2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何課時達(dá)標(biāo)檢測三十九利用空間向量求空間角理.docx

課時達(dá)標(biāo)檢測（三十九） 利用空間向量求空間角一般難度題全員必做1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D為B1C1的中點，求異面直線BD和A1C所成角的余弦值解：如圖所示，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)CACBCC12，則A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)， (2,0，2)，cos，.異面直線BD與A1C所成角的余弦值為.2.(2018河南洛陽模擬)已知三棱錐A BCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，P為線段BC上一點，且CP2PB.(1)求證：APDE；(2)求直線AC與平面DEF所成角的正弦值解：(1)證明：作PGBD交CD于點G.連接AG.2，GDCD.AD平面BCD，ADDC，在ADG中，tanGAD，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E為AC的中點，DEAE2，又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)以D為坐標(biāo)原點，直線DB、DC、DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，則即令x3，則n(3，3)設(shè)直線AC與平面DEF所成角為，則sin |cos，n|，所以AC與平面DEF所成角的正弦值為.3.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于點F，F(xiàn)ECD，交PD于點E.(1)證明：CF平面ADF；(2)求二面角D AFE的余弦值解：(1)證明：PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD.又CDAD，PDCDD，AD平面PCD.又PC平面PCD，ADPC.又AFPC，ADAFA，PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)設(shè)AB1，則在RtPDC中，CD1，又DPC30，PC2，PD，PCD60.由(1)知CFDF，DFCDsin 60，CFCDcos 60.又FECD，DE.同理EFCD.如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,1)，E，F(xiàn)，P(，0,0)，C(0,1,0)設(shè)m(x，y，z)是平面AEF的一個法向量，則又，令x4，得m(4,0，)由(1)知平面ADF的一個法向量為(，1,0)，設(shè)二面角D AFE的平面角為，可知為銳角，故cos |cosm，|.故二面角D AF E的余弦值為.中檔難度題學(xué)優(yōu)生做1.(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測)如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，各棱長均相等D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(1)證明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABC A1B1C1為直棱柱，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值解：(1)證明：在三棱柱ABC A1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，連接ED(圖略)，在ABC中，因為D，E分別為棱AB，BC的中點，所以DEAC，DEAC.又F為A1C1的中點，可得A1FA1C1，所以A1FDE，A1FDE，因此四邊形A1FED為平行四邊形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)法一：因為底面ABC是正三角形，D為AB的中點，所以CDAB，又AA1CD，AA1ABA，所以CD平面A1ABB1.如圖在平面A1ABB1內(nèi)，過點B作BGA1D，交直線A1D于點G，連接CG，則BG平面A1CD，所以BCG為直線BC與平面A1CD所成的角設(shè)三棱柱的棱長為a，可得A1D，由A1ADBGD，可得BG，在RtBCG中，sinBCG.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.法二：設(shè)A1B1的中點為O，連接OC1，OD，因為三棱柱ABC A1B1C1為直棱柱，所以O(shè)D平面A1B1C1，所以O(shè)DOC1，ODOA1.又A1B1C1為等邊三角形，所以O(shè)C1A1B1.以O(shè)為坐標(biāo)原點， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz.設(shè)三棱柱的棱長為a，則O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)所以，.設(shè)平面A1CD的法向量為n(x，y，z)，由得令x2，得n(2,1,0)設(shè)直線BC與平面A1CD所成的角為，則sin .所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.2如圖，正方形ABCD的邊長為4，ABAEBFEF，ABEF，把四邊形ABCD沿AB折起，使得AD平面AEFB，G是EF的中點，如圖.(1)求證：AG平面BCE；(2)求二面角CAEF的余弦值解：(1)證明：連接BG，因為BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG，因為AB綊EG，ABAE，所以四邊形ABGE為菱形，所以AGBE，又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.(2)由(1)知四邊形ABGE為菱形，AGBE，AEEGBGAB4，設(shè)AGBEO，所以O(shè)EOB2，OAOG2，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(xiàn)(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，設(shè)平面ACE的法向量為n(x，y，z)，則所以令y1，則x，z，即平面ACE的一個法向量為n(，1，)，易知平面AEF的一個法向量為(0,0,4)，設(shè)二面角CAEF的大小為，由圖易知，所以cos .較高難度題學(xué)霸做1.(2018安徽省百所重點高中模擬)如圖所示的幾何體由平面PECF截棱長為2的正方體得到，其中P，C為原正方體的頂點，E，F(xiàn)為原正方體側(cè)棱長的中點，正方形ABCD為原正方體的底面，G為棱BC上的動點(1)求證：平面APC平面PECF；(2)設(shè) (01)，當(dāng)為何值時，平面EFG與平面ABCD所成的角為？解：(1)證明：由已知可知，EBFD，且EBFD，如圖，連接BD，則四邊形EFDB是平行四邊形，EFBD.底面ABCD為正方形，BDAC.AP底面ABCD，BDAP.又ACAPA，BD平面APC，EF平面APC.EF平面PECF，平面APC平面PECF.(2)以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，則B(2,2,0)，F(xiàn)(0,0,1)，E(2,2,1)，G(2,22，0)，(2,2,0)， (0,2，1)，設(shè)m(x，y，z)是平面EFG的法向量，故即令y1，可得m(1，1,2)為平面EFG的一個法向量，而平面ABCD的一個法向量為n(0,0,1)于是cos|cosm，n|，解得，又01，.2(2018山西太原模擬)如圖甲，在平面六邊形ABFCDE中，四邊形ABCD是矩形，且AB4，BC2，AEDE，BFCF，點M，N分別是AD，BC的中點，分別沿直線AD，BC將ADE，BCF翻折成如圖乙的空間幾何體ABCDEF.(1)利用下面的結(jié)論或結(jié)論，證明：E，F(xiàn)，M，N四點共面；結(jié)論：過空間一點作已知直線的垂面，有且只有一個結(jié)論：過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面，有且只有一個(2)若二面角E ADB和二面角F BC A都是60，求二面角A BEF的余弦值解：(1)證明：如圖，連接MN，ME，NF，四邊形ABCD是矩形，點M，N分別是AD，BC的中點，AMBN，AMBN，DAB90，四邊形ABNM是矩形，ADMN.AEDE，點M是AD的中點，ADME，又MNMEM，AD平面EMN，平面EMN平面ABCD，同理可得平面FMN平面ABCD，由結(jié)論可得平面EMN與平面FMN是同一個平面，E，F(xiàn)，M，N四點共面(2)由(1)知平面EMNF平面ABCD，過點E作EOMN，垂足為O，EO平面ABCD.以過點O作垂直于MN的直線為x軸，ON，OE所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz.AD2，AEDE，點M是AD的中點，AE