高數(shù)試題分析、詳解和評注.doc

高數(shù)試題分析、詳解和評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 的斜漸近線方程為 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.【詳解】 因為a=， ，于是所求斜漸近線方程為【評注】 如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應熟練掌握。這里應注意兩點：1）當存在水平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2）若當時，極限不存在，則應進一步討論或的情形，即在右或左側是否存在斜漸近線。完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.192【例7.32】（2） 微分方程滿足的解為.【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價為，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為【評注】 本題雖屬基本題型，但在用相關公式時應注意先化為標準型. 另外，本題也可如下求解：原方程可化為 ，即 ，兩邊積分得 ，再代入初始條件即可得所求解為完全類似公式見數(shù)學復習指南（理工類）P.154（3）設函數(shù)，單位向量，則=.【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量的方向導數(shù)為： 因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】 因為 ，于是所求方向導數(shù)為 =【評注】 本題若=非單位向量，則應先將其單位化，從而得方向余弦為：.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.330【例12.30】（4）設是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側，則.【分析】本題是封閉曲面且取外側，自然想到用高斯公式轉化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】 =.【評注】 本題屬基本題型，不論是用球面坐標還是用柱面坐標進行計算，均應特別注意計算的準確性，主要考查基本的計算能力.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.325【例12.22】（5）設均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.【詳解】 由題設，有 =，于是有 【評注】 本題相當于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若 ， ，則有 完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.356【例1.5】（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是考查的重點.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.492【例1.32】二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數(shù)，則f(x)在內(A) 處處可導. (B) 恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點. (D) 至少有三個不可導點. C 【分析】 先求出f(x)的表達式，再討論其可導情形.【詳解】 當時，； 當時，；當時，即 可見f(x)僅在x=時不可導，故應選(C).【評注】 本題綜合考查了數(shù)列極限和導數(shù)概念兩個知識點.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.56【例2.20】（8）設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調函數(shù)f(x)是單調函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項. 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應選(A).【評注】 函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調性已多次考查過. 請讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關系？完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.10【例1.51.7】（9）設函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導數(shù)， 具有一階導數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因為， ，于是 ， ， ，可見有，應選(B).【評注】 本題綜合考查了復合函數(shù)求偏導和隱函數(shù)求偏導以及高階偏導的計算。作為做題技巧，也可取，則，容易驗算只有成立，同樣可找到正確選項(B).完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.267【例10.16】及習題十（第11題）（10）設有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內該方程 (A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個偏導數(shù)，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導數(shù)不為0，則可確定相應的隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z)=, 則 ， ，且 ，. 由此可確定相應的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應選(D).【評注】隱函數(shù)存在定理是首次直接考查，有部分考生感到較生疏. 實際上本題也可從隱函數(shù)求偏導公式著手分析：若偏導表達式有意義，相應偏導數(shù)也就存在.定理公式見數(shù)學復習指南（理工類）P.270（11）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關，于是有 當時，顯然有，此時，線性無關；反過來，若，線性無關，則必然有(,否則，與=線性相關)，故應選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關的充要條件是故應選(B).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關與線性無關的概念.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.407【例3.17】（12）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質，只需利用初等變換與初等矩陣的關系以及伴隨矩陣的性質進行分析即可.【詳解】 由題設，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應選(C).【評注】 注意伴隨矩陣的運算性質：，當A可逆時，.完全類似例題及性質見數(shù)學復習指南（理工類）P.381【例2.14，例2.29】（13）設二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機事件與相互獨立，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設，知 a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應選(B).【評注】 本題考查二維隨機變量分布律的性質和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的基本內容.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.528【習題二，1.（9）】（14）設為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質和分布、t分布及F分布的定義進行討論即可.【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能斷定(B)是正確選項. 因為 ，且相互獨立，于是 故應選(D).【評注】 正態(tài)總體的三個抽樣分布：、是?？贾R點，應當牢記.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.575【習題五，2.(3)】三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設，表示不超過的最大整數(shù). 計算二重積分 【分析】 首先應設法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】 令 ， .則 = =【評注】 對于二重積分（或三重積分）的計算問題，當被積函數(shù)為分段函數(shù)時應利用積分的可加性分區(qū)域積分. 而實際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，如取絕對值函數(shù)、取極值函數(shù)以及取整函數(shù)等等.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.295【例11.1819】（16）（本題滿分12分）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項求導得到.【詳解】 因為，所以當時，原級數(shù)絕對收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而【評注】 本題求收斂區(qū)間是基本題型，應注意收斂區(qū)間一般只開區(qū)間. 而冪級數(shù)求和盡量將其轉化為形如或冪級數(shù)，再通過逐項求導或逐項積分求出其和函數(shù).完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.225【例8.26】（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分【分析】 題設圖形相當于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導數(shù)值.【詳解】 由題設圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =【評注】 本題f(x) 在兩個端點的函數(shù)值及導數(shù)值通過幾何圖形給出，題型比較新穎，綜合考查了導數(shù)的幾何意義和定積分的計算. 另外，值得注意的是，當被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導數(shù)時，一般優(yōu)先考慮用分部積分.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.118【例4.36,4.30】（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同的點，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應注意利用第一部分已得結論.【詳解】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，于是 【評注】 中值定理的證明問題是歷年出題頻率最高的部分，而將中值定理與介值定理或積分中值定理結合起來命題又是最常見的命題形式.完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.128【例5.4】,P.151【例5.25】（19）（本題滿分12分）設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x0內的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達式.【分析】 證明（I）的關鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求的表達式，顯然應用積分與路徑無關即可. Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則 .（II） 設，在單連通區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內與路徑無關，故當時，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而 【評注】 本題難度較大，關鍵是如何將待求解的問題轉化為可利用已知條件的情形.第二部分完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.340【例13.18】（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標準形；（III） 求方程=0的解.【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對應矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III） 利用第二步的結果，通過標準形求解即可.【詳解】 （I） 二次型對應矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標準型以及方程組求解等多個知識點，特別是第三部分比較新穎. 但仔細分析可以看出，每一部分均是大綱中規(guī)定的基本內容. 完全類似例題見數(shù)學復習指南（理工類）P.468【例6.2（2）】，P.473【例6.9】（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當于告之B的每一列均為Ax=0的解，關鍵問題是Ax=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為多少，而這又轉化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關，可作為其基礎解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設,則其通解為 為任意常數(shù).【評注】 AB=O這類已知條件是反復出現(xiàn)的，應該明確其引申含義：1）B 的每一列均為Ax=0的解；2）本題涉及到對參數(shù)k及矩陣A的秩的討論，這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會越來越