高中數(shù)學(xué) 1.6余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)課件 北師大版必修4 .ppt

五點(diǎn)法 畫函數(shù)的圖像 1 應(yīng)用范圍 畫形如y asinx b 或y acosx b x 0 2 的函數(shù)的圖像 五點(diǎn)法 畫函數(shù)的圖像 2 基本步驟 列表 取x 0 2 求出相應(yīng)的y值 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 描點(diǎn) 用光滑的曲線連線成圖 要注意用五點(diǎn)法畫正 余弦函數(shù)圖像的區(qū)別與聯(lián)系 例1 畫出y 2cosx 1在 0 2 上的圖像 審題指導(dǎo) 解答本題關(guān)鍵是畫出x 0 2 時(shí)圖像上的點(diǎn)的位置 規(guī)范解答 按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表 描點(diǎn)畫出圖像 如下 互動(dòng)探究 畫出y 1 2cosx在 0 2 上的圖像 解析 1 有關(guān)函數(shù)奇偶性的結(jié)論 1 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形 2 對于奇函數(shù) 當(dāng)x 0屬于定義域時(shí)必有f 0 0 對于偶函數(shù) 任意x屬于定義域都有f x f x 函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用 2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 1 畫關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的圖像 2 判斷函數(shù)的單調(diào)性 或比較函數(shù)值的大小 3 求函數(shù)的解析式 例2 已知函數(shù)y f x 是定義在r上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x sin2x cosx 求f x 審題指導(dǎo) 由已知得f x f x f 0 0 可由此求出x 0 x 0時(shí)f x 的解析式 規(guī)范解答 函數(shù)y f x 是定義在r上的奇函數(shù) f x f x f 0 f 0 f 0 0當(dāng)x 0時(shí) x 0 f x f x sin2 x cos x sin2x cosx 變式訓(xùn)練 若函數(shù)f x 是偶函數(shù) 且當(dāng)x 0時(shí) 有f x cos3x sin2x 求當(dāng)x 0時(shí) f x 的表達(dá)式 解題提示 解答本題可以利用函數(shù)f x 是偶函數(shù)的性質(zhì)f x f x 根據(jù)x 0時(shí)的解析式求出x 0時(shí)的解析式 解析 函數(shù)f x 是偶函數(shù) f x f x 當(dāng)x 0時(shí) x 0 f x f x cos3 x sin2 x cos3x sin2x 求函數(shù)的最大值 最小值的方法 1 直接法 根據(jù)函數(shù)值域的定義 由自變量的取值范圍求出函數(shù)值的取值范圍 2 利用函數(shù)的單調(diào)性 3 利用函數(shù)的圖像 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像上最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的問題 4 利用換元法 轉(zhuǎn)化為一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)問題 求函數(shù)的最大值 最小值 例3 2011 上饒高一檢測 已知x 1 求函數(shù)y cosx的值域 2 求函數(shù)y 3 1 cos2x 4cosx 4的最大值 最小值 審題指導(dǎo) 1 函數(shù)y cosx在區(qū)間上是先增后減的函數(shù) 求其值域可利用函數(shù)圖像 2 可用換元法 轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值 最小值 規(guī)范解答 1 畫出函數(shù)y cosx x 的圖像 如圖所示 由圖像可知 當(dāng)x 0時(shí) 函數(shù)取最大值1 當(dāng)時(shí) 函數(shù)取最小值 函數(shù)y cosx x 的值域?yàn)?2 原函數(shù)可化為y 3cos2x 4cosx 1令t cosx 則由 1 知t 當(dāng)時(shí) 函數(shù)取最大值 當(dāng)時(shí) 函數(shù)取最小值 函數(shù)y 3 1 cos2x 4cosx 4 x 的最大值為 最小值為 變式訓(xùn)練 定義運(yùn)算a b為 例如 1 2 1 求函數(shù)f x sinx cosx x 0 2 的值域 解題提示 解答本題可首先根據(jù)sinx與cosx的大小關(guān)系 確定函數(shù)f x 的解析式 然后畫出函數(shù)圖像 最后依據(jù)圖像寫出值域 解析 由題意得畫出函數(shù)圖像如下圖所示由圖像可知f x sinx cosx x 0 2 的值域?yàn)?例 已知函數(shù)y1 a bcosx x r的最大值為 最小值為 試求函數(shù)y2 b acosx的最大值 并寫出取得最大值時(shí)自變量x的集合 審題指導(dǎo) 解答本題可先利用待定系數(shù)法求出a b的值 然后求函數(shù)y2 b acosx的最大值 規(guī)范解答 函數(shù)y1的最大值是 最小值是 當(dāng)b 0時(shí) 解得 當(dāng)cosx 1時(shí) 取最大值 此時(shí)自變量x的集合為 x x 2k 1 k z 當(dāng)b 0時(shí) 解得當(dāng)cosx 1時(shí) 取最大值 此時(shí)自變量x的集合為 x x 2k 1 k z 變式備選 已知f x 2cosx a 2 a為常數(shù) 若x 時(shí) f x 的最小值為2 求a的值 解析 x 由函數(shù)y cosx的圖像可知 cosx cos0 即 令t cosx則f x g t 2t a 2 此函數(shù)在t 上是增加的 所以當(dāng)時(shí) g t 取最小值 即f x 取最小值a 1 由已知得a 1 2 所以a 1 典例 12分 1 已知 是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角 試證明 cos sin 2 已知 abc中 a b cosa sinb 試判斷 abc的形狀 審題指導(dǎo) 1 由題意知 且 可利用余弦函數(shù)的單調(diào)性證明 2 由cosa sinb得 據(jù)此判斷自變量a與的關(guān)系 規(guī)范解答 1 是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角 且 2分又 y cosx在區(qū)間 0 上是減少的 4分 2 cosa sinb 6分 a b 8分又 y cosx在區(qū)間 0 上是減少的 10分又 a b c abc是銳角三角形 12分 誤區(qū)警示 對解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下 即時(shí)訓(xùn)練 不求值 比較下列各對余弦值的大小 1 cos1155 和cos 1516 2 與 3 與 解析 1 cos1155 cos 3 360 75 cos75 cos 1516 cos1516 cos 4 360 76 cos76 y cosx在上是減少的 且0 75 76 90 cos75 cos76 即cos1155 cos 1516 2 y cosx在 0 上是減少的 且 即 3 y cosx在 0 上是減少的 且 即 1 下列關(guān)于y cosx x r的圖像描述錯(cuò)誤的是 a 在 0 2 和 4 6 上的圖像形狀相同 只是位置不同 b 介于直線y 1與直線y 1之間 c 關(guān)于x軸對稱 d 與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn) 解析 選c y cosx x r的圖像關(guān)于y軸對稱 故c錯(cuò)誤 2 函數(shù)y cosx x 的值域是 a 0 1 b 1 1 c d 解析 選a 畫出函數(shù)y cosx x 的圖像如圖由圖像可知 x 0時(shí) y cosx取最大值1 時(shí) y cosx取最小值0 所以值域?yàn)?0 1 3 設(shè)集合p x sinx 1 x r q x cosx 1 x r 則 a p q b pq c p q d p q 解析 選a 由sinx 1得 k z p 由cosx 1得x 2k 1 k z q x x 2k 1 k z p q 4 函數(shù)y 2cosx 10取最小值時(shí) 自變量x的集合是 解析 當(dāng)cosx 1時(shí) y 2cosx 10取最小值8 此時(shí) 自變量x的集合為 x x 2k k z 答案 x x 2k k z 5 用 或 填空 1 cos15 cos20 2 解析 y cosx在 0 上是減少的 且0 15 20 90 cos15 cos20 答案 1 2 6 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 f x cos 2 x x3 sinx 2 g x 3 h x 解析 1 函數(shù)f x 的定義域r關(guān)于原點(diǎn)對稱 又因?yàn)閒 x cosx x3 sinx 所以f x cos x x 3 si