平行四邊形單元復(fù)習(xí)

平等四邊形單元復(fù)習(xí)1.掌握平行四邊形的概念,性質(zhì)及判定,會(huì)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它們與平行四邊形之間的聯(lián)系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定,并能靈活運(yùn)用它們解決問題.1.在反思和交流的過程中,逐漸建立知識(shí)體系,讓知識(shí)更加系統(tǒng)化.2.通過例題分析,提高學(xué)生熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定方法,提高學(xué)生的邏輯思維能力.引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,通過歸納、概括、實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受獲得成功的體驗(yàn),形成科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.【重點(diǎn)】理解平行四邊形與特殊平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系,梳理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的知識(shí)體系及應(yīng)用方法.【難點(diǎn)】平行四邊形與特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定的綜合運(yùn)用.專題一平行四邊形的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用【專題分析】在中考中常圍繞平行四邊形的概念、判定及性質(zhì)命題,以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),單獨(dú)考查性質(zhì)或者判定的情況較少,一般將平行四邊形的判定和性質(zhì)結(jié)合起來綜合考查,解決這類問題應(yīng)熟練掌握平行四邊形的概念、判定方法和性質(zhì)以及三角形等有關(guān)知識(shí).(2015綿陽模擬)已知ABC中,AB=AC,D為ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),過D作DEAB,DFAC,DE,DF分別交直線AC、直線AB于點(diǎn)E,F.(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),通過觀察,分析線段DE,DF,AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上,其他條件不變時(shí),試猜想線段DE,DF,AB之間的數(shù)量關(guān)系(請(qǐng)直接寫出等式,不需證明);(3)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)時(shí),過D作DEAB,DFAC,DE分別交直線AC、直線BC于點(diǎn)E,G,DF交直線AB于F.試猜想線段DE,DF,DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系(請(qǐng)直接寫出等式,不需證明).解析(1)先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形,則DE=AF.再根據(jù)平行線及等腰三角形的性質(zhì)得出FDB=B,由等角對(duì)等邊得到DF=FB,從而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí),分三種情況:當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí),如圖,先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DE=AF,再證明FDB=FBD,由等角對(duì)等邊得到DF=FB,從而可得AB=AF-BF=DE-DF;當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),同(1)可得,AB=DE+DF;當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),如圖,先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DF=AE,再證明CDE=DCE,由等角對(duì)等邊得到CE=DE,從而可得AB=AC=AE-CE=DF-DE.(3)先證明四邊形AEDF是平行四邊形,則DF=AE,再證明EGC=C,由等角對(duì)等邊得到EG=DE+DG=CE,從而可得AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:DEAB,DFAC,四邊形AEDF是平行四邊形,DE=AF.DFAC,FDB=C,AB=AC,C=B,FDB=B,DF=FB,DE+DF=AF+FB=AB.(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí),分三種情況:當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí),如圖,AB=DE-DF;當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),同(1)可得,AB=DE+DF;當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),如圖,AB=DF-DE.(3)AB=DE+DG+DF.解題策略本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形中等角對(duì)等邊,綜合性較強(qiáng),難度適中.(2)中分情況討論是解題的關(guān)鍵.【針對(duì)訓(xùn)練1】ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn),以AD為邊作等邊三角形ADE,過點(diǎn)C作CFDE交AB于點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)(如圖),求證EF=CD.(2)在(1)的條件下直接寫出AEF和ABC的面積比.(3)若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)(除B,C外,如圖),那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.解析(1)根據(jù)ABC和AED是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn),EDCF,可證明ABDCAF,進(jìn)而可證明四邊形EDCF是平行四邊形.(2)在(1)的條件下可直接寫出AEF和ABC的面積比.(3)根據(jù)EDFC及題意得出ACF=BAD,從而可證明ABDCAF,得出AD=ED=CF,進(jìn)而可證明四邊形EDCF是平行四邊形,即可得出EF=DC.證明:(1)ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn),ADBC,且DAB=BAC=30,AED是等邊三角形,AD=AE=ED,ADE=60,EDB=90-ADE=90-60=30,EDCF,FCB=EDB=30,ACB=60,ACF=BAD=30,又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=CF,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四邊形EDCF是平行四邊形,EF=CD.解:(2)AEF和ABC的面積比為14.(3)成立.證明如下:EDFC,EDB=FCB,AFC=B+FCB=60+FCB,BDA=ADE+BDE=60+BDE,AFC=BDA.又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=FC,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四邊形EDCF是平行四邊形,EF=DC.專題二矩形的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用【專題分析】 在中考中有的單獨(dú)考查矩形的性質(zhì),有的單獨(dú)考查矩形的判定,但二者結(jié)合起來考查較多,可以以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).如圖,O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.(1)求證四邊形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),且DGAC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面積.解析(1)首先證明四邊形EFGH是平行四邊形,然后再證明HF=EG.(2)根據(jù)題意求出矩形ABCD的寬CD和長BC,然后根據(jù)矩形面積公式求解.證明:(1)四邊形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD,AE=BF=CG=DH,AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,四邊形EFGH是平行四邊形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,四邊形EFGH是矩形.解:(2)G是OC的中點(diǎn),GO=GC.DGAC,DGO=DGC=90.又DG=DG,DGCDGO,CD=OD.F是BO中點(diǎn),OF=2 cm,BO=4 cm.四邊形ABCD是矩形,DO=BO=4 cm,DC=4 cm,DB=8 cm,CB=4(cm)矩形ABCD的面積=44=16(cm2).解題策略本題主要考查矩形的判定,首先要判定四邊形是平行四邊形,然后證明對(duì)角線相等.【針對(duì)訓(xùn)練2】如圖,在四邊形ABCD中,A=BCD=90,BC=CD,CEAD,垂足為E.求證AE=CE.解析作BFCE于F,證明RtBCFRtCDE,可得到BF=CE,只需證明BF=AE,即可說明AE=CE.證明:作BFCE于F,BCF+DCE=90,D+DCE=90,BCF=D,又BC=CD,BFC=CED=90,RtBCFRtCDE,BF=CE,又BFE=AEF=A=90,四邊形ABFE是矩形,BF=AE,AE=CE.規(guī)律方法在證明兩條線段相等時(shí),常利用等腰三角形的性質(zhì),或者將要求證的兩條線段轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形中證明三角形全等.專題三菱形的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用【專題分析】考查菱形的判定、性質(zhì)的題目,一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),單獨(dú)考查這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的情況較少,一般與直角三角形的知識(shí)綜合考查.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點(diǎn),BE交AC于F,連接DF.(1)求證BAC=DAC,AFD=CFE;(2)若ABCD,求證四邊形ABCD是菱形;(3)在(2)的條件下,試確定E點(diǎn)的位置,使EFD=BCD,并說明理由.解析(1)利用已知條件和公共邊,證得ABCADC,即可證明BAC=DAC;再證明ABFADF,得到AFB=AFD,再利用對(duì)頂角相等,易知結(jié)論;(2)由平行線的性質(zhì)和(1)中結(jié)論,易知DAC=ACD,所以AD=CD,進(jìn)而證得AB=CB=CD=AD,即可證明結(jié)論;(3)當(dāng)BECD時(shí),由(2)可知BC=CD,BCF=DCF,利用BCFDCF,證得CBF=CDF,再利用等角的余角相等即可證明EFD=BCD.證明:(1)AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC.BAC=DAC, AB=AD,BAF=DAF,AF=AF,ABFADF.AFB=AFD,又CFE=AFB,AFD=CFE.(2)ABCD,BAC=ACD.又BAC=DAC,DAC=ACD.AD=CD. AB=AD,CB=CD,AB=CB=CD=AD.四邊形ABCD是菱形.解:(3)當(dāng)BECD時(shí),EFD=BCD.理由如下:四邊形ABCD為菱形,BC=CD,BCF=DCF.又CF為公共邊,BCFDCF,CBF=CDF.BECD,BEC=DEF=90,從而可知EFD=BCD.規(guī)律方法(1)證明兩條線段相等或兩角相等,常用的方法就是先證得三角形全等或從已知圖形的性質(zhì)出發(fā),利用已知的特殊四邊形或全等形,推出結(jié)論.(2)對(duì)于條件探索性問題,一般我們要從結(jié)論入手進(jìn)行分析,得出符合結(jié)論的條件,確定思路,進(jìn)而進(jìn)行推理論證.【針對(duì)訓(xùn)練3】如圖所示,DE是ABCD中ADC的平分線,EFAD,交DC于F.(1)求證四邊形AEFD是菱形;(2)如果BAD=60,AD=5,求菱形AEFD的面積.解析(1)可先證明四邊形DAEF是平行四邊形,再由角的關(guān)系求得AED=1,根據(jù)等角對(duì)等邊得AD=AE,再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形AEFD是菱形.(2)由已知求得兩條對(duì)角線的長,根據(jù)菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半,求得菱形的面積.證明:(1)四邊形ABCD是平行四邊形,DFAE,EFAD,四邊形DAEF是平行四邊形,DE是ADC的平分線,1=2,DFAE,2=AED,AED=1.AD=AE.四邊形AEFD是菱形.解:(2)BAD=60,AED為等邊三角形.DE=AD=AE=5,連接AF,與DE相交于O,則EO=,OA=,AF=5.S菱形AEFD=DEAF=55=.解題策略此題主要考查菱形的性質(zhì)和判定以及面積的計(jì)算,使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用菱形知識(shí)解決有關(guān)問題.專題四正方形的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用【專題分析】涉及正方形的題目,一般綜合性較強(qiáng),可以與矩形、菱形結(jié)合起來,也可以與等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知識(shí)結(jié)合起來考查,還可以與坐標(biāo)系等知識(shí)結(jié)合起來考查,可以以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).(2014自貢中考)如圖,四邊形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.(1)求證AE=CF.(2)若ABE=55,求EGC的大小.解析本題考查了等腰直角三角形、正方形的性質(zhì),“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”,全等三角形的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵是證明ABECBF.(1)用SAS證明ABECBF.(2)EGC=EBG+BEF,而EBG=90-ABE,BEF是等腰直角三角形,從而可求EGC的度數(shù).證明:(1)四邊形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=90. BEBF, EBF=90,從而可知ABE=CBF. AB=BC,ABE=CBF,BE=BF,ABECBF, AE=CF.解:(2)BE=BF,EBF=90,BEF=45, ABC=90,ABE=55, GBE=35, EGC=EBG+BEG=80.歸納總結(jié)證明線段相等,通常轉(zhuǎn)化成證明這兩條線段所在的三角形全等得到對(duì)應(yīng)線段相等.本題要充分利用正方形的性質(zhì)“四條邊相等;四個(gè)內(nèi)角都等于90;對(duì)角線互相垂直平分且相等,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形等”,并根據(jù)題意選取合適的性質(zhì)加以運(yùn)用.等腰直角三角形的兩銳角相等,為45,底邊上的高、中線、頂角的平分線重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只適用于直角三角形),根據(jù)圖中的條件選取合適的方法證明三角形全等是關(guān)鍵.【針對(duì)訓(xùn)練4】(2014北京中考)在正方形 ABCD外側(cè)作直線 AP,點(diǎn)B 關(guān)于直線 AP 的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接BE,DE,其中 DE 交直線 AP 于點(diǎn)F.(1)依題意補(bǔ)全圖(1);(2)若PAB=20,求ADF的度數(shù);(3)如圖(2),若45PAB90,用等式表示線段 AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.解析對(duì)于(1),按照要求作出圖形即可;對(duì)于(2),由四邊形ABCD為正方形可得AB=AD,結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì),連接AE,得到兩個(gè)等腰三角形ABE和ADE,進(jìn)而使問題獲解;對(duì)于(3),可以在(2)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步尋找線索,其中EF與FD都與點(diǎn)F有關(guān),圍繞這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì),連接BF,可得BFD是直角,最后根據(jù)勾股定理求解.解:(1)如圖(1)所示.(2)如圖(2),連接AE,點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于直線PA的對(duì)稱點(diǎn),PAB=PAE,AE=AB.PAB=20,PAE=20,BAE=40.四邊形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,EAD=BAE+BAD=130,ADF=AED=(180-EAD)=25.(3)如圖,連接AE,BF,BD,設(shè)BF與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G.由軸對(duì)稱知FE=FB,AE=AB,又AF=AF,AEFABF,ABF=AEF.四邊形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,AEF=ADF,ABF=ADF,AGB=DGF,DFG=BAG=90.在RtABD中,AB2+AD2=BD2,2AB2=BD2.在RtBFD中,BF2+FD2=BD2,EF2+FD2=BD2,EF2+FD2=2AB2.專題五三角形的中位線定理【專題分析】單獨(dú)考查三角形中位線知識(shí)的題目多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),與平行四邊形、三角形等知識(shí)綜合的題目多以解答題的形式出現(xiàn).(2014南京中考)如圖,在ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EFAB,交BC于點(diǎn)F.(1)求證四邊形DBFE是平行四邊形;(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí),四邊形DBFE是菱形?為什么?解析(1)由三角形中位線定理,得DEBC.又EFAB,故得結(jié)論.(2)四邊形DBFE是平行四邊形,則只要有一組鄰邊相等即可,故可選擇條件AB=BC.證明:(1)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DE是ABC的中位線,DEBC.又EFAB,四邊形DBFE是平行四邊形.解:(2)本題答案不唯一.當(dāng)AB=BC時(shí),四邊形DBFE是菱形.理由如下:D是AB的中點(diǎn),BD=AB.由(1)知DE是ABC的中位線,DE=BC.AB=BC,BD=DE.又四邊形DBFE是平行四邊形,四邊形DBFE是菱形.【針對(duì)訓(xùn)練5】如圖,M是ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分BAC,BNAN于點(diǎn)N,延長BN交AC于點(diǎn)D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求證BN=DN;(2)求ABC的周長.解析(1)證明ABNADN,即可得出結(jié)論.(2)先判定MN是BDC的中位線,從而得出CD的長,由(1)可得AD=AB=10,從而計(jì)算周長.證明:(1)在ABN和ADN中,ABNADN(ASA),BN=DN.解:(2)ABNADN,AD=AB=10,又點(diǎn)M是BC中點(diǎn),BN=DN,MN是BDC的中位線,CD=2MN=6,故ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.解題策略本題考查了三角形的中位線定理,一般出現(xiàn)高與角平分線重合的情況,都可以找到等腰三角形.專題六直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【專題分析】這個(gè)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用較多,可以以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),單獨(dú)考查這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的情況較少,一般與其他知識(shí)綜合考查.(2014錦州中考)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在AB上,且CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),連接EF交CD于點(diǎn)M,連接CE,AM.(1)求證EF=AC.(2)若BAC=45,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系.解析(1)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”及CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),可得AEC是直角三角形,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,由點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),可得結(jié)論;(2)當(dāng)BAC=45時(shí),可得AEC為等腰直角三角形,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.證明:(1)CD=CB,E為BD的中點(diǎn),CEBD,AEC=90.又F為AC的中點(diǎn),EF=AC.解:(2)BAC=45,A