)以上步驟學(xué)生遇到了麻煩 引導(dǎo)學(xué)生分析原因 和式難求 當(dāng)被積函數(shù)是如何求呢 探究 問(wèn)題模型 尋求新方法 如圖 一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由導(dǎo)數(shù)的概念可知 它在任意時(shí)刻t的速度是 設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的位移為S 你能分別用 表示 嗎 觀察圖象得到物體的位移s 即 分析 下面我們討論如何用速度函數(shù)v t 來(lái)表示位移s 因?yàn)樵谏弦还?jié) 汽車行駛的路程 中 學(xué)生知道了位移就是對(duì)速度函數(shù)v t 的定積分 在此學(xué)生肯定會(huì)聯(lián)想到只要知道了v t 不就解決了嗎 但是題目已知的只是路程函數(shù)s t 因此接下來(lái)的關(guān)鍵在于建立v t 與s t 的關(guān)系 下面分8個(gè)步驟來(lái)討論 微積分基本定理 就是勾股定理 以研究這小段山高為例 問(wèn)題1能否把一小段的山高近似地看作一個(gè)直角三角形呢 問(wèn)題2假設(shè)是直角三角形 那么斜邊如何構(gòu)造呢 問(wèn)題3在這個(gè)直角三角形種哪些量是已知或可求的 通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)山高那么把所有累加起來(lái)不正好就是山的高度嗎 分割 等分成n個(gè)小區(qū)間 可用線段 來(lái)近似代替曲邊AB 得到直角三角形ACD AD正是曲線在左端點(diǎn)A處的切線 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 AD的斜率就是tan DAC 所以 另一方面曲線S在左端點(diǎn)A處的切線就是 引進(jìn)導(dǎo)數(shù) 近似代替 當(dāng)很小時(shí) 我們可以認(rèn)為 求和 取極限 物體的總位移的近似值就越接近精確值S 即 讓學(xué)生觀察 這不正是速度函數(shù)的定積分嗎 引入定積分得到左邊雛形 建立導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系 歸納小結(jié) 式表明 速度函數(shù)在區(qū)間 a b 上的定積分等于位移函數(shù)在區(qū)間 a b 的右端點(diǎn)處的函數(shù)值s b 與左端點(diǎn)處的函數(shù)值s a 之差 式是否具有一般性呢 水到渠成 給出微積分基本定理的一般形式 連續(xù)函數(shù)f x 若 則 即牛頓 萊布尼茲公式 Newton LeibnizFormula 1642 1727 巨人的肩膀 活學(xué)活用 利用微積分基本定理解決前面的問(wèn)題 以學(xué)生練習(xí) 討論為主 讓學(xué)生與上一節(jié)例題比較 得出結(jié)論 結(jié)果相同 但比用定義計(jì)算定積分簡(jiǎn)單 教師給出規(guī)范的書寫格式 初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性 知識(shí)的延伸 通過(guò)計(jì)算下列定積分得到定積分的幾何意義 通過(guò)計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論 試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 我們發(fā)現(xiàn) 定積分的值可取正值也可取負(fù)值 還可以是0 2 當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時(shí) 定積分的值取正值 3 當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時(shí) 定積分的值取負(fù)值 4 當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方的面積等于位于x軸下方的面積時(shí) 定積分的值為0 得到定積分的幾何意義 曲邊梯形面積的代數(shù)和 生活鏈接 假設(shè)一物體從飛機(jī)上扔下 t秒物體的下落速度近似為 1 寫出t秒后物體下落距離的表達(dá)式 2 如果是從高出地面5000m的高空處扔下 那么大約經(jīng)過(guò)多少秒后將觸到地面 四 教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 整個(gè)是由特殊到一般 直觀到抽象 這