步步高大一輪復習講義數學2.5二次函數.doc

2.5二次函數1二次函數的定義與解析式(1)二次函數的定義形如：f(x)ax2bxc (a0)的函數叫做二次函數(2)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)_.頂點式：f(x)_.零點式：f(x)_.2二次函數的圖像和性質圖像函數性質a0定義域xR(個別題目有限制的，由解析式確定)值域a0a0y，)y(，奇偶性b0時為偶函數，b0時既非奇函數也非偶函數a0a0時，圖像與x軸有兩個交點M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.難點正本疑點清源1求二次函數解析式的方法：待定系數法根據所給條件的特征，可選擇一般式、頂點式或零點式中的一種來求已知三個點的坐標時，宜用一般式已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式已知二次函數與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2二次函數對應的一元二次方程的區(qū)間根的分布討論二次函數相應的二次方程的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點的函數值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置在討論過程中，注意應用數形結合的思想1若二次函數f(x)ax2bx2滿足f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.2(課本改編題)已知函數yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_3若函數yx2(a2)x3，xa，b的圖像關于直線x1對稱，則b_.4已知函數f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數，則實數a的取值范圍為_5若方程x22mx40的兩根滿足一根大于1，一根小于1，則m的取值范圍是() A. B.C(，2)(2，) D.題型一求二次函數的解析式例1已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數探究提高二次函數的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)；(2)頂點式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)已知函數的類型(模型)，求其解析式，用待定系數法，根據題設恰當選用二次函數解析式的形式，可使解法簡捷 設f(x)是定義在R上的偶函數，當0x2時，yx，當x2時，yf(x)的圖像是頂點為P(3,4)，且過點A(2,2)的拋物線的一部分(1)求函數f(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐標系中直接畫出函數f(x)的草圖；(3)寫出函數f(x)的值域題型二二次函數的圖像與性質例2已知函數f(x)x22ax3，x4,6(1)當a2時，求f(x)的最值；(2)求實數a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調函數；(3)當a1時，求f(|x|)的單調區(qū)間探究提高(1)二次函數在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論；(2)二次函數的單調性問題則主要依據二次函數圖像的對稱軸進行分析討論求解 已知函數f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內有一個最大值5，求a的值題型三二次函數的綜合應用例3若二次函數f(x)ax2bxc (a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求實數m的取值范圍探究提高二次函數、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常有機結合在一起，而二次函數又是“三個二次”的核心，通過二次函數的圖像貫穿為一體因此，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖像是探求解題思路的有效方法用函數思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點 已知函數f(x)x2mxn的圖像過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數都成立，函數yg(x)與yf(x)的圖像關于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數，求實數的取值范圍2.分類討論在二次函數中的應用試題：(13分)(2011濟南模擬)設a為實數，函數f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設函數h(x)f(x)，x(a，)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集審題視角(1)求a的取值范圍，是尋求關于a的不等式，解不等式即可(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數，分段函數的最值分段求，然后綜合在一起(3)對a討論時，要找到恰當的分類標準規(guī)范解答解(1)因為f(0)a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范圍為(，13分(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|5分()當a0時，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時g(a)2a2.7分()當aa，則由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2a2.此時g(a)a2，綜上，得g(a).10分(3)()當a時，解集為(a，)；()當a時，解集為；()當a時，解集為.13分批閱筆記分類討論的思想是高考重點考查的數學思想方法之一本題充分體現了分類討論的思想方法在解答本題時有兩點容易造成失分：一是求實數a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數最值時，分類討論的結果不能寫在一起，不能得出最后的結論除此外，解決函數問題時，以下幾點容易造成失分：1含絕對值問題，去絕對值符號，易出現計算錯誤；2分段函數求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較出大小關系；3解一元二次不等式時，不能與一元二次函數、一元二次方程聯系在一起，思路受阻.方法與技巧1數形結合是討論二次函數問題的基本方法特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常結合圖形尋找思路2含字母系數的二次函數問題經常使用的方法是分類討論比如討論二次函數的對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等3關于二次函數yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數yf(x)對定義域內所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數yf(x)圖像的對稱軸方程為x.(2)對于二次函數yf(x)對定義域內所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函數yf(x)圖像的對稱軸方程為xa(a為常數)(3)對于二次函數yf(x)對定義域內所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函數yf(x)圖像的對稱軸方程為xa(a為常數)注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)與f(x2a)f(x)是等價的(4)利用配方法求二次函數yax2bxc (a0)對稱軸方程為x；(5)利用方程根法求對稱軸方程若二次函數yf(x)對應方程f(x)0的兩根為x1、x2，那么函數yf(x)圖像的對稱軸方程為x.失誤與防范1求二次函數的單調區(qū)間時要經過配方法，要熟練準確利用配方法2對于函數yax2bxc要認為它是二次函數，就必須認定a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況3對于二次函數yax2bxc (a0)給定了定義域為一個區(qū)間k1，k2時，利用配方法求函數的最值是極其危險的，一般要討論函數圖像的對稱軸在區(qū)間外、內的情況，有時要討論下列四種情況：k1；k1；0，二次函數f(x)ax2bxc的圖像可能是()2(2010四川)函數f(x)x2mx1的圖像關于直線x1對稱的充要條件是() Am2 Bm2Cm1 Dm13已知函數f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函數，其定義域為ac，b，則點(a，b)的軌跡是()A線段 B直線的一部分C點 D圓錐曲線二、填空題4二次函數的圖像過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_5若函數ymx2x5在2，)上是增函數，則m的取值范圍是_6若函數f(x)axb (a0)的一個零點是1，則函數g(x)bx2ax的零點是_三、解答題7是否存在實數a，使函數f(x)x22axa的定義域為1,1時，值域為2,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由8已知二次函數f(x)ax2bx (a，b為常數，且a0)，滿足條件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實數m、n (m B.a Da0，12，則實數m的取值范圍是_.5若方程x211x30a0的兩根均大于5，則實數a的取值范圍是_6已知f(x)ax2bx3ab是偶函數，且其定義域為a1,2a，則yf(x)的值域_7已知函數f(x)的自變量的取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f(x)的保值區(qū)間函數f(x)x2形如n，) (n(0，)的保值區(qū)間是_三、解答題8已知關于x的二次函數f(x)x2(2t1)x12t.(1)求證：對于任意tR，方程f(x)1必有實數根；(2)若t2時，f(x)2x212x14.當x2.又f(x)為偶函數，f(x)f(x)2(x)212x14，即f(x)2x212x14.函數f(x)在(，2)上的解析式為f(x)2x212x14.(2)函數f(x)的圖像如圖：(3)由圖像可知，函數f(x)的值域為(，4例2解(1)當a2時，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調遞減，在2,6上單調遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數f(x)的圖像開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調函數，應有a4或a6，即a6或a4.(3)當a1時，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時定義域為x6,6，且f(x)，f(|x|)的單調遞增區(qū)間是(0,6，單調遞減區(qū)間是6,0變式訓練2解f(x)424a，對稱軸為x，頂點為.當1，即a2時，f(x)在區(qū)間0,1上遞增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)當01，即0a2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實數m的取值范圍是(，1)變式訓練3解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖像過點(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖像關于原點對稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當10時，F(x)的對稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數或.1或10.當10，即1時，F(x)4x顯然在(1,1上是增函數綜上所述，的取值范圍為(，0課時規(guī)范訓練A組1D2.A3.B4.y(x2)2150m6.0或17解f(x)(xa)2aa2.當a1時，f(x)在1,1上為增函數，a1(舍去)；當1a0時，a1；當01時，f(x)在1,1上為減函數，a不存在綜上可得a1.8解(1)f(x)滿足f(1x)f(1x)，f(x)的圖像關于直線x1對稱而二次函數f(x)的對稱軸為x，1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，(b1)20.由得b1，a.f