逆矩陣的幾種求法與解析.doc

逆矩陣的幾種求法與解析矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容,很多實際問題用矩陣的思想去解既簡單又快捷.逆矩陣又是矩陣理論的很重要的內(nèi)容, 逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一.本文將給出幾種求逆矩陣的方法.1.利用定義求逆矩陣定義: 設(shè)A、B 都是n 階方陣, 如果存在n 階方陣B 使得AB= BA = E, 則稱A為可逆矩陣, 而稱B為A 的逆矩陣.下面舉例說明這種方法的應(yīng)用.例1求證: 如果方陣A 滿足A= 0, 那么E-A是可逆矩陣, 且（E-A）= E + A + A+A證明 因為E 與A 可以交換, 所以(E- A )(E+A + A+ A)= E-A,因A= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A+A）=E，同理可得（E + A + A+A）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩陣,且(E-A)= E + A + A+A.同理可以證明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A+（-1）A.由此可知, 只要滿足A=0，就可以利用此題求出一類矩陣EA的逆矩陣.例2設(shè)A =,求 E-A的逆矩陣.分析 由于A中有許多元素為零, 考慮A是否為零矩陣, 若為零矩陣, 則可以采用例2 的方法求E-A的逆矩陣.解 容易驗證A=， A=， A=0而(E-A)(E+A+ A+ A)=E,所以(E-A)= E+A+ A+ A=.2.初等變換法求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法.如果A可逆，則A可通過初等變換，化為單位矩陣I，即存在初等矩陣使 （1）A=I，用A右乘上式兩端，得： （2） I= A比較（1）（2）兩式，可以看到當A通過初等變換化為單位矩陣的同時，對單位矩陣I作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣A.用矩陣表示（A I）為（I A），就是求逆矩陣的初等行變換法，它是實際應(yīng)用中比較簡單的一種方法.需要注意的是，在作初等變換時只允許作行初等變換.同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣.例1 求矩陣A的逆矩陣.已知A=.解 A I 故 A=.在事先不知道n階矩陣是否可逆的情況下，也可以直接用此方法.如果在初等變換過程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0，則意味著A不可逆，因為此時表明=0，則A不存在.例2 求A=.解 A E= .由于左端矩陣中有一行元素全為0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴隨陣法定理 n階矩陣A=a為可逆的充分必要條件是A非奇異.且A=其中A是中元素a的代數(shù)余子式. 矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A= A*.證明 必要性：設(shè)A可逆，由A A=I，有=，則=，所以0，即A為非奇異.充分性： 設(shè)A為非奇異，存在矩陣B=，其中AB= =I同理可證BA=I.由此可知，若A可逆，則A= A*.用此方法求逆矩陣，對于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快陣，又有規(guī)律可循.因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣，只需要將主對角線元素的位置互換，次對角線的元素變號即可.若可逆矩陣是三階或三階以上矩陣，在求逆矩陣的過程中，需要求9個或9個以上代數(shù)余子式，還要計算一個三階或三階以上行列式，工作量大且中途難免出現(xiàn)符號及計算的差錯.對于求出的逆矩陣是否正確，一般要通過AA=I來檢驗.一旦發(fā)現(xiàn)錯誤，必須對每一計算逐一排查.4分塊矩陣求逆法4.1.準對角形矩陣的求逆命題 設(shè)A、A都是非奇異矩陣，且A為n階方陣，A為m階方陣 證明 因為=0, 所以A可逆.設(shè)A=，于是有=,其中 X A=I ， Y A=0，Z A=0，W A=I.又因為A、A都可逆，用A、A分別右乘上面左右兩組等式得：X= A，Y=0，Z=0，W= A故 A= 把上述結(jié)論推廣到每一個子塊都是非奇異矩陣的準對角形狀矩陣中去，即：=4.2.準三角形矩陣求逆命題設(shè)A、A都是非奇異矩陣，則有=證明 因為=兩邊求逆得=所以 =同理可證=此方法適用于大型且能化成對角子塊陣或三角塊陣的矩陣. 是特殊方陣求逆的一種方法，并且在求逆矩陣之前，首先要將已給定矩陣進行合理分塊后方能使用.5.恒等變形法恒等變形法求逆矩陣的理論依據(jù)為逆矩陣的定義，此方法也常用與矩陣的理論推導上.就是通過恒等變形把要求的值化簡出來，題目中的逆矩陣可以不求，利用AA=E，把題目中的逆矩陣化簡掉。 例1 計算（A+4E）（4E-A）（16E-A）的行列式，其中 A=解 令 =DD= =.雖然題目中出現(xiàn)了（4E-A）.但是經(jīng)過化簡之后不再出現(xiàn)此式，因此得D=22500.例2 已知 n階矩陣A滿足A+2A-3E=0.求證：A+4E可逆并求出A+4E的逆.證明 把A+2A-3E=0變形為A+2A-8E=-5E，即（A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，所以存在一個矩陣B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定義得A+4E可逆，且（A+4E）=B=-A/5+2E/5.另外，有些計算命題中雖出現(xiàn)逆矩陣，但通過適當?shù)木仃囘\算可消去，因而不必急于求出逆矩陣.6利用線性方程組求逆矩陣 6.1若n階矩陣A可逆，則A A=E，于是A的第j列Xj是線性方程組AXj=Ej的解，j=1,2,n, Ej是第j個分量是1的單位向量.因此，我們可以去解線性方程組AX=B，其中B=(b,b,b),然后在所求的解中把B=(b,b,b)列，分別用E=(1,0,0,0)，E=(0,1,0,0)，E=(0,0,0,1)代替，便可以求得A的第1，2，n列，所以A-1= (X,X,X).這種方法在某些時候可能比初等變換法求逆矩陣稍微簡一點.下面例子說明該方法的應(yīng)用. 6.2若n階矩陣A可逆，則A A=E令A(yù)-1= X=(x,x,x) E=B=(b,b,b) (x,b皆為行向量)則A A=E變?yōu)锳X=B因此，我們可以去解線性方程組AX=B，然后把所求的解的公式中的b,b,b分別用b=(1,0,0,0)，b=(0,1,0,0)，b=(0,0,0,1)代替，便可以求得x,x,x,x,x，所以A-1= X=(x,x,x)例 求矩陣A=的逆矩陣.解 設(shè)X=(x,x,x,x,x),B=(b,b,b,b,b) 解方程組 AX=B，即：解得： 然后把B=(b,b,b)列，分別用E=(1,0,0,0)，E=(0,1,0,0)，E=(0,0,0,1)代入，得到矩陣A的第1，2 ，3，4，5列，分別為X=(,0,0,0,0),X=(-3,0,0,0),X=(3,-3,0,0),X=(-3,3,-3,0),X=(3,-3,3,-3,)A=.這種方法特別適用于線性方程組AX=B比較容易求解的情形，也是很多工程類問題的解決方法.以上各種求逆方法只是我的一些粗淺的認識，也許有很多的不當之處，我希望我的這篇文章能給大家?guī)韼椭?，能幫助我們更快更準地解決好繁瑣的求逆矩陣問題.同時，它還是我們更好的學習線性代數(shù)的必備基礎(chǔ)知識，認真掌握它，可供我們以后繼續(xù)在數(shù)學方面深造打下堅實的基礎(chǔ).但我很希望各位老師和同學給于指導.能使我的這篇文章更加完善和實用.參 考 文 獻1 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)M . 北京: 高等教育出版社, 2001.2 楊明順. 三角矩陣求逆的一種方法J . 渭南師范學院學報, 2003.3 丘維聲. 高等代數(shù)M . 北京: 高等教育出版社,2001.4 楊子胥. 高等代數(shù)習題集M . 濟南:山東科學技術(shù)出版社,1984.5 趙樹原. 線性代數(shù)M . 北京:中國人民大學出版社,1997.6 李宗鐸. 求逆矩陣的一個方法 J . 數(shù)學通報,1983.7 賀福利等. 關(guān)于矩陣對角化的幾個條件J . 高等函授學報(自然科學版) ,2004 , (1)8 張禾瑞.郝炳新.高等代數(shù)M. 北京: 高等教育出版社.1999.9 王永葆. 線性代數(shù)M.長春：東北大學出版社.2001.10 同濟大學遍.線性代數(shù)（第二版）. 北京: 高