“導數(shù)及其應用”教學研究.doc

專題講座高中數(shù)學“導數(shù)及其應用”教學研究李梁 北京市西城區(qū)教育研修學院 一、關于導數(shù)內(nèi)容的深層理解（一）微積分的發(fā)展史簡述一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的，微積分也是這樣.微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念、求積的無限小方法積、分與微分的互逆關系.前兩階段的工作，歐洲及中國的大批數(shù)學家都作出了各自的貢獻.最后一步是由牛頓、萊布尼茲各自獨立完成的.在早至公元前430年安提豐為解決化圓為方問題而提出的”窮竭法”,就為微積分奠定了一定的基礎，開始了極限論的萌芽.后經(jīng)過歐多克斯的加工到阿基米德的完善，窮竭法最終定型.阿基米德的貢獻是積分學的萌芽.與此同時，戰(zhàn)國時期莊子在莊子天下篇中說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，體現(xiàn)了無限可分性及極限思想.公元3世紀,劉徽在九章算術中提及割圓術“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣” 用正多邊形來逼近圓周.這是極限論思想的成功運用。他的極限思想和無窮小方法，也是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn).雖然最后是歐洲人真正的研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，但中國古代數(shù)學對于微積分的出色工作也是不可忽視的.從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到14世紀初弧矢割圓術、組合數(shù)學、計算技術改革和珠算等數(shù)學史上的重要成果，中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關鍵.中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門.可惜中國元朝以后，八股取士制造成了學術上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關鍵一步落伍了.至于歐洲，由于16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學技術的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景.到了17世紀，由于生產(chǎn)力的提高和社會各方面的迫切需要，有許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述問題做了大量的研究工作.如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻.1629年費爾瑪給了如何確定極大極小值的方法，這是微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作.其后英國劍橋大學三一學院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產(chǎn)生.而笛卡爾等對解析幾何的貢獻也為微積分奠定了基礎.但這些人的工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性.直到十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作.他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題) .牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源.但牛頓是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論，即“流數(shù)術”理論，這實際上就是微積分理論.但牛頓的“流數(shù)術”，在概念上是不夠清晰的，理論上也不夠嚴密，在運算步驟中具有神秘的色彩，還沒有形成無窮小及極限概念.而萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的.萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號，正像印度阿拉伯數(shù)碼促進了算術與代數(shù)發(fā)展一樣，促進了微積分學的發(fā)展.萊布尼茨是數(shù)學史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一.牛頓在微積分的應用上更多地結(jié)合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達形式采用數(shù)學符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質(zhì)，強有力地促進了高等數(shù)學的發(fā)展.但由于受當時歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎還不十分牢靠，有些概念比較模糊，因此引發(fā)了長期關于微積分的邏輯基礎的爭論和探討.經(jīng)過18、19世紀一大批數(shù)學家的努力，特別是在法國數(shù)學家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴格地證明了微積分基本定理即牛頓萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個基本嚴格的完整體系.（二）微積分在整個數(shù)學知識體系中的地位及作用微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力.微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律.此后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.導數(shù)概念是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.（三）導數(shù)及其應用的結(jié)構(gòu)框圖（四）導數(shù)及其應用的教學重點和難點1教學重點：（1）導數(shù)概念的建立及其幾何意義；（2）導數(shù)的運算；（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值等性質(zhì).2教學難點：（1）在沒有極限的條件下建立導數(shù)的概念；（2）體會極限意義下的數(shù)學與精確意義下的數(shù)學的區(qū)別和聯(lián)系；（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).二、導數(shù)及其應用的教學建議（一）沒有極限怎樣講解導數(shù)的概念？1以往教材的體現(xiàn)順序：數(shù)列數(shù)列的極限函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)導數(shù)導數(shù)應用不定積分定積分（導數(shù)作為一種特殊極限處理，有形式化的極限概念），體系相對完整.2新教材從變化率入手研究導數(shù)，用形象直觀的 “逼近”方法定義導數(shù)：從函數(shù)的平均變化率到瞬時變化率，再到函數(shù)在處的導數(shù)，進而到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導函數(shù)（導數(shù)）.這樣的好處體現(xiàn)在：（1）避免學生認知水平和知識學習間的矛盾；（2）更多精力放在對導數(shù)本質(zhì)的理解上；（3）對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解.3導數(shù)概念的建立：（1）平均變化率：對于函數(shù)，定義為函數(shù)從到的平均變化率.換言之，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)相應地有增量，則比值就叫做函數(shù)從到之間的平均變化率.（2）函數(shù)在處的導數(shù)：函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即.（3）函數(shù)的導函數(shù)（導數(shù)）：當變化時，是的一個函數(shù)，我們稱它為函數(shù)的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），即.例1 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為，則函數(shù)在處的導數(shù)_ 通過本例分析，強調(diào)導數(shù)定義的重要性及數(shù)形結(jié)合思想的應用.（二）導數(shù)的幾何意義教學注意事項1關注對于曲線切線的重新認識：曲線的切線為曲線割線的極限位置.2導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即.3強調(diào)切點的重要性：切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切線與曲線的方程.教學中教師可以設計如下例題：例2 （1）求曲線在點處的切線方程；（2）過點作曲線的切線，求切線的方程.對于（1），根據(jù)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進而由直線方程的點斜式求得切線方程.對于（2），注意到點不在曲線上，所以可設出切點，并通過導數(shù)的幾何意義確定切點的坐標，進而求出切線方程.解：（1）曲線在點處的切線斜率為，從而切線的方程為，即.（2）設切點的坐標為.根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，切線的斜率為，從而切線的方程為. 因為這條切線過點，所以有，整理得，解得，或.從而切線的方程為，或，即切線的方程為，或.通過此例，引導學生關注運用導數(shù)求曲線的切線方程，常依據(jù)的條件是： 函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即； 切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切線與曲線的方程.（三）導數(shù)的運算教學注意事項1熟悉導數(shù)公式表，即幾種常見函數(shù)的導數(shù)： （為常數(shù)）； （，）； ； ； ； （，且）； ； （，且）2明確導數(shù)的運算法則： ； ； （）3關注簡單的復合函數(shù)（僅限于形如）的導數(shù)：設函數(shù)，則函數(shù)稱為復合函數(shù)其求導步驟是：，其中表示對求導，表示對求導對求導后應把換成教學中教師可以設計如下例題：例3 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）方法一：.方法二：， .（2）方法一：.方法二：， .（3）方法一：.方法二：.（4）.通過此例題，教師強調(diào)理解和掌握求導法則和式子的結(jié)構(gòu)特點是求導運算的前提條件.運用公式和求導法則求導數(shù)的基本步驟為： 分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征； 選擇恰當?shù)那髮Х▌t和導數(shù)公式求導數(shù)； 化簡整理結(jié)果.應注意：在可能的情況下，求導時應盡量減少使用乘法的求導法則，可在求導前利用代數(shù)、三角恒等變形等方法對函數(shù)式進行化簡，然后再求導，這樣可減少運算量.（如（1）（2）題的方法二較方法一簡捷）.對于（3），方法一是使用積的導數(shù)運算公式求解，即使用三角公式將表示為和的乘積形式，然后求導數(shù)；方法二是從復合函數(shù)導數(shù)的角度求解. 方法二較方法一簡捷.對利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)要熟練、準確.（四）定積分與微積分基本定理教學須知1曲邊梯形的面積與定積分：（1）定積分定義：設函數(shù)定義在區(qū)間上. 用分點把區(qū)間分為個小區(qū)間，其長度依次為，.記為這些小區(qū)間長度的最大者.當趨近于時，所有的小區(qū)間的長度都趨近于.在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點，作和式.當時，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中叫做被積函數(shù)，叫做積分下限，叫做積分上限，此時稱函數(shù)在區(qū)間上可積. 教學中應突出：分割近似代替求和取極限的步驟，概念非常抽象，結(jié)合圖形幫助分析.（2）明確定積分性質(zhì)：定積分有三條主要的性質(zhì)： （為常數(shù)）； ； （）.性質(zhì) 對于有限個函數(shù)（兩個以上）也成立；性質(zhì) 對于把區(qū)間分成有限個（兩個以上）區(qū)間也成立.在定積分的定義中，限定下限小于上限，即.為了計算方便，我們把定積分的定義擴展，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：.（3）明確幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法： 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積. 由兩條直線，兩條曲線， 圍成的平面圖形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積，即在區(qū)間上，有正有負，求曲邊梯形的面積時應分段計算.2、微積分基本定理：如果，且在上可積，則，其中叫做的一個原函數(shù). 原函數(shù)在上的改變量簡記作，因此微積分基本定理可以寫成.教學中可采用如下例題：例4 計算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）. 解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.教學重要明確求一般分為兩步： 求的原函數(shù)； 計算的值，對于求較復雜函數(shù)的定積分還要依據(jù)定積分的性質(zhì).例5 求曲線，及直線所圍成圖形的面積.解：兩條曲線，的交點為，故所求面積.（五）例舉導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負有如下關系：設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導， 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.值得注意的是，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有（或），但其中只有有限個點使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是增函數(shù)（或減函數(shù)）.（2）一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導數(shù)的絕對值越大，說明這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快.這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值：（1）設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，是極大值點；如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值，是極小值點.（2）需要注意，可導函數(shù)的極值點必是導數(shù)為零的點，但導數(shù)為零的點不一定是極值點.如在處的導數(shù)值為零，但不是函數(shù)的極值點.也就是說可導函數(shù)在處的導數(shù)是該函數(shù)在處取得極值的必要但不充分條件.（3）函數(shù)在區(qū)間上的最值：在區(qū)間上的最大值（或最小值）是在區(qū)間內(nèi)的極大值（或極小值）及中的最大者（或最小者）.（4）應注意，極值只是相對一點附近的局部性質(zhì)，而最值是相對整個定義域內(nèi)的整體性質(zhì).例6 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：的定義域為，求導數(shù)得.令，得. 當，即時，的變化情況如下表：所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當，即時，的變化情況如下表：所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當，即時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.通過本例，明確求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟： 確定的定義域（這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集）； 計算導數(shù)； 求出方程的根； 列表考察的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間（必要時要進行分類討論）.例7 求函數(shù)的極值.解：，令，解得.列表分析如下：極大值極小值所以當時，有極大值；當時，有極小值.通過本例，明確求函數(shù)的極值的步驟： 計算導數(shù)； 求出方程的根； 列表考察的根左右值的符號：如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值.例8 已知函數(shù) （1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值解：（1）令，解得或所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， （2）因為，所以因為在上，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值于是有，解得 故，因此即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為通過本例，明確求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本方法： 計算導數(shù)； 求出方程的根； 比較函數(shù)值及的大小，其中的最大（?。┱呔褪窃陂]區(qū)間上最大（小）值例9 求證：當時， 不等式兩邊都是關于的函數(shù)，且函數(shù)類型不同，故可考慮構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性來輔助證明不等式.證明：構(gòu)造函數(shù)，則.當時，有，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當時，即當時， .通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，而借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性輔助證明不等式突出了導數(shù)的工具性作用.三、學生學習中常見的錯誤分析與解決策略1忽視函數(shù)的定義域：例10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.易錯點：不優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域而直接求導，但求導后函數(shù)的 “模樣”（類型）變化很大，導致定義域變化，因而出現(xiàn)問題.簡解：的定義域是，且，令，得（舍去）. 列表分析如下：所以函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間是.錯因分析：研究一個函數(shù)要優(yōu)先考慮自變量的取值集合，這是一個基本順序.在本題中如果忽視它，將導致對于的無謂討論.解決策略： 明確導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具之一，遵循一般函數(shù)的研究順序； 養(yǎng)成在定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)問題的習慣； 有檢驗意識.2不會研究較抽象的問題例11 設，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當時，且，則不等式的解集是（ ）A BC D易錯點：題目給出的信息量較大，并且還都是抽象符號函數(shù)，不知從何下手？錯因分析：對于函數(shù)與導數(shù)要有整體的把握，才能從更高的觀點出發(fā)，對于新情境問題找到突破口.解決策略：首先要標出重要的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究.由你能產(chǎn)生什么聯(lián)想？它和積的導數(shù)公式很類似，整理可得.令，則當時，是增函數(shù)再考慮奇偶性，函數(shù)是奇函數(shù). 還有一個已知條件，進而可得，這樣我們就可以畫出函數(shù)的示意圖，借助直觀求解. 答案：D3用導數(shù)解決實際問題例12 用總長的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多，那么長和寬分別為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積易錯點：讀不懂題，不能化未知為已知；即使能夠建立函數(shù)關系也不關注實際背景錯因分析：函數(shù)觀念弱化，無法建立函數(shù)關系，建模能力弱解決策略：解決實際優(yōu)化問題的關鍵在于建立數(shù)學模型（目標函數(shù)），通過把題目中的主要關系（等量和不等量關系）形式化，把實際問題抽象成數(shù)學問題，再選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼夂喗猓涸O容器底面長方形寬為，則長為，依題意，容器的高為 顯然，即的取值范圍是 記容器的容積為，則 對此函數(shù)求導得， 令，解得； 令，解得所以，當時，取得最大值1.8，這時容器的長為 答：容器底面的長為m、寬為m時，容器的容積最大，最大容積為四、學生學習目標檢測分析（一）課程標準中的相關要求1導數(shù)及其應用（1）導數(shù)概念及其幾何意義 通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵 通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義（2）導數(shù)的運算 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)，的導數(shù) 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如）的導數(shù) 會使用導數(shù)公式表（3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性（4）生活中的優(yōu)化問題舉例例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用（5）定積分與微積分基本定理 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念 通過實例（如變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關系），直觀了解微積分基本定理的含義（二）高考考試內(nèi)容與要求1導數(shù)概念及其幾何意義2導數(shù)的運算3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用4生活中的優(yōu)化問題5定積分與微積分基本定理（三）典型題目剖析：例13 已知，函數(shù)，.設，記曲線在點處的切線為.（1）求的方程；（2）設與軸的交點是，證明：.對于（1），根據(jù)導數(shù)的幾何意義，不難求出的方程；對于（2），涉及到不等式的證明，依題意求出用表示的后，將視為的函數(shù)，即，結(jié)合要證明的結(jié)論進行推理.簡解：（1）對求導數(shù)，得，由此得切線的方程為：.（2）依題意，切線方程中令，得.由，及，有；另一方面，從而有，當且僅當時，. 本題考查的重點是導數(shù)的概念和計算、導數(shù)的幾何意義及不等式的證明.涉及的基礎知識都比較基本，題目難度也不大，但把導數(shù)的相關知識與不等式等內(nèi)容有機整合，具有一定新意，體現(xiàn)了導數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法，這種趨勢在教學中因予以關注，體現(xiàn)導數(shù)的工具性作用.本題中的（2）在證明時，還可用如下方法： 作差，. 利用平均值不等式，.例14 （2009年高考北京卷理18）設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.本題以研究函數(shù)的單調(diào)性為背景，全面考查了運用導數(shù)解決與單調(diào)性相關問題的全過程.從數(shù)學思想角度考查了函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、劃歸與轉(zhuǎn)化的思想等，內(nèi)涵豐富.通過這個問題可以有效引導教學關注考查熱點，關注導數(shù)教學的重點，注意教學的針對性與實效性.簡解：（1），令，得.若，則當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增.若，則當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.（2）若，則當且僅當，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若，則當且僅當，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.綜上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是.例15 （2007年高考全國卷理1 20） 已知函數(shù)（1）證明：的導數(shù)；（2）若對所有都有，求的取值范圍本題以研究一個新的函數(shù)的性質(zhì)為背景，全面考查了運用導數(shù)方法解決相關問題的全過程.考查了分類與整合的思想、構(gòu)造函數(shù)模型證明不等式的基本方法等重點突出，內(nèi)涵豐富.題目將導數(shù)融入函數(shù)整體性質(zhì)的考查以及和不等式的有機結(jié)合頗有創(chuàng)意，可以對我們教學中的方向和要求起到提示作用簡解：（1）的導數(shù)由于，故，當且僅當時，等號成立（2）令，則， 若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即 若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是通過對上述高考題目的剖析，教師們要明確導數(shù)在高考中的考查熱點，主要集中在下述幾方面：1研究函數(shù)性質(zhì) 導數(shù)作為研究函