高中數(shù)學直線與平面垂直（第2課時）直線與平面所成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)定理應用案鞏固提升新人教A版.docx

第2課時 直線與平面所成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)定理A基礎達標1下列說法中正確的是()過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直；過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直；過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行；過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直ABC D解析：選A.由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知正確；錯，過直線外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直2在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是線段BC1上任意一點，則下列結(jié)論中正確的是()AAD1DP BAPB1CCAC1DP DA1PB1C解析：選B.在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為B1CBC1，B1CAB，BC1ABB，所以B1C平面ABC1D1，因為點P是線段BC1上任意一點，所以APB1C.故選B.3下列命題正確的是()b；ab；b；b.A BC D解析：選A.對于命題，a，則a垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，又因為ab，所以b也垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，所以b，正確；由線面垂直的性質(zhì)定理可知ab，所以正確；因為a，當ab時，則b可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行，所以錯誤；當a，ab時，b與平面的三種位置都有可能出現(xiàn)，所以錯誤4.如圖，設平面平面PQ，EG平面，F(xiàn)H平面，垂足分別為G，H.為使PQGH，則需增加的一個條件是()AEF平面BEF平面CPQGEDPQFH解析：選B.因為EG平面，PQ平面，所以EGPQ.若EF平面，則由PQ平面，得EFPQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ平面EFHG，所以PQGH，故選B.5已知點P是ABC所在平面外一點，且PAPBPC，則點P在平面ABC上的射影一定是ABC的()A內(nèi)心 B外心C垂心 D重心解析：選B.如圖所示，設點P在平面ABC上的射影為O，連接OA，OB，OC.所以PO平面ABC.因為PAPBPC，且POAPOBPOC90，所以PAOPBOPCO，所以AOBOCO.即點O到三角形三個頂點的距離相等，所以點O為ABC的外心6等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面內(nèi)，若AC與所成的角為30，則斜邊上的中線CM與所成的角為_解析：如圖，設C在平面內(nèi)的射影為點O，連接AO，MO，則CAO30，CMO就是CM與所成的角設ACBC1，則AB，所以CM，CO，所以sinCMO，所以CMO45.答案：457如圖所示，PO平面ABC，BOAC，在圖中與AC垂直的直線有_條解析：因為PO平面ABC，AC平面ABC，所以POAC.又ACBO，POBOO，所以AC平面PBD，所以PBD內(nèi)的4條直線PB，PD，PO，BD都與AC垂直，所以圖中共有4條直線與AC垂直答案：48在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，則點P到BC的距離是_解析：如圖所示，作PDBC于點D，連接AD.因為PA平面ABC，所以PABC.又PDPAP，所以CB平面PAD，所以ADBC.在ACD中，AC5，CD3，所以AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，所以PD4.答案：49如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求證：AB1平面A1BC1；(2)若D為B1C1的中點，求AD與平面A1B1C1所成角的正弦值解：(1)證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，所以AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又因為A1C1A1B1，AA1A1B1A1，所以A1C1平面AA1B1B，又因為AB1平面AA1B1B，所以A1C1AB1，又因為BA1A1C1A1，所以AB1平面A1BC1.(2)連接A1D.設ABACAA11，因為AA1平面A1B1C1，所以A1DA是AD與平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D為斜邊的中點，所以A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.所以sinA1DA，即AD與平面A1B1C1所成角的正弦值為.10.如圖，已知四棱錐SABCD中ABCD為矩形，SA平面AC，AESB于點E，EFSC于點F.(1)求證：AFSC；(2)若平面AEF交SD于點G，求證：AGSD.證明：(1)因為SA平面AC，BC平面AC，所以SABC.因為四邊形ABCD為矩形，所以ABBC.又因為SA ABA，所以BC平面SAB.所以BCAE.又SBAE，BCSBB，所以AE平面SBC.又因為SC平面SBC，所以AESC.又EFSC，EF AEE，所以SC平面AEF.因為AF平面AEF，所以AFSC.(2)因為SA平面AC，所以SADC.又ADDC，ADSAA，所以DC平面SAD.又AG平面SAD，所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，所以SCAG.又SCDCC，所以AG平面SDC.因為SD平面SDC，所以AGSD.B能力提升11如圖所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，PBA1，PBC2，ABC3.則下列關系一定成立的是()Acos 1cos 2cos 3Bcos 1cos 3cos 2Csin 1sin 2sin 3 Dsin 1sin 3sin 2解析：選B.BC平面PACBCPC，所以cos 1，cos 2，cos 3.則有cos 1cos 3cos 2.12.如圖，RtABC所在平面外一點S，且SASBSC，點D為斜邊AC的中點(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.證明：(1)因為SASC，D為AC的中點，所以SDAC.在RtABC中，有ADDCBD.又SASB，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因為BABC，D為AC的中點，所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC，所以BD平面ABC，所以SDBD.因為ACSDD.所以BD平面SAC.C拓展探究13如圖(1)，矩形ABCD中，AB12，AD6，E，F(xiàn)分別為CD，AB邊上的點，且DE3，BF4，將BCE沿BE折起至PBE的位置(如圖(2)所示)，連接AP，PF，其中PF2.(1)求證：PF平面ABED；(2)在線段PA上是否存在點Q使得FQ平面PBE？若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由(3)求點A到平面PBE的距離解：(1)證明：連接EF，由題意知，PBBC6，PECE9，在PBF中，PF2BF2201636PB2，所以PFBF.易得EF，在PEF中，EF2PF2612081PE2，所以PFEF.又BFEFF，BF平面ABED，EF平面ABED，所以PF平面ABED.(2)存在，當Q為PA的三等分點(靠近P)時，F(xiàn)Q平面PBE.理由如下：因為AQAP，AFAB，所以FQBP，又