高中數(shù)學直線與平面垂直(第2課時)直線與平面所成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)定理應用案鞏固提升新人教A版.docx_第1頁
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第2課時 直線與平面所成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)定理A基礎達標1下列說法中正確的是()過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直;過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直;過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行;過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直ABC D解析:選A.由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知正確;錯,過直線外一點作平面與直線垂直,則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直2在正方體ABCDA1B1C1D1中,點P是線段BC1上任意一點,則下列結(jié)論中正確的是()AAD1DP BAPB1CCAC1DP DA1PB1C解析:選B.在正方體ABCDA1B1C1D1中,因為B1CBC1,B1CAB,BC1ABB,所以B1C平面ABC1D1,因為點P是線段BC1上任意一點,所以APB1C.故選B.3下列命題正確的是()b;ab;b;b.A BC D解析:選A.對于命題,a,則a垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線,又因為ab,所以b也垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線,所以b,正確;由線面垂直的性質(zhì)定理可知ab,所以正確;因為a,當ab時,則b可能在平面內(nèi),也可能與平面平行,所以錯誤;當a,ab時,b與平面的三種位置都有可能出現(xiàn),所以錯誤4.如圖,設平面平面PQ,EG平面,F(xiàn)H平面,垂足分別為G,H.為使PQGH,則需增加的一個條件是()AEF平面BEF平面CPQGEDPQFH解析:選B.因為EG平面,PQ平面,所以EGPQ.若EF平面,則由PQ平面,得EFPQ.又EG與EF為相交直線,所以PQ平面EFHG,所以PQGH,故選B.5已知點P是ABC所在平面外一點,且PAPBPC,則點P在平面ABC上的射影一定是ABC的()A內(nèi)心 B外心C垂心 D重心解析:選B.如圖所示,設點P在平面ABC上的射影為O,連接OA,OB,OC.所以PO平面ABC.因為PAPBPC,且POAPOBPOC90,所以PAOPBOPCO,所以AOBOCO.即點O到三角形三個頂點的距離相等,所以點O為ABC的外心6等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面內(nèi),若AC與所成的角為30,則斜邊上的中線CM與所成的角為_解析:如圖,設C在平面內(nèi)的射影為點O,連接AO,MO,則CAO30,CMO就是CM與所成的角設ACBC1,則AB,所以CM,CO,所以sinCMO,所以CMO45.答案:457如圖所示,PO平面ABC,BOAC,在圖中與AC垂直的直線有_條解析:因為PO平面ABC,AC平面ABC,所以POAC.又ACBO,POBOO,所以AC平面PBD,所以PBD內(nèi)的4條直線PB,PD,PO,BD都與AC垂直,所以圖中共有4條直線與AC垂直答案:48在ABC中,ABAC5,BC6,PA平面ABC,PA8,則點P到BC的距離是_解析:如圖所示,作PDBC于點D,連接AD.因為PA平面ABC,所以PABC.又PDPAP,所以CB平面PAD,所以ADBC.在ACD中,AC5,CD3,所以AD4.在RtPAD中,PA8,AD4,所以PD4.答案:49如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABACAA1.(1)求證:AB1平面A1BC1;(2)若D為B1C1的中點,求AD與平面A1B1C1所成角的正弦值解:(1)證明:由題意知四邊形AA1B1B是正方形,所以AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又因為A1C1A1B1,AA1A1B1A1,所以A1C1平面AA1B1B,又因為AB1平面AA1B1B,所以A1C1AB1,又因為BA1A1C1A1,所以AB1平面A1BC1.(2)連接A1D.設ABACAA11,因為AA1平面A1B1C1,所以A1DA是AD與平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中,D為斜邊的中點,所以A1DB1C1.在RtA1DA中,AD.所以sinA1DA,即AD與平面A1B1C1所成角的正弦值為.10.如圖,已知四棱錐SABCD中ABCD為矩形,SA平面AC,AESB于點E,EFSC于點F.(1)求證:AFSC;(2)若平面AEF交SD于點G,求證:AGSD.證明:(1)因為SA平面AC,BC平面AC,所以SABC.因為四邊形ABCD為矩形,所以ABBC.又因為SA ABA,所以BC平面SAB.所以BCAE.又SBAE,BCSBB,所以AE平面SBC.又因為SC平面SBC,所以AESC.又EFSC,EF AEE,所以SC平面AEF.因為AF平面AEF,所以AFSC.(2)因為SA平面AC,所以SADC.又ADDC,ADSAA,所以DC平面SAD.又AG平面SAD,所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF,所以SCAG.又SCDCC,所以AG平面SDC.因為SD平面SDC,所以AGSD.B能力提升11如圖所示,PA平面ABC,ABC中BCAC,PBA1,PBC2,ABC3.則下列關系一定成立的是()Acos 1cos 2cos 3Bcos 1cos 3cos 2Csin 1sin 2sin 3 Dsin 1sin 3sin 2解析:選B.BC平面PACBCPC,所以cos 1,cos 2,cos 3.則有cos 1cos 3cos 2.12.如圖,RtABC所在平面外一點S,且SASBSC,點D為斜邊AC的中點(1)求證:SD平面ABC;(2)若ABBC,求證:BD平面SAC.證明:(1)因為SASC,D為AC的中點,所以SDAC.在RtABC中,有ADDCBD.又SASB,所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD,所以SD平面ABC.(2)因為BABC,D為AC的中點,所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC,所以BD平面ABC,所以SDBD.因為ACSDD.所以BD平面SAC.C拓展探究13如圖(1),矩形ABCD中,AB12,AD6,E,F(xiàn)分別為CD,AB邊上的點,且DE3,BF4,將BCE沿BE折起至PBE的位置(如圖(2)所示),連接AP,PF,其中PF2.(1)求證:PF平面ABED;(2)在線段PA上是否存在點Q使得FQ平面PBE?若存在,求出點Q的位置;若不存在,請說明理由(3)求點A到平面PBE的距離解:(1)證明:連接EF,由題意知,PBBC6,PECE9,在PBF中,PF2BF2201636PB2,所以PFBF.易得EF,在PEF中,EF2PF2612081PE2,所以PFEF.又BFEFF,BF平面ABED,EF平面ABED,所以PF平面ABED.(2)存在,當Q為PA的三等分點(靠近P)時,F(xiàn)Q平面PBE.理由如下:因為AQAP,AFAB,所以FQBP,又

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