2010年全國(guó)數(shù)模會(huì)議混合討論分組安排.doc

參賽報(bào)名號(hào) # 499 第 40 頁(yè) 共 38 頁(yè)2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：會(huì)議混合討論分組安排摘要大型會(huì)議，尤其是討論長(zhǎng)期遠(yuǎn)景規(guī)劃的大型會(huì)議不利于對(duì)議題充分討論，而且大會(huì)輿論容易受到某些權(quán)勢(shì)人物的控制和支配。在這種情況下，會(huì)議需要分小組召開(kāi)討論。但在組內(nèi)依然有整組輿論被某些權(quán)勢(shì)人物控制的危險(xiǎn)。為了降低這種危險(xiǎn)，通常的做法是把會(huì)議分為若干段，讓董事在不同的段重新混合安排，以達(dá)到充分混合的目的?，F(xiàn)在有一個(gè)公司要開(kāi)會(huì)，要求為35名董事在總共7段會(huì)議上分組，要求每位董事在會(huì)議中與不同組的董事充分混合討論，并有一些附加條件。為了解決這一問(wèn)題，我們使用了優(yōu)化的整數(shù)規(guī)劃模型，并僅用7個(gè)矩陣就清晰明了而簡(jiǎn)潔地將數(shù)量龐大的決策變量與復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)組織了起來(lái)。在提出模型目標(biāo)函數(shù)的過(guò)程中，我們從兩個(gè)方面入手。首先我們提出了相遇董事對(duì)數(shù)的概念，用矩陣Q組織其任意兩個(gè)董事的相遇次數(shù)（即這兩個(gè)董事的相遇董事對(duì)數(shù)），并利用矩陣的Frobenius范數(shù)控制了Q中元素的大小和均勻程度，得到了第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(x)，在“相遇”的角度較好地控制了混合的程度。在得到第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)之后，我們?yōu)榱丝朔(x)本身固有的缺陷不能徹底控制住群體整體換組的現(xiàn)象,經(jīng)過(guò)艱苦的思索,我們提出了共同成員的概念，即整個(gè)會(huì)議中任意兩組（可以屬于不同段）與會(huì)董事的交集。利用矩陣A，我們?cè)俅吻逦亟M織起2041個(gè)變量，并再次利用矩陣的Frobenius范數(shù)成功地遏制了群體整體換組現(xiàn)象，從而完善了對(duì)董事混合程度的控制。在對(duì)模型求解的過(guò)程中，我們參考模擬退火法和貪婪算法，利用線性規(guī)劃在目標(biāo)函數(shù)可行域范圍內(nèi)搜尋最優(yōu)解的一般解法利用MATLAB軟件設(shè)計(jì)出了計(jì)算可行初始解-隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行解-局部?jī)?yōu)化-全局優(yōu)化從而達(dá)到全局最優(yōu)解的三步求解的方法，特別是先局部?jī)?yōu)化再全局優(yōu)化從而求得全局最優(yōu)解的方法，大大縮短了計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間，使結(jié)果在50秒左右以后便可得到。同時(shí)得到的結(jié)果優(yōu)化程度相當(dāng)高，對(duì)初值的依賴程度低，使得讓與會(huì)董事充分混合的目的得以很好地實(shí)現(xiàn)。另外，此算法的目標(biāo)函數(shù)建立具有一般性，只要改變參數(shù)，就可以建立起優(yōu)化全局的目標(biāo)函數(shù)。這為模型的推廣提供了算法上的支持，帶來(lái)了極大的便利。另外，我們還建立了臨時(shí)調(diào)整辦法，為臨時(shí)出現(xiàn)的董事人員變動(dòng)提供了保證。我們此次建模得到的結(jié)果得到了很好的人員分配結(jié)果，得到了實(shí)際建模的效果，達(dá)到了建模的目的。關(guān)鍵詞：矩陣 相遇 共同成員 Frobenius范數(shù)一、問(wèn)題重述本題的背景是大型會(huì)議不利于充分討論，而且容易受某些權(quán)勢(shì)人物的控制和支配，所以公司召開(kāi)的會(huì)議通常分組分階段進(jìn)行。為了降低這些規(guī)模較小的小組會(huì)議仍然被某個(gè)占支配地位的人控制的危險(xiǎn)，通常把會(huì)議分成若干段，在每段讓不同組的與會(huì)者充分混合。為了達(dá)到這個(gè)目的，會(huì)議安排應(yīng)使任意兩個(gè)董事在整個(gè)會(huì)議中見(jiàn)面的次數(shù)與任意另一對(duì)相差最小，并且參加兩段不同的會(huì)議的相同成員的對(duì)數(shù)最少。我們現(xiàn)在的問(wèn)題是某一公司董事會(huì)共有35位成員，其中11位是在職董事。會(huì)議分上午3段、下午4段進(jìn)行，上午的每段會(huì)議分7個(gè)小組，下午每段會(huì)議分4個(gè)小組。上午的每個(gè)小組都由一位非董事的高級(jí)職員來(lái)主持討論，下午的會(huì)議沒(méi)有高級(jí)職員主持。要求我們給出一份7段會(huì)議的1-11號(hào)在職董事、12-35號(hào)董事、1-7號(hào)公司高級(jí)職員分組名單，名單應(yīng)滿足以下標(biāo)準(zhǔn)：（1） 上午3段不允許任一董事兩次參加由同一位資深高級(jí)職員主持的會(huì)議；（2） 在職董事均勻地分配在每段的各小組中。還有，有的董事可能在最后一刻宣布不參加會(huì)議，也可能不在名單上的董事表示要求出席。屆時(shí)組委會(huì)可能來(lái)不及重新進(jìn)行分組安排，所以我們還需要提供一個(gè)臨時(shí)的調(diào)整程序，以快速地完成不同類型的董事調(diào)整，使總的混合效果盡量接近沒(méi)有董事調(diào)整的水平。二、模型假設(shè)為了便于建立模型，我們做出如下的模型假設(shè).（1） 每位高級(jí)職員主持的組在整個(gè)上午不會(huì)變動(dòng)；（2） 除了在職董事要均勻分配外，在職董事與非在職董事沒(méi)有區(qū)別；（3） 第1至第11號(hào)董事為在職董事，第12至第35號(hào)董事為非在職董事；（4） 會(huì)議是否會(huì)出現(xiàn)被權(quán)威人士控制的現(xiàn)象，完全取決于交叉混合的好壞；（5） 制定分派方案時(shí)，只考慮盡量使成員交叉混合，而不考慮成員的主觀要求；（6） 參加會(huì)議的成員只存在身份的不同，同一身份的成員的工作能力是相同的；（7） 會(huì)議一旦開(kāi)始，在結(jié)束之前與會(huì)委員不允許變動(dòng).三、變量及符號(hào)說(shuō)明和數(shù)學(xué)描述1、變量符號(hào)說(shuō)明（1） ：0-1決策變量,表示第i位董事有否參加第k場(chǎng)第j組會(huì)議；（2） ：開(kāi)會(huì)分組矩陣，包含了整次會(huì)議每一段董事的分組安排，其中表示第k場(chǎng)會(huì)議的分組矩陣，其行向量表示第k場(chǎng)會(huì)議第j組的分組矩陣；（3） ：相遇矩陣；（4） ：共同成員矩陣；（5） ：目標(biāo)函數(shù)，用于控制董事相遇次數(shù)；（6） ：目標(biāo)函數(shù)，用于控制不同段間組間共同成員個(gè)數(shù)；（7） ：總的目標(biāo)函數(shù)，即按不同權(quán)重綜合考慮和的目標(biāo)函數(shù).2、變量符號(hào)數(shù)學(xué)描述（1）（2），k表示第k段會(huì)議，j表示第j組，k=1,2,7，j=1,2,7.,k=4,5,6,7，j=5,6,7.（5）（6）四、模型建立模型設(shè)計(jì)思路我們使用整數(shù)規(guī)劃來(lái)建立這一問(wèn)題的模型。由題目使每一位董事和另一位董事在同一小組中開(kāi)會(huì)的次數(shù)相同，并使不同段的小組中一起開(kāi)會(huì)的董事最少的要求，我們從這兩個(gè)要求出發(fā)，分別從相遇董事對(duì)數(shù)和共同成員數(shù)目?jī)蓚€(gè)角度建立了兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并設(shè)置了兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重。再加上有題設(shè)要求以及模型假設(shè)得到的約束條件，我們完成了本模型的建立。具體過(guò)程以及模型請(qǐng)見(jiàn)下。題目要求分組名單安排計(jì)劃屬于分派問(wèn)題，常用0-1變量表示分派的決策變量，根據(jù)本題的特點(diǎn)現(xiàn)在把分派問(wèn)題視為成員就坐問(wèn)題。每段會(huì)議配給七個(gè)會(huì)議室，每組分一個(gè)，每個(gè)會(huì)議室有35個(gè)座位（第1至第35號(hào)），每位董事對(duì)號(hào)入座。如果座位上有董事就坐就是1，如果沒(méi)有人就是0.即由于下午的四段會(huì)議只有四個(gè)組，所以有根據(jù)以上的分法我們可以用由組成的矩陣來(lái)表示開(kāi)會(huì)時(shí)董事分布的具體情況。令，這表示第k段第j組的與會(huì)董事的分布情況。其中規(guī)定 每段開(kāi)會(huì)的具體安排由矩陣排列如下：1、建立目標(biāo)函數(shù)由于在計(jì)算過(guò)程中會(huì)遇到一個(gè)行向量與自己的轉(zhuǎn)置相乘情況，這種運(yùn)算的結(jié)果在我們的模型中是無(wú)效的量，并且它們的存在會(huì)大大干擾我們的計(jì)算。為了不影響這種情況給我們的計(jì)算帶來(lái)麻煩，我們先規(guī)定在計(jì)算中根據(jù)每段要讓不同組的與會(huì)者充分混合的要求，分兩部分來(lái)描述：會(huì)議安排應(yīng)使任意兩個(gè)董事在整個(gè)會(huì)議中見(jiàn)面的次數(shù)平均不同段會(huì)議在同一小組中一起開(kāi)會(huì)的董事最少。1、為了控制在不同段會(huì)議在同一小組中一起開(kāi)會(huì)的董事數(shù)目并牽制任意兩個(gè)董事在整個(gè)會(huì)議中見(jiàn)面的次數(shù)，我們?cè)谒卸轮腥我獬槿晌?，?jì)算他們?cè)谕瑫r(shí)在同一小組一起開(kāi)會(huì)（即相遇）的次數(shù)。這個(gè)量我們可以利用0-1決策變量來(lái)表示：表示第s號(hào)董事與第t號(hào)董事在7段會(huì)議中相遇的總次數(shù).為了方便運(yùn)算，我們列出兩個(gè)董事相遇的矩陣如下：其中 我們可以通過(guò)求所有的和來(lái)把握所有董事的相遇次數(shù)，但如果這樣那么董事之間相遇的單個(gè)差異就不明顯，所以我們通過(guò)對(duì)它進(jìn)行放大，然后再求所有的和，取為2，即取矩陣的Frobenius范數(shù)。這樣就放大了之間的差異，從而在把握全局相遇次數(shù)的同時(shí)也考慮到了單個(gè)相遇次數(shù)的差異，由此我們建立如下第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)：2、然而有不可避免的弱點(diǎn)：有可能出現(xiàn)分別處于兩段會(huì)議的某兩組是由同一批人組成的，而這一批人可能在以后的會(huì)議中完全打亂分配，并在以后的分配中盡可能彌補(bǔ)前兩段會(huì)議安排造成的相遇次數(shù)的增大，從而成員見(jiàn)面的次數(shù)個(gè)別差異仍然可以保持很小，而這種情況使用是不能充分控制住的。為了克服這一弱點(diǎn)，我們有另外建立了一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。在這個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，我們將著眼點(diǎn)放在了整個(gè)會(huì)議中任意抽取出的兩個(gè)討論組，稱在這兩個(gè)討論組中都出現(xiàn)的董事稱為這兩個(gè)組的共同成員。第k段第i組與第段第j組的共同成員個(gè)數(shù)為. 我們用矩陣來(lái)排列這些數(shù)：A是一個(gè)4949的矩陣，其中A的對(duì)角線上的方塊是第k段會(huì)議段內(nèi)各組的共同成員，其非對(duì)角線上的元素一定為0，而其對(duì)角線上的元素在上文中已經(jīng)提到為無(wú)效量，故不計(jì)算A對(duì)角線方塊中的元素，k=1,2,7.A中每個(gè)元素為整個(gè)會(huì)議中任意兩組（可以分別屬于不同段）的共同成員個(gè)數(shù)。如果出現(xiàn)上一段提出的問(wèn)題，那么A中元素的大?。ǔ?duì)角線方塊中的元素）將會(huì)出現(xiàn)明顯的不平均。如果讓A中對(duì)角線方塊以外所有元素的盡可能平均的話，那么會(huì)議中任一組與任何該組所屬的段以外的組的共同成員數(shù)量將會(huì)均勻分布。于是，成員間自發(fā)組成的小組總在同一個(gè)討論組中出現(xiàn)的現(xiàn)象將會(huì)得到遏制，與會(huì)成員將會(huì)充分混合。與上一個(gè)目標(biāo)函數(shù)一樣，我們利用矩陣的Frobenius范數(shù)來(lái)刻畫中元素的平均程度。由此我們建立第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)：與處于不同的標(biāo)準(zhǔn)，考慮到兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)有著不同的優(yōu)先級(jí)和數(shù)量級(jí)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)加以不同的權(quán)系數(shù)，于是得到總的目標(biāo)函數(shù)為，其中為權(quán)系數(shù)。2、約束條件根據(jù)題目的標(biāo)準(zhǔn)以及成員就座情況我們得到以下的模型約束條件：（1） 上午的3段不允許任一董事參加由同一位資深高級(jí)職員主持的兩次會(huì)議（2） 每個(gè)董事在每一段會(huì)議中只能分入一個(gè)組里也必須分入一個(gè)組里（3） 根據(jù)引證（見(jiàn)附錄1）我們知道每段開(kāi)會(huì)的人應(yīng)該盡量平均分在每個(gè)組里，所以上午每段會(huì)議在職董事在每組中的人數(shù)應(yīng)分別為2、2、2、2、1、1、1下午分別為3、3、3、2，非在職董事上午本別為5、5、5、5、5、5、5，下午分別為9、9、9、8 . 故有設(shè)為的前11個(gè)元素組成的111矩陣，則， （4） 我們?cè)诰唧w計(jì)算時(shí)對(duì)考慮到相遇董事對(duì)數(shù)必須在一個(gè)范圍，我們把視為非法相遇次數(shù)，故有（5） 與（4）類似地我們對(duì)考慮到共同成員個(gè)數(shù)也要在一個(gè)有意義的范圍內(nèi). 因?yàn)樯衔绾拖挛玳_(kāi)會(huì)的組數(shù)不同，因此對(duì)于上午、下午以及上下午之間的組的共同成員數(shù)目的限制有所區(qū)別. 為此，我們把A分塊，令其中，B為2121矩陣它的元素表示上午一起開(kāi)會(huì)的各組的共同成員，為2128矩陣它的元素表示上午各組和下午各組共同成員個(gè)數(shù)，D為2828矩陣它的元素表示下午各組的共同成員，令，我們考慮將視為非法共同成員個(gè)數(shù)，于是至此，我們的模型建立完畢.五、模型的求解1、具體求解方案我們利用MATLAB求解該模型。該模型中擁有35個(gè)變量，每個(gè)變量有0-1兩種取值范圍，用窮舉法是不可能完成如此規(guī)模的數(shù)據(jù)，即使加上限制條件，總的計(jì)算步驟也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了1億次。所以我們采用了：計(jì)算可行初始解-隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行解-局部?jī)?yōu)化-全局優(yōu)化從而達(dá)到全局最優(yōu)解的四步求解的方法。大大降低了運(yùn)算時(shí)間。該模型可以用線性規(guī)劃來(lái)求解，即在目標(biāo)函數(shù)可行域的范圍內(nèi)尋求一組最優(yōu)解。求解一組可行初始解在求解可行初始解的過(guò)程中，按照一段時(shí)間一人只能出席一組會(huì)議且前三段會(huì)議不允許一個(gè)人出現(xiàn)在同一組超過(guò)一次的原則，暫不考慮人員的充分混合，可以得到一組固定的可行初始解。局部?jī)?yōu)化可行解局部?jī)?yōu)化算法的思想是只考慮其中的一段會(huì)議（第4-7段），經(jīng)過(guò)有限步的循環(huán)，將見(jiàn)面次數(shù)高的人數(shù)降低。局部?jī)?yōu)化的好處是將見(jiàn)面次數(shù)進(jìn)一步集中，使得見(jiàn)面次數(shù)過(guò)大的人員減少或者保持不變，進(jìn)行局部?jī)?yōu)化需要將初始解隨機(jī)變換，得到一組更優(yōu)的可行解，從而使得局部變換的效果更好。全局優(yōu)化我們從局部?jī)?yōu)化的可行解X可以得到一個(gè)最優(yōu)解的域，在約束條件下采用隨機(jī)變換每一段會(huì)議的人員安排，從而得到一組滿足條件的可行解X，設(shè)F(X)為目標(biāo)函數(shù)，比較F(X)與F(X)的大小，若F(X)較小，則以F(X)作為初值進(jìn)行迭代，在有限的循環(huán)步驟內(nèi)得到一組可行的最優(yōu)解。具體流程圖如下：局部?jī)?yōu)化可行解全局優(yōu)化得到最優(yōu)解隨機(jī)產(chǎn)生一組可行解固定初始解具體MATLAB程序見(jiàn)附錄2，具體運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)附錄3。以下是通過(guò)優(yōu)化后統(tǒng)計(jì)所得的一組結(jié)果：第一組第二組第三組第四組第五組第六組第七組第一段1、6、8、22、297、14、21、28、3513、15、20、27、344、11、18、25、323、10、17、24、315、12、19、26、332、9、16、23、30第二段2、3、13、14、351、11、12、22、3210、26、29、30、317、8、21、23、345、6、16、19、209、24、25、27、284、15、17、18、33第三段4、10、12、17、245、13、30、31、3411、25、28、32、339、16、20、26、271、2、15、18、217、8、22、23、293、6、14、19、35第四段1、4、6、9、14、24、25、313、7、11、16、17、21、28、29、338、10、15、18、19、23、27、32、342、5、12、13、20、22、26、30、35第五段2、5、9、14、17、23、28、32、341、7、10、15、19、24、26、314、8、11、16、20、21、27、29、353、6、12、13、18、22、25、30、33第六段4、5、10、16、17、21、25、32、342、8、11、13、18、23、26、31、331、7、12、14、19、24、27、293、6、9、15、20、22、28、30、31第七段2、8、11、19、24、27、30、334、5、12、15、18、21、25、31、351、6、10、13、20、23、28、29、34、3、7、9、14、16、17、22、26、322、靈敏度分析模型是按照先求一組可行解然后對(duì)可行解進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，然后進(jìn)行全局優(yōu)化，這樣模型不管去任何的可行初值都可以得到全局的最優(yōu)解，所以本模型對(duì)初始值的要求很低。3、穩(wěn)定性分析權(quán)重比相見(jiàn)0次相見(jiàn)1次相見(jiàn)2次相見(jiàn)3次相見(jiàn)4次相見(jiàn)5次1:3139251136581221:5143238154491021:1013623416954501:15140241154491031:2015321516651111上表是在不同權(quán)重下計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，以上結(jié)果都相對(duì)理想，故本模型的穩(wěn)定性比較高。4、臨時(shí)調(diào)整程序如果出現(xiàn)了董事人員的變化，則變化分為以下3種情況。為了滿足限制條件，對(duì)于發(fā)生變化的董事，我們只對(duì)于其同類的董事進(jìn)行調(diào)整。1、 有n位董事需要退出在這種情況下，首先從各組平均抽出能平均抽出來(lái)的補(bǔ)在空缺出，如果出現(xiàn)有不能平均抽的人數(shù)，則一組一組實(shí)驗(yàn)，看從那個(gè)組抽出目標(biāo)函數(shù)值最小。2、 有n位董事需要加入與上一種情況同理，首先將n位董事中能均分給每個(gè)組的均分給每個(gè)組，不能均分的，則一組一組實(shí)驗(yàn)，看插入那個(gè)組中目標(biāo)函數(shù)值最小。3、 有n位董事要退出，又有m位董事要加入如果可以的話，盡可能讓這m位董事去補(bǔ)充那n位董事的位子，如果有剩余，則重復(fù)第1、2步驟。當(dāng)然，以上操作均是在對(duì)同類董事進(jìn)行操作的前提下進(jìn)行的。六、模型檢驗(yàn)（1） 對(duì)公共成員數(shù)目進(jìn)行檢驗(yàn)：通過(guò)結(jié)果可知道公共成員的最大數(shù)為5，出現(xiàn)的次數(shù)為14次可見(jiàn)公共成員是一個(gè)很理想的數(shù)據(jù)，滿足充分交叉混合的第二個(gè)函數(shù)要求說(shuō)明本次分組是合理的分組。（2） 對(duì)成員間的相遇次數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)：以下是這次安排的成員相遇次數(shù)結(jié)果：相遇次數(shù)01234567計(jì)算機(jī)運(yùn)行結(jié)果136234169545000根據(jù)以上的結(jié)果分析，此次分組是相當(dāng)理想的，大部分相見(jiàn)次數(shù)都在0次、1次和2次，沒(méi)有人相遇四次以上，且只有5個(gè)人相遇4次，對(duì)于這樣的分組在很大程度上已經(jīng)滿足，公司董事長(zhǎng)提出的“安排要將各位董事盡可能地充分混合”的要求。（3） 對(duì)在職董事的安排分析：以下是在職董事上午安排的結(jié)果：開(kāi)會(huì)的段數(shù)1段2段3段在職董事的安排3,1,0,2,2,1,22,2,1,2,2,1,12,1,1,1,2,2,2對(duì)于在職董事盡量安排的要求以上安排結(jié)果基本上滿足要求，在職董事是平均安排的，第二、第三段已經(jīng)完全按人數(shù)平均分配了。（4） 對(duì)董事的安排分析：對(duì)于上述輸出結(jié)果我們可以看出任意董事都沒(méi)有參加，由同一資深職員主持的兩次會(huì)議，結(jié)果是符合要求的?？偨Y(jié)：通過(guò)以上分析我們可知本次安排符合我們提出的模型假設(shè)，故對(duì)于此次安排是符合要求的。七、模型的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)我們的模型優(yōu)點(diǎn)有：第一，我們的模型具有明顯的整體性，變量已被控制到最小的7個(gè)矩陣。第二，模型運(yùn)用比較靈活，可以適用于開(kāi)會(huì)董事人數(shù)是任意的，開(kāi)會(huì)的組數(shù)是任意的，模型推廣很方便。第三，程序的運(yùn)算時(shí)間短每次運(yùn)行只需要50秒左右。第四，模型對(duì)初值要求不高，因?yàn)樵诔绦蜻\(yùn)行前我們先通過(guò)一段局部最優(yōu)解的計(jì)算，得到相對(duì)滿意的初值，然后再進(jìn)行全局的最優(yōu)解的查找。模型的缺點(diǎn)有如下兩個(gè)方面：第一，模型的運(yùn)算完全通過(guò)矩陣運(yùn)算，這需要對(duì)矩陣運(yùn)算比較了解的人，才會(huì)比較快看懂模型的運(yùn)算。第二，模型在運(yùn)算過(guò)程中有涉及到概率問(wèn)題，所以在第一次運(yùn)行程序時(shí)可能得到的結(jié)果并不是很優(yōu)，需要進(jìn)行多次運(yùn)算，比較結(jié)果可以得到最優(yōu)化值。八、模型推廣我們的模型以及求解過(guò)程對(duì)董事的總?cè)藬?shù)、在職董事所占的比例、分組組數(shù)、會(huì)議的段數(shù)以及參與董事的層次均沒(méi)有特別的要求，因此，我們的模型可以推廣到用于多種分配要求的會(huì)議分配。根據(jù)模型建立起來(lái)的程序的初始解計(jì)算方法具有一般性，其思路是上午、下午各指定一段人員的安排方法，再搜索出滿足要求的其他段的人員安排方法，這個(gè)初始解的人員混合不均勻，需要從它的鄰域內(nèi)搜索出滿足條件的更優(yōu)解，通過(guò)局部?jī)?yōu)化算法和全局優(yōu)化算法可以找出滿足條件的更優(yōu)解。此算法的目標(biāo)函數(shù)建立同樣具有一般性，只要改變參數(shù)，就可以建立起優(yōu)化全局的目標(biāo)函數(shù)例如，總?cè)藬?shù)在職董事組數(shù)上午組數(shù)下午段數(shù)上午段數(shù)下午50207534經(jīng)過(guò)程序的計(jì)算得到結(jié)果見(jiàn)附錄4通過(guò)結(jié)果可以得到我們的模型可以適用于m個(gè)董事，分n組，k段的開(kāi)會(huì)安排，模型教靈活模型的推廣程度較好。九、參考文獻(xiàn)1 施政. 楊輝. 曹瀚. 多次分組會(huì)議的最佳混合方案. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí). 27(4)：335-347. 1997年2 姜啟源. 會(huì)議分組安排. 數(shù)學(xué)中國(guó)社區(qū)網(wǎng)/mcm/faq.php?from=notice&action=grouppermission. 2010.5.043 孫璽菁. 多次分組會(huì)議安排的最佳混合方案. /?AllSho w1-%CA%FD%C4%A3%CD%F804/. 2010.5.084 Donald E. Miller. Judges Commentary:The Outstanding Discussion GroupsPapers. 數(shù)學(xué)中國(guó)社區(qū)網(wǎng)/mcm/faq.php?from=notice&action=grouppermis sion. 2010.5.045 Lu Zhenyu. Zhang Hongcheng. Lu Huaijing. The Well-Mixed Assignments. 數(shù)學(xué)中國(guó)社區(qū)網(wǎng)/mcm/faq.php?from=notice&action=grouppermission. 2010.5.04十、附錄附錄1假設(shè)有個(gè)人當(dāng)滿足“每個(gè)董事會(huì)成員與其他任一董事會(huì)成員分在同一討論小組的次數(shù)相等”時(shí)，則有以下公式成立:【1】(其中s 為每一董事會(huì)成員同其他任一董事會(huì)成員分在同一小組的次數(shù)，以下簡(jiǎn)稱“見(jiàn)面次數(shù)”)上式證明如下;對(duì)于全天開(kāi)會(huì)來(lái)說(shuō)在k段會(huì)議第j組的一個(gè)人來(lái)說(shuō)與其他人的見(jiàn)面次數(shù)為，故該組所有人總的見(jiàn)面次數(shù)為，對(duì)于全天來(lái)說(shuō)總的見(jiàn)面次數(shù)為若每一董事會(huì)成員和其他任一董事會(huì)成員分在同一討論小組的次數(shù)均為s次,則全天內(nèi)所有成員所見(jiàn)人數(shù)總和又可寫為:既有故可知【1】式成立。由Cauchy不等式有;故可知所有的越接近s取值越小反之越大，根據(jù)本體可知道各段會(huì)議，不同組間開(kāi)會(huì)董事數(shù)應(yīng)該盡量相等，才可以使得相見(jiàn)的次數(shù)盡可能少。附錄2%求初始可行解clc,clearA1=eye(7,7); A2=eye(4,4); B2=A2(1:3,:);X1=A1;A1;A1;A1;A1; X4=A2;A2;A2;A2;A2;A2;A2;A2;B2; P1=X1;t=0;while t2X=zeros(35,7);c11=zeros(1,7);c1=zeros(1,7);count=0;for m=1:11tag11=0;for n=1:7if P1(m,n)=0if c11(n)2&tag11=0&count4X(m,n)=1;tag11=1;c11(n)=c11(n)+1;c1(n)=c1(n)+1;if c11(n)=2count=count+1;endelseif c11(n)1&tag11=0X(m,n)=1;tag11=1;c11(n)=c11(n)+1;c1(n)=c1(n)+1;endendendendfor m=12:35tag12=0;for n=1:7if P1(m,n)=0if c1(n)5&tag12=0X(m,n)=1;tag12=1;c1(n)=c1(n)+1;elseX(m,n)=0;endelseX(m,n)=0;endendendif t=1|t=0Y=X for m=12:35if P1(m,7)=0X(m,:)=Y(35,:);X(35,:)=Y(m,:);X(m,7)=1;breakendendendif t=0X2=X;elseX3=X;endP1=P1+X;t=t+1;endt=0;while t3C2=randperm1(A2);B2= C2(1:3,:);Y=randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2);randperm1(A2);B2;if t=0X5=Y;elseif t=1X6=Y;elseX7=Y;endt=t+1;endX2(34,7)=0;X2(34,4)=1;X3(34,7)=1;save chujie X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 %求解局部?jī)?yōu)化的可行解load jieQ1=X1*X1-eye(35,35);Q2=X2*X2-eye(35,35);Q3=X3*X3-eye(35,35);Q4=X4*X4-eye(35,35);Q5=X5*X5-eye(35,35);Q6=X6*X6-eye(35,35);Q7=X7*X7-eye(35,35);Q8=Q1+Q2+Q3+Q5+Q6+Q7;Q=Q8+Q4; QQ=ones(35);for A=1:5 for t=0:3 if t=0 X=X4 end if t=1 X=X5 end if t=2 X=X6 end if t=3 X=X7 end for w=1:30 for n=1:4 M=QQ(1,:); for m=1:35 if X(m,n)=1 for i=1:35 if Q(m,i)3&n4)|(m3&j4)|(itffor k=1:ky=randperm(11);for m=1:11X11(m,:)=X1(y(m),:);X22(m,:)=X2(y(m),:);X33(m,:)=X3(y(m),:);endz=randperm(24);z=z+11*ones(1,24);for m=12:35X11(m,:)=X1(z(m-11),:);X22(m,:)=X2(z(m-11),:);X33(m,:)=X3(z(m-11),:);endp=randperm(7);for m=1:7X11(:,m)=X1(:,p(m);X22(:,m)=X2(:,p(m);X33(:,m)=X3(:,p(m);endA2=eye(4,4);C4=randperm1(A2);B4=C4(1:3,:);C5=randperm1(A2);B5=C5(1:3,:);C6=randperm1(A2);B6=C6(1:3,:);C7=randperm1(A2);B7=C7(1:3,:);X44=randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2);randperm1(A2);B4;X55=randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2);randperm1(A2);B5;X66=randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2);randperm1(A2);B6;X77=randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2); randperm1(A2);randperm1(A2);B7;ff=F(X11,X22,X33,X44,X55,X66,X77);if fffX1=X11;X2=X22;X3=X33;X4=X44;X5=X55;X6=X66;X7=X77;f=ffendt=0.87*t;endendtoc;l=tocX1,X2,X3,X4,X5,X6,X7save jie X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 %將結(jié)果保留在jie中 %求解相遇次數(shù)load zhiQ1=X1*X1-eye(35,35);Q2=X2*X2-eye(35,35);Q3=X3*X3-eye(35,35);Q4=X4*X4-eye(35,35);Q5=X5*X5-eye(35,35);Q6=X6*X6-eye(35,35);Q7=X7*X7-eye(35,35);Q_sum=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6+Q7;Q_sum1=Q_sum+eye(35,35);M=Q_sum1=zeros(35,35);count=sum(sum(M);count0=0;count1=0;count2=0;count3=0;count4=0;count5=0;count6=0;count7=0;for m=1:35for n=1:35if Q_sum(m,n)=0count0=count0+1;elseif Q_sum(m,n)=1count1=count1+1;elseif Q_sum(m,n)=2count2=count2+1;elseif Q_sum(m,n)=3count3=count3+1;elseif Q_sum(m,n)=4count4=count4+1;elseif Q_sum(m,n)=5count5=count5+1;elseif Q_sum(m,n)=6count6=count6+1;elseif Q_sum(m,n)=7count7=count7+1;endendend(count0-29)/2,count1/2,count2/2,count3/2,count4/2,count5/2,count6/2,count7/2附錄3X1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0