2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率、隨機(jī)變量及其分布12.3離散型隨機(jī)變量的分布列及期望、方差教案理新人教A版.docx

12.3離散型隨機(jī)變量的分布列及期望、方差最新考綱考情考向分析1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識(shí)分布列刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列2.了解超幾何分布，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.以理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量分布列的求法在高考中以解答題的形式進(jìn)行考查，難度多為中低檔.1離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率為p1，p2，pn，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：pi0_(i1,2,3，n)；p1p2pn1；P(xixxj)pipi1pj.3常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)二點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0p1，q1p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布(2)超幾何分布設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(nN)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，當(dāng)Xm時(shí)的概率為P(Xm)(0ml，l為n和M中較小的一個(gè))，稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布4離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，pn.(1)數(shù)學(xué)期望稱E(X)x1p1x2p2xnpn為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)，它刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平(2)方差稱D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差，即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)大小(或說(shuō)離散程度)，D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差5期望與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))概念方法微思考1隨機(jī)變量和函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別？提示區(qū)別：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射；聯(lián)系：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域2離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的3如何判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確？提示可用pi0，i1,2，n及p1p2pn1檢驗(yàn)4隨機(jī)變量的期望、方差與樣本期望、方差的關(guān)系是怎樣的？提示隨機(jī)變量的期望、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本期望、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的期望、方差趨于隨機(jī)變量的期望與方差題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量()(2)離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象()(3)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()(4)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(5)隨機(jī)變量的期望是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定()(6)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離期望的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小()題組二教材改編2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Pp則p為()A.B.C.D.答案C解析由分布列的性質(zhì)知，p1，p1.3已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A.B4C1D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.4有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.題組三易錯(cuò)自糾5袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A至少取到1個(gè)白球B至多取到1個(gè)白球C取到白球的個(gè)數(shù)D取到的球的個(gè)數(shù)答案C解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.6一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X4)的值為_(kāi)答案解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，故P(X4).題型一分布列的求法例1設(shè)某人有5發(fā)子彈，當(dāng)他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列解記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立，且P(Ak)，P(k)，k1,2,3,4,5.(1)方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2).方法二由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為PC.(2)X的所有可能值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(12)，P(X3)P(A123)P(1A2A3)22，P(X4)P(A12A3A4)P(1A234)33，P(X5)P(A12A34)P(1A23A4)2222.故X的分布列為X2345P思維升華求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)跟蹤訓(xùn)練1已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，則P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P題型二期望與方差例2某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元，則X1的分布列為X1300150PE(X1)300(150)200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬(wàn)元，則X2的分布列為X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.E(X1)E(X2)，D(X1)0，所以a1，所以E(X)01.故選C.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下，則P(|X2|1)等于()X1234PmA.B.C.D.答案C解析由m1，得m，所以P(|X2|1)P(X1)P(X3).故選C.3有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字和為X，則X8的概率是()A.B.C.D.答案C解析由題意知，X的取值為6,9,12，又P(X9)，P(X12)，所以X8的概率為，故選C.4設(shè)隨機(jī)變量的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)，則P等于()A.B.C.D.答案C解析由題意知，分布列為1Pa2a3a4a5a由分布列的性質(zhì)可得，a2a3a4a5a1，解得a.所以PPPP.故選C.5一個(gè)袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，小明從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球，則小明得分大于6分的概率是()A.B.C.D.答案A解析記得分為X，則X的可能取值為5,6,7,8，P(X7)；P(X8)，所以P(X6)P(X7)P(X8).6設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X101P23qq2則q等于()A1B.C.D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由題意知0q2，q.7口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_(kāi)答案X345P0.10.30.6解析X的取值為3,4,5.又P(X3)0.1，P(X4)0.3，P(X5)0.6.所以X的分布列為X345P0.10.30.68.隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_，公差d的取值范圍是_答案解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.又ad，cd，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0d，0d，d.9在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)的分布列為_(kāi)答案012P解析的所有可能值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列為012P10.某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過(guò)去200例類似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司一年后可獲收益的期望是_元答案4760解析由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利25000元的概率為0.04，故一年后收益的均值是60000.96(25000)0.044760(元)11為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)文明城市，某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少進(jìn)行一次“愛(ài)心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們進(jìn)行“愛(ài)心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛(ài)心送考”的人均次數(shù)；(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求X的分布列及期望解(1)由統(tǒng)計(jì)圖得200名司機(jī)中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛(ài)心送考”的人均次數(shù)為2.3.(2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次”為事件A，“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次”為事件B，“這兩人中一人送考1次，另一人送考3次”為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D，由題意知X的所有可能取值為0,1,2，P(X1)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X0)P(D)，X的分布列為X012PE(X)012.12(2018大連模擬)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種冰激凌，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每桶5元，售價(jià)為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)，如果最高氣溫不低于25，需求量為600桶，如果最高氣溫(單位：)位于區(qū)間20,25)，需求量為400桶，如果最高氣溫低于20，需求量為200桶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫()10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進(jìn)貨量n(單位：桶)為多少時(shí)，Y的期望取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值為200,400,600，記六月份最高氣溫低于20 為事件A1，最高氣溫(單位：)位于區(qū)間20,25)為事件A2，最高氣溫不低于25 為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計(jì)概率，可知P(X200)P(A1)，P(X400)P(A2)，P(X600)P(A3)，故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為X200400600P(2)由題意得，當(dāng)n200時(shí)，E(Y)2n400；當(dāng)200n400時(shí)，E(Y)2002(n200)(2)n2n160(400,640；當(dāng)400600時(shí)，E(Y)2002(n200)(2)4002(n400)(2)6002(n600)(2)1 7602n560，所以當(dāng)n400時(shí)，Y的期望取得最大值640.13已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對(duì)6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來(lái)確定哪一只受到了感染下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；(2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望解(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再?gòu)牧硪唤M中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概率為；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA，再?gòu)闹兄饌€(gè)化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為.(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為(單位：元)，則的可能取值為10,18,24,30,36.P(10)，P(18)，P(24)，P(30)，P(36)，則化驗(yàn)費(fèi)的分布列為1018243036P所以E()1018243036(元)14為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo)x)、推理(能力指標(biāo)y)、建模(能力指標(biāo)z)的相關(guān)性，并將它們各自量化為1,2,3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)wxyz的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：若w7，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若5w6，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若3w4，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號(hào)A1A2A3A4A5(x，y，z)(2,2,3)(3,2,2)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)學(xué)生編號(hào)A6A7A8A