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第五章圖論樹 主要內(nèi)容 樹重點 生成樹 最優(yōu)樹 最小生成樹難點 最小生成樹 樹 一 樹的定義1 連通且無回路的無向圖稱為樹 用T表示 T中的1度結(jié)點稱為樹葉 大于1度的結(jié)點稱為分支點 孤點稱為平凡樹 僅由樹組成的無向圖稱為森林 2 樹的性質(zhì) 連通且無回路 E V 1 增加任意一條邊必出現(xiàn)回路 刪除任意一條邊必不連通 每對結(jié)點間僅有一條通路 3 任何非平凡樹中至少有2片樹葉 二 生成樹1 生成樹若圖G的生成子圖是一棵樹 則稱此樹是G的生成樹 2 樹的補圖G中不屬于生成樹T的邊的集合稱為樹T的補 3 生成樹的求法一般可用破圈法做 即把圖G中的回路去掉一條邊 使它不再是回路 如此做下去 直到恰好把所有的回路都破壞掉 就得到了生成樹 用破圈法一共要去掉條邊 例題 設(shè)G 是有p個結(jié)點 s條邊的連通圖 則從G中刪去條邊 才能確定G的一棵生成樹 解 設(shè)要刪去k條邊 例題 設(shè)G是有6個結(jié)點的完全圖 從G中刪去條邊則能得到樹 A 6B 9C 10D 15解 G是有6個結(jié)點的完全圖 G中共有6 5 2 15條邊 要使G成為樹 G中只應(yīng)留下5條邊 故應(yīng)刪去10條邊 選C C 4 最小生成樹在帶權(quán)圖G中所生成的總權(quán)數(shù)最小的生成樹稱為最小生成樹 5 最小生成樹的求法選取權(quán)數(shù)最大的邊所在的回路 去掉其中權(quán)數(shù)最大的邊 如此做下去 直到求出生成樹為止 這樣求出的生成樹一定是最小生成樹 還有一種方法稱為克魯斯特爾算法 先去掉所有的邊 然后從權(quán)數(shù)最小的邊的開始 從小到大逐步選取 如果所選取的邊和已選取的邊構(gòu)成了回路 則不選取這條邊重新選取 直到連接完所有的結(jié)點 這樣求出的樹就是最小生成樹 例題 帶權(quán)圖如右 求圖的最小生成樹解 選取含最大邊 c d 的回路cdec 刪去其中權(quán)數(shù)最大的邊 c d 然后再選取含最大邊 a b 的回路abea 刪去其中權(quán)數(shù)最大的邊 a b 再選取含最大邊 c e 的回路bceb 刪去其中權(quán)數(shù)最大的邊 c e 再選取含最大邊 a d 的回路adea 刪去其中權(quán)數(shù)最大的邊 a d 即得最小生成樹 T 例題 求圖G的一棵最小生成樹 解 解法二 用克魯斯特爾算法做 先去掉所有的邊 從最小邊 d e 開始選取 再選取 d a 再選取 e a 和 b

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