清華大學經(jīng)濟博弈論期末考試.pdf

姓名 班級 學號 經(jīng)濟博弈論 04 秋 經(jīng)濟博弈論 經(jīng)濟博弈論 2004 年秋季學期 期末測驗題年秋季學期 期末測驗題答案答案 注意 請將所有題目的答案寫在答題冊上 寫在本試題頁上一律無效 注意 請將所有題目的答案寫在答題冊上 寫在本試題頁上一律無效 1 20 points Lucy offers to play the following game with Charlie Let us show pennies to each other each choosing either heads or tails If we both show heads I pay you 3 If we both show tails I pay you 1 If the two don t match you pay me 2 Charlie reasons as follows The probability of both heads is 1 4 in which case I get 3 The probability of both tails is 1 4 in which case I get 1 The probability of no match is 1 2 and in that case I pay 2 So it is a fair game Is he right If not a why not and b what is Lucy s expected profit from the game game table 5 points solutions 7 points a 4 points b 4 points 20 分 露西提出與查理玩下面的游戲 讓我們互相向?qū)Ψ搅脸鲇矌?每個人可 以選擇正面或者背面 如果雙方亮出的都是正面 我給你 3 美元 如果雙方亮出的是背 面 我給你 1 美元 如果兩枚硬幣正背面不同 你給我 2 美元 查理做了這樣的推理 兩枚硬幣都是正面的概率是 1 4 如此我得到 3 美元 都是背面的概率為 1 4 如此我 得到 1 美元 正背面不同的概率為 1 2 如此我付出 2 美元 因此這是一個公平游戲 他的想法是否正確 如果不正確 a 為什么不正確 b 露西從游戲中得到的期望 利潤是多少 博弈表博弈表 5 分 解解 7 分 a 問 4 分 b 問 4 分 解答 解答 該博弈為零和博弈 博弈表如下 5 分 CHARLIE Head Tail Head 3 2 LUCY Tail 2 1 求解博弈 容易看出 該零和博弈沒有純策略納什均衡 1 分 只有一個混合策略的納什均衡為 露西和查理均以 3 8 的概率出正面 5 8 的概率出背面 6 分 a 查理的推理不對 因為雙方實際 策略性 選擇的 出硬幣的正背面的概率不同于完 全隨機選擇的概率 后者正背面概率各為 1 2 查理錯誤地將一個混合策略的博弈情境當成 了隨機選擇的 賭博 情境 4 分 b 露西的期望利潤為 1 8 4 分 相應的 查理的期望利潤為 1 8 不要求 2 20 points You have to decide whether to invest 100 in a friend s enterprise where in a year s time the money will increase to 130 You have agreed that your friend will then repay you 120 keeping 10 for himself But instead he may choose to run away with the whole 130 Any of your money that you don t invest in your friend s venture you can invest elsewhere safely at the prevailing rate of interest r and get 100 1 r next year a Draw the game tree for this situation and show the rollback equilibrium 8 points Next suppose this game is played repeatedly infinitely often That is each year you have the 1 姓名 班級 學號 經(jīng)濟博弈論 04 秋 opportunity to invest another 100 in your friend s enterprise and the agreement is to split the resulting 130 in the manner already described From the second year onward you get to make your decision of whether to invest with your friend in the light of whether he made the agreed repayment all the preceding years The rate in interest between any two successive periods is r the same as the outside rate of interest and the same for you and your friend b For what value of r can there be an equilibrium outcome of the repeated game in which each period you invest with your friend and he repays as agreed Hint only check a single deviation of your friend when both of you always agreed previously 8 points c If the rate of interest is 10 per year can there be an alternative profit splitting agreement which is an equilibrium outcome of the infinitely repeated game where each period you invest with your friend and he repays as agreed 4 points 20 分 你必須決定是否將 100 美元投資于一個朋友的企業(yè) 在那里 這筆錢一年之 后就會增值為 130 美元 你已經(jīng)同意 你朋友到那時會償付給你 120 美元 他自己留下 10 美元 不過 也有可能的是 他攜全部 130 美元潛逃 如果你不把錢投到你朋友的企業(yè)里 你可以把它以市面上的利率 r 投到任何其他安全的地方 來年獲得 100 1 r a 畫出這一情形下的博弈樹 表示出反轉(zhuǎn)均衡 8 分 現(xiàn)在假定這一博弈是無限期重復進行的 也就是說 每年你都有機會再將 100 美元投 入你朋友的企業(yè) 達成的協(xié)議還是按照前面描述的方式來分得到的 130 美元 從第二年往后 你將根據(jù)你朋友在過去的所有各年里是否按協(xié)議進行了償付 來決定是否繼續(xù)投資于他 連 續(xù)兩年之間的利率為 r 與外界的利率相同 而且你和你朋友都同樣面對這一利率 b 對于怎樣的 r 值 能夠存在一個重復博弈的均衡結(jié)果 使得每一時期你都投資于 你的朋友 而且他也如約償付 提示 只考慮以往雙方都履約情況下你朋友單獨一次的偏 離 8 分 c 如果利率為每年 10 是否存在其他的利潤分配協(xié)議 使得存在一個無限期重復 博弈的均衡結(jié)果 每個時期你都投資于你的朋友 他也如約償付 4 分 解答解答 a 如圖所示 4 分 反轉(zhuǎn)均衡為你和你朋友各自的策略為 投資另處 elsewhere 潛逃 Run away 均衡結(jié)果為你得 100 1 r 你的朋友得 0 4 分 2 姓名 班級 學號 經(jīng)濟博弈論 04 秋 b 在過去都履約的情況下 你朋友單獨一次偏離 潛逃 會帶給他一個時期的額外 的 130 10 120 美元的收益 而額外 的損失則為從這以后第二個時期開始的每一時期 10 0 10 美元 此后你永遠不投資于你的朋友 這一額外損失的現(xiàn)值為 10 1 r 2 10 1 r 3 10 r 美元 如果該偏離的額外收益小于額外損失 你朋友就不會選擇偏離 因此雙方履約就是一 個均衡結(jié)果 這要求 120 10 r 或者 r 1 12 8 3 當 r 1 12 或 8 3 時 存在一個合作的無限期重復博弈的均衡 8 分 c 假設你給你的朋友每一時期 b 美元 根據(jù)與 b 類似的推理 這一數(shù)額在滿足下列條件 時可以促成一個合作的均衡 130 b b r 或 130 b 130 11 11 8 即你需要分給朋友至少每期 130 11 或 11 8 美元的利潤 才能維持合作 4 分 3 20 points Suppose a class of 100 students is comparing the choice between two careers lawyers or engineers An engineer gets a take home pay of 100 000 per year irrespective of the numbers who choose this career Lawyers make work for one another so as the total number of lawyers increases the income of each lawyer increases up to a point Ultimately the competition between them drives down the income of each Specifically if there are N lawyers each will get 100N N2 thousand dollars a year The annual cost of running a legal practice office space secretary paralegals access to online reference services and so forth is 800 000 So each lawyer takes home 100N N2 800 thousand dollars a year when there are N of them a Draw a graph showing the take home income of each lawyer on the vertical axis and the number of lawyers on the horizontal axis 2 points b When career choices are made in an uncoordinated way what are the possible equilibrium outcomes 9 points c Now suppose the whole class decides how many should become lawyers aiming to maximize the total take home income of the whole class What will be the number of lawyers 9 points 20 分 假定一個班有 100 個學生 他們正在比較兩種職業(yè)選擇 律師或工程師 一個工程師一年能夠拿回家的收入為 100 000 美元 無論有多少人選擇這一職業(yè) 律師可以 相互之間創(chuàng)造工作機會 因此 當律師總?cè)藬?shù)上升時 每個律師的收入也上升 直到某一 點 最終 他們之間的競爭使得每個人的收入都下降 特別地 如果總共有 N 個律師 每 人能夠得到的年收入為 100N N2千 美元 開辦律師業(yè)務的年成本 辦公場所 秘書 助手 網(wǎng)上參考服務等 為 800 000 美元 因此每個律師拿回家的收入為每年 100N N2 800 千 美元 當總共有 N 個律師時 a 畫一個圖 用縱軸表示每個律師拿回家的收入 橫軸表示律師人數(shù) 2 分 b 當職業(yè)的選擇以一種未經(jīng)協(xié)調(diào)的方式來進行 可能的均衡結(jié)果有哪些 9 分 c 假定整個班一起來決定多少人應該去當律師 以最大化整個班總的拿回家的收入 將 會有多少個律師 9 分 解答解答 a 見下圖 2 分 b 如圖 有兩個穩(wěn)定均衡結(jié)果 N 0 N 90 有一個不穩(wěn)定的均衡結(jié)果 N 10 每個均 衡 3 分 3 姓名 班級 學號 經(jīng)濟博弈論 04 秋 d 全班總收入表示為 3 分 T N Np N 100 N s N N 100N N2 800 100 N 100 10 000 900N 100N2 N3 該總收入最大化的一階條件為 3 分 T N 900 200N 3N2 0 N 62 or N 5 可以驗證 當 N 62 時總收入最大 另一個解 N 5 得到總收入的一個局部極小值 T 62 100 272 千美元 即最大化本班收入的律師人數(shù)為 62 人 3 分 4 20 分 電影 天下無賊 講述的是一個相信 天下無賊 的農(nóng)村青年 在一對 神偷 夫妻 這對夫妻因為受他的恩惠決定保護他而不是偷竊他 的幫助下 與另一伙小偷周旋 最終將自己辛苦打工的幾萬元錢安全帶回家的故事 考慮一個小偷 Thief 與你 You 的博弈 假設你的手上有價值為 V 的物品 或金錢 小偷有兩種選擇 偷 與 不偷 你也有兩種選擇 防 與 不防 小偷和你都無法事 先觀察到對方的選擇 如果你選擇 防 而小偷選擇 偷 小偷完全不能獲得該價值的物 品 如果你選擇 不防 而小偷選擇 偷 則小偷會完全獲得該價值的物品 再假設無論 小偷是否選擇 偷 你選擇 防 都要付出一個 額外的 成本 c1 而無論你是否選擇 防 小偷選擇 偷 也都要付出一個成本 c2 假設 c1 V c2 c d t 0 小偷不能成功侵入一個全是智者的種群 但可以成功入侵一個全是傻瓜的種群 2 分 f 寫出按照第一標準 primary criterion 智者可以成功侵入一個全是小偷 All T 的種群 而傻瓜則不能成功侵入一個全是小偷的種群的條件 2 分 g 在滿足第 e 和 f 問給出的條件下 找到所有 的 天下無賊 即不包含 小偷 T 的表現(xiàn)型 的演化穩(wěn)定均衡 ESS 3 分 解答 解答 a 博弈表如下 3 分 你 防 不防 偷 c2 c1 V c2 V p 小偷 不偷 0 c1 0 0 1 p q 1 q 容易看出該博弈沒有純策略納什均衡 只有一個混合策略納什均衡 小偷以概率 p c1 V 選 擇偷 1 p 1 c1 V 的概率選擇不偷 你以概率 q 1 c2 V 選擇防 1 q c2 V 的概率選擇不防 2 分 小偷的期望收益為 0 你的期望收益為 c1 而社會福利最大出現(xiàn)在小偷不偷 你不防的情況 下 為零 因此該均衡沒有實現(xiàn)社會福利最大 1 分 b V 增加 q 增加 p 減少 即 當物品價值增加時 你選擇防的概率增加 而小偷選擇 偷的概率減少 而小偷并不傾向于偷的原因正好是你傾向于防 當 防 的成本 c1 增加 小偷傾向于偷 而 偷 的成本 c2 增加時 你傾向于不防 2 分 c 博弈表如下 3 分 COLUMN T W F T d d d h c e h d c W h c e d h t c h t c h t c h t c ROW F c h d h t c h t c h t c h t c d 根據(jù)第一標準 primary criterion 當一個傻瓜侵入一個全是智者的種群時 它遇到智 者得到 h t c 而一個智者遇到智者時也得到同樣的收益 因此第一標準不能排除傻瓜的侵 入 考慮第二標準 secondary criterion 當傻瓜遇到傻瓜時 得到 h t c 智者遇到傻瓜時 收益相同 第二標準也不能排除傻瓜侵入 因此傻瓜可以成功侵入一個全是智者的種群 類 似的 一個智者也可以成功侵入一個全是傻瓜的種群 2 分 e 當小偷侵入一個全是智者的種群時 遇到智者它得到 d 而智者遇到智者則得到 h t c 如果 h t c d 或者 h c t d 時 根據(jù)第一標準 小偷無法成功侵入 當小偷侵入一個全是 傻瓜的種群時 遇到傻瓜它得到h d 而傻瓜遇到傻瓜得到h t c 如果h d h t c 或者c t d 0 5 姓名 班級 學號 經(jīng)濟博弈論 04 秋 則根據(jù)第一標準 小偷可以成功侵入 總之 條件為 h c t d 0 2 分 f 當智者侵入一個全是小偷的種群時 遇到小偷它得到 h c e 而小偷遇到小偷得到 d 智者成功侵入的條件 第一標準 為 h c e d 當傻瓜侵入一個全是小偷的種群時 遇到小 偷它得到 c 按照第一標準 傻瓜不能成功侵入的條件是 cd 注意到這一條 件可以從第 ii 問的條件 c t d 0 推出 2 分 g 考慮一個 天下無賊 的種群 即一個只包含智者和傻瓜的種群 假設智者的比例為 x 則傻瓜的比例為 1 x 我們要找到這一種群不能為小偷成功侵入的條件 當小偷侵入這 一種群時 在遇到已有種群的混合 它得到 x d 1 x h d 1 x h d 而已有種群當中的智者或者傻瓜 在遇到已有種群的混合時 得到 h t c 小偷不能成功侵入 只要 h t c 1 x h d 或者 x c t d h 注意到只有當條件 h c t d 0 滿足時 這一不等式才有意義 因此 一個由智者的比例高于 c t d h 的智者與傻瓜組成的種群 就是 天下無賊 的所有 演化穩(wěn)定均衡 3 分 5 20 分 一伙歹徒劫持了人質(zhì)后與政府對峙 歹徒有兩種選擇 殺死人質(zhì)與釋放人質(zhì) 政府也有兩種選擇 答應歹徒與拒絕 假定歹徒和政府的收益如下 歹徒最偏好的結(jié)果是釋放人質(zhì)同時政府答應 政府最偏好 的結(jié)果是拒絕同時歹徒釋放人質(zhì) 給定政府答應或拒絕 歹徒都傾向于釋放人質(zhì) 而給定歹 徒釋放或殺死人質(zhì) 政府都傾向于拒絕 與此同時 對歹徒而言 將政府答應同時 殺死人質(zhì) 的結(jié)果 與政府拒絕同時 不殺死人質(zhì)的結(jié)果比較 歹徒更偏好前者 對政府而言 將歹徒殺 死人質(zhì)同時不答應的結(jié)果 與歹徒釋放人質(zhì)同時答應的結(jié)果相比較 政府偏好后者 稱為 軟弱 的政府 假定歹徒的收益分別以下四種之一 10 2 2 5 軟弱政府的收益分別是以下 四種之一 2 4 8 10 a 考慮同時博弈 根據(jù)上面的敘述 從給出的數(shù)字中選擇合適的表示每個參與者 在各種結(jié)果時的收益大小 從而畫出博弈表 指出其納什均衡 均衡下雙方收 益各為多少 4 分 b 政府是否有動機改變上述同時博弈的結(jié)果 歹徒是否有動機改變 如果有 指 出其可以采取的策略性行動 strategic moves 及其結(jié)果 這里均假設策略性行 動是可信的 3 分 現(xiàn)在 考慮政府是強硬 的 而不是軟弱的 對政府而言 將歹徒殺死人質(zhì)同時不答應的 結(jié)果 與歹徒釋放人質(zhì)同時答應的結(jié)果相比較 政府偏好前 者 其余條件不變 強硬政 府的收益分別是以下四種之一 2 6 8 10 c 畫出此時的同時博弈的博弈表 這一改變?nèi)绾斡绊?a 中的均衡結(jié)果 這一改 變將如何影響 b 中任何一方采取策略性行動時的博弈結(jié)果 如果你認為 b 中任何一方存在策略性行動的動機的話 4 分 d 假定歹徒不確切地知道政府是否強硬 而只是知道其強硬的概率為 p 歹徒是 否可以使用邊緣政策 Brinkmanship 如果是 畫出博弈樹 并指出這一政 策的有效性 effectiveness 與可接受性 acceptability 條件 根據(jù)這兩個條件 寫出在不同的 p 值下 歹徒的最佳策略 7 分 e 在現(xiàn)實中 歹徒如何使用這一策略 舉例說明 為什么這一政策可能失敗 失 敗的結(jié)果是什么 2 分 6 姓名 班級