第一節(jié) 映射與函數(shù).doc

第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)一、集合1、集合、集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）：指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.、元素（簡(jiǎn)稱(chēng)元）：指組成這個(gè)集合的事物.例如，一個(gè)書(shū)柜中的書(shū) 、一間教室里的學(xué)生 、全體實(shí)數(shù).注、集合用大寫(xiě)的拉丁字母A,B,C表示.、元素用小寫(xiě)的拉丁字母a,b,c表示.、a屬于A（aA）是指：a是集合A的元素 .a不屬于A（aA或aA）是指：a不是集合A的元素.、有限集是指：一個(gè)集合只含有有限個(gè)元素 .無(wú)限集是指不是有限集的集合.、表示集合的方法：、列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來(lái)表示.例如，由元素a ,a ,a 組合的集合的A，可表示成Aa ,a ,a .、描述法：若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可以表示示Mx|x具有性質(zhì)P.例如，集合B的方程x10的解集，就可表示成Bx|x10.、數(shù)集的字母的右上角標(biāo)上“*”：表示該數(shù)集內(nèi)排除0的集.標(biāo)上“+”：表示該數(shù)集內(nèi)排除0與負(fù)數(shù)的集.注 習(xí)慣上，、全體非負(fù)整數(shù)（自然數(shù)）的集合，記作N；即N0,1,2,n,；、全體正整數(shù)集合為，N 1,2,3,n,.、全體整數(shù)的集合記作Z；即Z,n,2,1,0,1,2,n,.、全體有理數(shù)集合記作Q；即Q |pZ，qN且p與q互質(zhì).、全體實(shí)數(shù)的集合，記作R.、排除數(shù)0的實(shí)數(shù)集，記作R*.、全體正實(shí)數(shù)集，記作R.、A是B的子集（A B或B A）：指集合A的元素都是集合B的元素.、集合A與集合B相等（AB）：指集合A與集合B互為子集，即A B且B A.例如，設(shè)A1,2， Bx|x3x20,則AB.、A是B的真子集（A B）：是指A B且A B.例如，N Z Q R.、空集（）：指不含任何元素的集合.例如，x|xR且x10是空集，因?yàn)檫m合條件x10的實(shí)數(shù)是不存在的.注 規(guī)定空集是任何集合A的子集，即 A.2、集合的運(yùn)算、設(shè)A,B是兩個(gè)集合.、并集（簡(jiǎn)稱(chēng)并）：由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作AB，即ABx|xA或xB.、交集（簡(jiǎn)稱(chēng)交）：由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作AB，即ABx|xA且xB.、差集（簡(jiǎn)稱(chēng)差）：由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的差集，記作AB，即ABx|xA且xB.、全集或基本集：研究某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行，我們稱(chēng)集合I為全集或基本集.、余集或補(bǔ)集：所研究的其他集合A都是I的子集，稱(chēng)IA為A的余集或補(bǔ)集，記作A .例如，在實(shí)數(shù)集R中，集合Ax|0x1的余集就是Ax|x0或x1.、設(shè)A,B,C為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立 .、交換律： ABBA， ABBA；、結(jié)合律： (AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)；、分配律： (AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)；、對(duì)偶律： (AB) A B ，(AB) A B .證明：兩個(gè)集合的并集的余集等于它們的余集的交集 .證：、因?yàn)閤(AB) xAB xA且xB xA 且xB xA B ，、所以 (AB) A B ；、反之，因?yàn)閤A B xA 且xB xA且xB xAB x(AB) ，、所以 A B (AB) .、于是 (AB) A B .注：、以上證明中，符號(hào)“ ”表示“推出”（或“蘊(yùn)含”）.、如果在證明的第一段中，將符號(hào)“ ”改用符號(hào)“ ”（表示“等價(jià)”），則證明的第二段可省略 .、設(shè)A,B是任意的兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y，組成一個(gè)有序?qū)?x,y)，把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑?，它們?nèi)w組成的集合稱(chēng)為集合A與集合B的直積，記為AB，即AB(x,y)|xA且yB.例如，RR(x,y)|xR，yR即為xOy面上全體點(diǎn)的集合，RR常記作R. 3、區(qū)間和領(lǐng)域、設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且 ab.、開(kāi)區(qū)間：數(shù)集x|axb稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間，記作(a,b)，即(a,b)x|axb.注：a和b稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間(a,b)的端點(diǎn)，這里a(a,b)，b(a,b).、閉區(qū)間：數(shù)集x|axb稱(chēng)為閉區(qū)間，記作a,b，即a,bx|axb.注：a和b也稱(chēng)為閉區(qū)間a,b的端點(diǎn)，這里aa,b，ba,b.、半開(kāi)區(qū)間：a,b)x|axb，(a,bx|axb.a,b)和(a,b都稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間.、有限區(qū)間：有限區(qū)間是長(zhǎng)度為有限的線段.注 區(qū)間長(zhǎng)度：數(shù)ba稱(chēng)為這些區(qū)間的長(zhǎng)度.、無(wú)限區(qū)間：無(wú)限區(qū)間是長(zhǎng)度為無(wú)限的線段.注 引進(jìn)記號(hào)及，則可類(lèi)似地表現(xiàn)無(wú)限區(qū)間.例如，a,)x|xa，(,bx|xb.全體實(shí)數(shù)集合R也可記作(,)，它也是無(wú)限區(qū)間.、區(qū)間：以后在不需要辯明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn)，以及是有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間的場(chǎng)合，我們就簡(jiǎn)單的稱(chēng)它為“區(qū)間”，且常用I表示.、領(lǐng)域：、以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)a的領(lǐng)域，記作U(a).、設(shè)是任一正數(shù)，則開(kāi)區(qū)間(a,a)就是點(diǎn)a的一個(gè)領(lǐng)域，這個(gè)領(lǐng)域稱(chēng)為點(diǎn)a的領(lǐng)域，記作U(a,)，即U(a,)x|axa.注a、點(diǎn)a稱(chēng)為領(lǐng)域的中心，稱(chēng)為領(lǐng)域的半經(jīng).b、由于axa相當(dāng)于|xa|，因此U(a,)x|xa|.因?yàn)閨xa|表示點(diǎn)x與點(diǎn)a間的距離，所以U(a,)表示：與點(diǎn)a的距離小于的一切點(diǎn)x的全體.、去心領(lǐng)域：點(diǎn)a的領(lǐng)域去掉中心a后，稱(chēng)為點(diǎn)a的去心領(lǐng)域，記作U(a,)，即U(a,)x|0|xa|.注 a、這里0|xa|就表示xa.b、為了方便，有時(shí)把開(kāi)區(qū)間(a,a)稱(chēng)為a的左領(lǐng)域，把開(kāi)區(qū)間(a,a)稱(chēng)為a的右領(lǐng)域.、兩個(gè)閉區(qū)間的直積表示xOy平面上的矩形區(qū)域.例如，a,bc,d(x,y)|xa,b，yc,d，即為xOy平面上的一個(gè)矩形區(qū)域，這個(gè)區(qū)域在x軸與y軸上的投影分別為閉區(qū)間a,b和閉區(qū)間c,d.二、映射1、映射概念【定義】 設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中每個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f為從X到Y(jié)的映射，記作f：XY.注、y稱(chēng)為元素x（在映射f下）的像，記作f(x)，即yf(x).、元素x稱(chēng)為元素y（在映射f下）的一個(gè)原像.、集合X稱(chēng)為映射f的定義域，記作D ，即D X.、X中所有元素的像所組成的集合稱(chēng)為映射f的值域，記作R 或f(x)，即R f(x)f(x)|xX.補(bǔ)充：、構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：、集合X，即定義域D X；、集合Y，即值域的范圍：R Y；、對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)每個(gè)xX，有唯一確定的yf(x)與之對(duì)應(yīng).、對(duì)每個(gè)xX，元素x的象y是唯一的；而對(duì)每個(gè)yR ，元素y的原像不一定是唯一的.、映射f的值域R 是Y的一個(gè)子集，即R Y，不一定R Y.【例1】設(shè)f：RR，對(duì)每個(gè)xR，f(x)x.、顯然，f是一個(gè)映射，f的定義域D R，值域R y|y0，它是R的一個(gè)真子集.、對(duì)于R 中的元素y，除y0外，它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2兩個(gè).【例2】設(shè)X(x,y)|xy1，Y(x,0)|x|1，f：XY，對(duì)每個(gè)(x,y)X，有唯一確定的(x,0)Y與之對(duì)應(yīng).、顯然f是一個(gè)映射，f的定義域D X，值域R Y.、在幾何上，這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間1,1上.【例3】設(shè)f: , 1,1，對(duì)每個(gè)x , ，f(x)sin x.這f是一個(gè)映射，其定義域D , ，值域R 1，1.、設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.、映射或滿射：若R Y，即Y中任一元素y都是X中某到Y(jié)上的映射或滿射.、單射：若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素x x ，它們的像f(x )f(x )，則稱(chēng)f為X到Y(jié)的單射.、一 一映射（或雙射）：若映射f既是單射，又是滿射，則稱(chēng)f為一一映射（或雙射）.注 上面【例1】中的映射，既非/單射，又非滿射；【例2】的映射不是單射，是滿射；【例3】的映射，既是單射，又是滿射，因此是一一映射.2、逆映射與復(fù)合映射、逆映射：設(shè)f是X到Y(jié)的單射，則由定義，對(duì)每個(gè)yR，有唯一的xX，是合f(x)y .于是我們可以定義一個(gè)R 到X的新映射g，即g：R X ，對(duì)每個(gè)yR ，規(guī)定g(y)x，這x滿足f(x)y.這個(gè)映射g稱(chēng)為f的逆映射，記作f ，其定義域D R ，值域R X.注 按上述定義，只有單射才存在逆映射.所以，在【例1】、【例2】、【例3】中，只有【例3】中的映射f才存在逆映射f ，這個(gè)f 就是反正弦函數(shù)的主值f (x)arcsin x，x1,1，其定義域D 1,1，值域R , .、復(fù)合映射：設(shè)有兩個(gè)映射g：XY，f：Y Z，其中Y Y .則由映射g和f可以定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)xX映成fg(x)Z.顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射，這個(gè)映射稱(chēng)為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射，記作f g，即f g：XZ，(f g)(x)fg(x)，xX . 注：由復(fù)合映射的定義可知，映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是：g的值域R 必須包含在f的定義域內(nèi)，即R D .否則，不能構(gòu)成復(fù)合映射 .由此可知道，映射g和f的復(fù)合是有順序的，f g有意義并不表示g f也有意義 .即使f g與g f都有意義，復(fù)合映射f g與g f也未必相同 .【例4】設(shè)有映射g：R1,1，對(duì)每個(gè)xR，g(x)sin x，映射f:1,10,1，對(duì)每個(gè)u1,1，f(u) 1u.則映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射f g：R0,1，對(duì)每個(gè)xR，有(f g)(x)fg(x)f(sin x) 1sinx|cos x|.三、函數(shù)1、函數(shù)概念【定義】設(shè)數(shù)集D R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為yf(x)，xD，其中x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為定義域，記作D ，即D D .補(bǔ)充、函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)xD，按對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x)，即yf(x).、因變量y與自變量x之間的這種依賴(lài)關(guān)系，通常稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系.、函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為函數(shù)f的值域，記作R 或f(D)，即R f(D)y|yf(x)，xD.注意、需要指出，按照上述定義，記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的：前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則，而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.但為了敘述方便，習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x)，xD”或“yf(x)，xD”來(lái)表示定義在D上的函數(shù)，這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.、表示函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的，除了常用的f外，還可以用其他的英文字母或希臘字母，如“g”、“F”、“”等.相應(yīng)的，函數(shù)可記作yg(x)，yF(x)，y(x)等.有時(shí)還直接用因變量的記號(hào)來(lái)表示函數(shù)，即把函數(shù)記作yy(x).但在同一個(gè)問(wèn)題中，討論到幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí)，為了表示區(qū)別，需用不同的記號(hào)來(lái)表示它們.、函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域D 及對(duì)應(yīng)法則f.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也想同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則就是不同的.、函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來(lái)確定：、一種是對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.例如，在自由落體運(yùn)動(dòng)中，設(shè)物體下過(guò)的時(shí)間為t，下落的距離為s，開(kāi)始下落的時(shí)刻t0，落地的時(shí)刻tT，則s與t之間的函數(shù)關(guān)系是s gt，t0,T.這個(gè)函數(shù)的定義域就是區(qū)間0,T；、另一種是對(duì)抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，通常約定這種函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱(chēng)為函數(shù)的自然數(shù)定義域.在這種約定之下，一般的用算式表達(dá)的函數(shù)可用“yf(x)”表達(dá)，而不必再表出D .例如，函數(shù)y 1x的定義域是閉區(qū)間1,1，函數(shù)y 的定義域是開(kāi)區(qū)間(1,1).、在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)xD，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的.如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)xD，總有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)y不總是唯一的，那么對(duì)于這樣的對(duì)應(yīng)法則并不符合函數(shù)的定義，習(xí)慣上我們稱(chēng)這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如，設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程xyr給出.顯然，對(duì)每個(gè)xr,r，由方程xyr可確定出對(duì)應(yīng)的y值，當(dāng)xr或r時(shí)，對(duì)應(yīng)y0一個(gè)值；當(dāng)x取(r,r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值.所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù).、對(duì)于多值函數(shù)，如果我們附加一些條件，使得在附加條件之下，按照這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)xD，總有唯一確定的實(shí)數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，那么這就確定了一個(gè)函數(shù).我們稱(chēng)這樣得到的函數(shù)為多值函數(shù)的單值分支.例如，在由方程xyr給出的對(duì)應(yīng)法則中，附加“y0”的條件，即以“xyr且y0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到一個(gè)單值分支yy (x) rx；附加“y0”的條件，即以“xyr且y0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到另一個(gè)單值分支yy (x) rx.、表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法），這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟悉.其中，用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集P(x,y)|yf(x)，xD稱(chēng)為函數(shù)yf(x)，xD的圖形（圖13）.圖中的R 表示函數(shù)yf(x)的值域.【例5】函數(shù)y2的定義域D(,)，值域W|2|，它的圖形是一條平行于x軸的直線，如圖14所示.【例6】函數(shù)y|x|的定義域D(,)，值域R 0,，它的圖形如圖15所示.這函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù).【例7】、函數(shù) 1，x0，ysgn x 0，x0， 1，x0稱(chēng)為符號(hào)函數(shù)，它的定義域D(,)，值域R 1,0,1，它的圖形如圖16所示.、對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，下列關(guān)系成立：xsgn x|x|.【例8】、設(shè)x為任一實(shí)數(shù)不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作x.、例如， 0， 21，3，11，3.54.把x看作變量，則函數(shù)yx的定義域D(,)，值域R Z.它的圖形如圖17所示，這圖形稱(chēng)為階梯圖形曲線.在x為整數(shù)值處，圖形發(fā)生跳躍，躍度為1.、這函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù).注 在例6和例7中看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示.這種在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)，通常稱(chēng)為分段函數(shù).【例9】、函數(shù)yf(x)是一個(gè)分段函數(shù).它的定義域D0,).、當(dāng)x0,1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)2 x；當(dāng)x(1,)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)1x.、例如， 0,1，所以f( )2 2；10,1，所以f(1)2 12；3(1,)，所以f(3)134.這個(gè)函數(shù)的圖形如圖18所示.補(bǔ)充 用幾個(gè)式子來(lái)表示一個(gè)（不是幾個(gè)?。┖瘮?shù)，不僅與函數(shù)定義并無(wú)矛盾，而且有現(xiàn)實(shí)意義.在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的情形.例如,在等溫過(guò)程中，氣體壓強(qiáng)p與體積V的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)V不太小時(shí)依從玻意耳定律；當(dāng)V相當(dāng)小時(shí)，函數(shù)關(guān)系就要用范德瓦耳斯方程來(lái)表示，即P其中k、都是常量.2、函數(shù)的幾種特性(1)、函數(shù)的有界性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X D.如果存在數(shù)K ，使得f(x)K 對(duì)任一xX都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界，、而K 稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界.如果存在K ，使得f(x)K 對(duì)任一xX都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界，、而K 稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界.、如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|M對(duì)任一xX都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界.、如果這樣的M不存在，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界；這就是說(shuō)，如果對(duì)于任何正數(shù)M，總存在x X，使|f(x )|M，那么函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.例如，、就函數(shù)f(x)sin x在(,)內(nèi)來(lái)說(shuō)，數(shù)1是它的一個(gè)上界，數(shù)1是它的一個(gè)下界（當(dāng)然，大于1的任何數(shù)也是它的上界，小于1的任何數(shù)也是它的下界）.、又|sin x|1對(duì)任一實(shí)數(shù)x都成立，故函數(shù)f(x)sin x在(,)內(nèi)是有界的.這里M1（當(dāng)然也可以取大于1的任何數(shù)作為M而使|f(x)|M對(duì)任一實(shí)數(shù)x都成立）.、又如、函數(shù)f(x) 在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)沒(méi)有上界，但有下界，例如1就是它的一個(gè)下界.、函數(shù)f(x) 在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)界的，因?yàn)椴淮嬖谶@樣的正數(shù)M，使| |M對(duì)于(0,1)內(nèi)的一切x都成立（x接近于0時(shí)，不存在確定的正數(shù)K ，使 K 成立）.、但是f(x) 在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的，例如可取M1而使| |1對(duì)于一切x(1,2)都成立.、容易證明，函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.(2)、函數(shù)的單調(diào)性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D.如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x 及x ，當(dāng)x x 時(shí)，恒有f(x )f(x )，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的（圖19）；、如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x 及x ，當(dāng)x x 時(shí)，恒有f(x )f(x )，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的（圖110）.、單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).例如，函數(shù)f(x)x在區(qū)間0,)上是單調(diào)增加的，在區(qū)間(,0上是單調(diào)減少的；在區(qū)間(,)內(nèi)函數(shù)f(x)x不是單調(diào)的（圖111）.又例如，函數(shù)f(x)x在區(qū)間(,)內(nèi)是單調(diào)增加的（圖112）.(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).、如果對(duì)于任一xD，f(x)f(x)恒成立，則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).、如果對(duì)于任一xD，f(x)f(x)恒成立，則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).例如，f(x)x是偶函數(shù)，因?yàn)閒(x)(x)xf(x).又例如，f(x)x是奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)(x)xf(x).、偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸是對(duì)稱(chēng)的.因?yàn)槿鬴(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是圖形上的點(diǎn)，則與它關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A(x,f(x)也在圖形上（圖113）.、奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的.因?yàn)槿鬴(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是圖形上的點(diǎn)，則與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A(x,f(x)也在圖形上（圖114）.補(bǔ)充 函數(shù)ysin x是奇函數(shù).函數(shù)ycos x是偶函數(shù).函數(shù)ysin xcos x既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).(4)、函數(shù)的周期性、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)正數(shù)l，使得對(duì)于任一xD有(xl)D，且f(xl)f(x)恒成立，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，l稱(chēng)為f(x)的周期，通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期.例如，函數(shù)sin x，cos x都是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tan x是以為周期的周期函數(shù).、圖115表示周期為l的一個(gè)周期函數(shù).在每個(gè)長(zhǎng)度為l的區(qū)間上，函數(shù)圖形有相同的形狀.、并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.下面的函數(shù)就屬于這種情形.【例10】狄利克雷函數(shù)D(x)容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù)，任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù)，所以它沒(méi)有最小正周期.3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、作為逆映射的特例，我們有以下反函數(shù)的概念.設(shè)函數(shù)f：Df(D)是單射，則它存在逆映射f ：f(D)D，稱(chēng)此映射f. 為函數(shù)f的反函數(shù).補(bǔ)充 按此定義，對(duì)每個(gè)yf(D)，有唯一的xD，使得f(x)y，于是有f (y)x.這就是說(shuō)，反函數(shù)f 的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的.例如，、函數(shù)yx，xR是單射，所以它的反函數(shù)存在，其反函數(shù)為xy ，yR.、由于習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用y表示，于是yx，xR的反函數(shù)通常寫(xiě)作yx ，xR.、一般的，yf(x)，xD的反函數(shù)記成yf (x),xf(D).、若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù)，則f：Df(D)是單射，于是f的反函數(shù)f 必定存在，而且容易證明f 也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).證明 事實(shí)上，不防設(shè)f在D上單調(diào)增加，現(xiàn)在來(lái)證明f 在f(D)上也是單調(diào)增加的.、任取y ，y f(D)，且y y .按函數(shù)f的定義，對(duì)y ，在D內(nèi)存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x ；對(duì)y ，在D內(nèi)存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x .、如果x x ，則由f(x)單調(diào)增加，必有y y ；如果x x ，則顯然有y y .、這兩種情形都與假設(shè)y y 不符，故必有x x ，即f (y )f (y ).這就證明了f 在f(D)上是單調(diào)增加的.、相對(duì)于反函數(shù)yf (x)來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)yf(x)稱(chēng)為直接函數(shù).補(bǔ)充、把直接函數(shù)yf(x)和它的反函數(shù)yf (x)的圖形畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖形關(guān)于直線yx是對(duì)稱(chēng)的（圖116）.、這是因?yàn)槿绻鸓(a,b)是yf(x)圖形上的點(diǎn)，則有bf(a).按反函數(shù)的定義，有af (b)，故Q(b,a)是yf (x)圖形上的點(diǎn)；反之，若Q(b,a)是yf (x)圖形上的點(diǎn)，則P(a,b)是yf(x)圖形上的點(diǎn).、而P(a,b)與Q(b,a)是關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)的.、復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號(hào)，復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述.設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈 ，設(shè)函數(shù)ug(x)的定義域?yàn)镈 ，且其值域R D ，則由下式確定的函數(shù)yfg(x)，xD 稱(chēng)為由函數(shù)ug(x)與函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镈 ，變量u稱(chēng)為中間變量.補(bǔ)充、函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按“先g后f”的次序復(fù)合的函數(shù)，通常記為f g，即(f g)(x)fg(x).、與復(fù)合映射一樣，g與f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)f g的條件是：函數(shù)g的值域R 必須含在函數(shù)f的定義域D 內(nèi)，即R D. 否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如，yf(u)arcsin u的定義域?yàn)?,1，ug(x)sin x的定義域?yàn)镽，且g(R) 1,1，故g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).yarcsin sin x，xR；又如，yf(u) u的定義域?yàn)镈 0,)，ug(x)tan x的值域?yàn)镽 (,)，顯然R D ，故g與f不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).、但是，如果將函數(shù)g限制在它的定義域的一個(gè)子集Dx|kx(k ),kZ上，令g*(x)tan x，xD，那么R g*(D) D ，g*與f就可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)(f g*)(x) tan x，xD.、習(xí)慣上為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，仍稱(chēng)函數(shù) tan x是由函數(shù)utan x與函數(shù)y u構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).這里函數(shù)utan x應(yīng)理解成：utan x，xD.以后，我們采取這種習(xí)慣說(shuō)法.例如，我們稱(chēng)函數(shù)ux1與函數(shù)yln u構(gòu)成復(fù)合函數(shù)ln (x1)，它的定義域不是ux1的自然定義域R，而是R的一個(gè)子集D(1,).、有時(shí)也會(huì)遇到兩個(gè)以上函數(shù)所構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，只要它們順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.例如，函數(shù)y u，ucot v，v 可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y cot ，這里u及v都是中間變量，復(fù)合函數(shù)的定義域是Dx|2kx(2k1)，kZ，而不是v 的自然定義域R，D是R的一個(gè)非空子集.4、函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域依次為D ，D ，DD D ，則我們可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：、和（差）fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、積fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、商 ：( )(x) ，xDx|g(x)0，xD.【例11】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l,l)，證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x)，使得f(x)g(x)h(x).證 、先分析如下：假若這樣的g(x)、h(x)存在，使得f(x)g(x)h(x)， (1)且g(x)g(x)，h(x)h(x).、于是有f(x)g(x)h(x)g(x)h(x). (2)、利用(1)、(2)式，就可以作出g(x)、h(x).這就啟發(fā)我們作如下證明：作g(x) f(x)f(x)，h(x) f(x)f(x).、則g(x)h(x)f(x)，g(x) f(x)f(x)g(x)，h(x) f(x)f(x)h(x).證畢.5、初等函數(shù)、在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)講過(guò)下面幾類(lèi)函數(shù)：、冪函數(shù)：yx （R是常數(shù)），指數(shù)函數(shù)：ya （a0且a1），、對(duì)數(shù)函數(shù)：ylog x（a0且a1，特別當(dāng)ae使，記為yln x），、三角函數(shù)：如ysin x，ycos x，ytan x等，、反三角函數(shù)：如yarcsin x，yarccos x，yarctan x等.以上這五類(lèi)函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).、由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù).例如y 1x，ysin x，y cot 等都是初等函數(shù).第二節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義1、【引例】、設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A ；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A ；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A ；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般的把內(nèi)接正62 邊形的面積記為A （nN ）.、這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A, A ,A ,A ,它們構(gòu)成一列有次序的數(shù).、當(dāng)n越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以A 作為圓面積的近似值也越精確.、但是無(wú)論n取得如何大，只要n取定了，A 終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積.、因此，設(shè)想n無(wú)限增大（記為n，讀作n趨于無(wú)窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)A 也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積.、這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）A ,A ,A ,A ,當(dāng)n時(shí)的極限.、在圓面積問(wèn)題中我們看到，正是這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積.2、數(shù)列的定義(1)、數(shù)列：如果按照某一法則，對(duì)每個(gè)nN ，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)x ，這些實(shí)數(shù)x 按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列x ,x ,x ,x ,就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)記為列x .(2)、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).(3)、數(shù)列的一般項(xiàng)：第n項(xiàng)x 叫做數(shù)列的一般項(xiàng).例如, , , ,；2,4,8,2 ,；, , , ,；1,1,1,(1) ,；2, , , ,它們的一般項(xiàng)依次為，2 ， ，(1) ， .注、在幾何上，數(shù)列x 可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x ,x ,x ,x ,(圖1-23).、數(shù)列x 可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：x =f(n)，nN .當(dāng)自變量n依次取1,2,3,一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列x .3、數(shù)列極限的定義分析 對(duì)數(shù)列2, , , , (1)進(jìn)行分析.、在這數(shù)列中，x = =1(1) .兩個(gè)數(shù)a與b之間的接近程度可以用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值|ba|來(lái)度量（在數(shù)軸上|ba|表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離），|ba|越小，a與b就越相近.、就數(shù)列(1)來(lái)說(shuō)，因?yàn)閨x 1|=|(1) |= ，由此可見(jiàn)，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)， 越來(lái)越小，從而x 就越來(lái)越接近于1.、因?yàn)橹灰猲足夠大，|x 1|即 可以小于任意給定的正數(shù)，所以說(shuō)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，x 無(wú)限接近于1.、例如給定 ，欲使 100，即從第101項(xiàng)起，都能使不等式|x 1| 成立.、同樣的，如果給定 ，則從第10 001項(xiàng)起，都能使不等式|x 1|N時(shí)，不等式|x 1|都成立.、這就是數(shù)列x = （n=1,2,）當(dāng)n時(shí)無(wú)限接近于1這件事的實(shí)質(zhì).這樣的一個(gè)數(shù)1，叫做數(shù)列x = （n1,2,）當(dāng)n時(shí)的極限.【定義】設(shè)x 為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，不等式|x a|都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列x 的極限，或者稱(chēng)數(shù)列x 收斂于a，記為lim x a，或x a（n）.補(bǔ)充、如果不存在這樣的常數(shù)a，就說(shuō)數(shù)列x 沒(méi)有極限，或者說(shuō)數(shù)列x 是發(fā)散的，習(xí)慣上也說(shuō)lim x 不存在.、上面定義中正數(shù)可以任意給定是很重要的，因?yàn)橹挥羞@樣，不等式|x a|才能表達(dá)出x 與a無(wú)限接近的意思.、此外還因注意到：定義中的正整數(shù)N是與任意給定的正數(shù)有關(guān)的，它隨著的給定而選定.、我們給“數(shù)列x 的極限為a”一個(gè)幾何解釋?zhuān)?、將常?shù)a及數(shù)列x ,x ,x ,x ,在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的領(lǐng)域即開(kāi)區(qū)間(a,a)（圖124）.、因不等式 |x a|與不等式 ax a等價(jià)，所以當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)x 都落在開(kāi)區(qū)間(a,a)內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有N個(gè)）在這區(qū)間以外.、為了表達(dá)方便，引入記號(hào)“V”表示“對(duì)于任意給定的”或“對(duì)于每一個(gè)”，記號(hào)“ ”表示“存在”.于是，“對(duì)于任意給定的0”寫(xiě)成“V0”，“存在正整數(shù)N”寫(xiě)成“ 正整數(shù)N”，數(shù)列極限lim x a的定義可表達(dá)為：lim x a V0， 正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有|x a|.【例1】證明數(shù)列2, , , , ，的極限是1.證 、|x a| 1| ,、為了使|x a|小于任意給定的正數(shù)（設(shè)1），只要 或n .、所以，V0，取N ，則當(dāng)nN時(shí)，就有| 1|，即 lim 1.【例2】已知x ，證明數(shù)列x 的極限是0.證、|x a| 0| .、V0（設(shè)1），只要 或n 1，不等式|x a|必定成立.、所以，取N 1，則當(dāng)nN時(shí)就有| 0|，即 lim 0.注 、在利用數(shù)列極限的定義來(lái)論證某個(gè)數(shù)a是數(shù)列x 的極限時(shí)，重要的是對(duì)于任意給定的正數(shù)，要能夠指出定義中所說(shuō)的這種正整數(shù)N確實(shí)存在，但沒(méi)有必要去求最小的N.、如果知道|x a|小于某個(gè)量（這個(gè)量是n的一個(gè)函數(shù)），那么當(dāng)這個(gè)量小于時(shí)，|x a|當(dāng)然也成立.、若令這個(gè)量小于來(lái)定出N比較方便的話，就可采用這種方法.例2便是這樣做的.【例3】設(shè)|q|1，證明等比數(shù)列1,q,q,q ,的極限是0.證、 V0（設(shè)1），因?yàn)閨x 0|q 0|q| ，要使|x 0|，只要|q| .、取自然對(duì)數(shù)，得(n1)ln |q|ln .因|q|1，ln |q|0，故 n1 .、取N1 ，則當(dāng)nN時(shí)，就有|q 0|，即 lim q 0.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)【定理1】（極限的唯一性）如果數(shù)列x 收斂，那么它的極限唯一.證明 用反證法.、假設(shè)同時(shí)有x a及x b，且ab.取 .、因?yàn)閘im x a，故 正整數(shù)N ，當(dāng)nN 時(shí)，不等式|x a| (2)都成立.、同理，因?yàn)閘im x b，故 正整數(shù)N ，當(dāng)nN 時(shí)，不等式|x b| (3)都成立.、取NmaxN ,N （這式子表示N是N 和N 中較大的那個(gè)數(shù)），則當(dāng)nN時(shí)，(2)式及(3)式會(huì)同時(shí)成立.、但由(2)式有x ，由(3)式有x ，這是不可能的.這矛盾證明了本定理的斷言.【例4】證明數(shù)列x (1) （n1,2,）是發(fā)散的.證、如果這數(shù)列收斂，根據(jù)定理1它有唯一的極限，設(shè)極限為a，即lim x a.、按數(shù)列極限的定義，對(duì)于 ， 正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，|x a| 成立；即當(dāng)nN時(shí)，x 都在開(kāi)區(qū)間(a ,a )內(nèi).、但這是不可能的，因?yàn)閚時(shí)，x 無(wú)休止地一再重復(fù)取得1和1這兩個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)不可能同時(shí)屬于長(zhǎng)度為1的開(kāi)區(qū)間(a ,a )內(nèi).因此這數(shù)列發(fā)散.補(bǔ)充 下面先介紹數(shù)列的有界性概念，然后證明收斂數(shù)列的有界性.、 對(duì)于數(shù)列x ，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)于一切x 都滿足不等式|x |M，則稱(chēng)數(shù)列x 是有界的；如果這樣的正數(shù)M不存在，就說(shuō)數(shù)列x 是無(wú)界的.、例如，數(shù)列x （n1,2,）是有界的，因?yàn)榭扇1，而使| |1對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.、數(shù)列x 2 （n1,2,）是無(wú)界的，因?yàn)楫?dāng)n無(wú)限增加時(shí)，2 可超過(guò)任何正數(shù).、數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)x 都落在閉區(qū)間M,M上.【定理2】（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列x 收斂，那么數(shù)列x 一定有界.證明、因?yàn)閿?shù)列x 收斂，設(shè)lim x a.、根據(jù)數(shù)列極限的定義，對(duì)于1， 正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，不等式|x a|1都成立.、于是，當(dāng)nN時(shí)，|x |(x a)a|x a|a|1|a|.、取Mmax|x |,|x |,|x |,1|a|，那么數(shù)列x 中的一切x 都滿足不等式|x |M.這就證明了數(shù)列x 是有界的.補(bǔ)充 根據(jù)上述定理，如果數(shù)列x 無(wú)界，那么數(shù)列x 一定發(fā)散.但是，如果數(shù)列x 有界，卻不能斷定數(shù)列x 一定收斂，例如，數(shù)列1,1,1,(1) ,有界，但例4證明了這數(shù)列是發(fā)散的.所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.【定理3】（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果lim x a，且a0（或a0），那么存在正整數(shù)N0，當(dāng)nN時(shí)，都有x 0 （或x0）.證明 就a0的情形證明.、由數(shù)列極限的定義，對(duì) 0， 正整數(shù)N0，當(dāng)nN時(shí)，有|x a| ，、從而x a 0.【推論】如果數(shù)列x 從某項(xiàng)起有x 0（或x 0），且lim x a，那么0（或a0）.證明、設(shè)數(shù)列x 從第N 項(xiàng)起，即當(dāng)nN 時(shí)有x 0.、現(xiàn)在用反正法證明.若lim x a0，則由定理3知， 正整數(shù)N 0，當(dāng)nN 時(shí)，有x 0.、取NmaxN ,N ，當(dāng)nN時(shí)，按假定有x 0，按定理3有x 0，這引起矛盾，所以必有a0.補(bǔ)充 、數(shù)列x 從某項(xiàng)起有x 0的情形，可以類(lèi)似地證明.、最后，介紹子數(shù)列的概念以及關(guān)于收斂的數(shù)列與其子數(shù)列間關(guān)系的一個(gè)定理.、在數(shù)列x 中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列x 中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列x 的子數(shù)列（或子列）.、設(shè)在數(shù)列x 中，第一次抽取x ，第二次在x 后抽取x ，第三次在x 后抽取x ，這樣無(wú)休止地抽取下去，得到一個(gè)數(shù)列x , x , x , ,這個(gè)數(shù)列x 就是數(shù)列x 的一個(gè)子數(shù)列.注 在子數(shù)列x 中，一般項(xiàng)x 是第k項(xiàng)，而x 在原數(shù)列x 中卻是第n 項(xiàng).顯然，n k.*【定理4】（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列x 收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.證明、設(shè)數(shù)列x 是數(shù)列x 是任一子數(shù)列.、由于lim x a，故V0， 正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)0，|x a|成立.、取KN，則當(dāng)kK時(shí)，n n n N.、于是|x a|.這就證明了lim x a.注 由定理4可知，如果數(shù)列x 有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列x 是發(fā)散的.例如，例4中的數(shù)列1,1,1,.,(1) ,.的子數(shù)列x 收斂于1，而子數(shù)列x 收斂于1，因此數(shù)列x (1) （n1,2,.）是發(fā)散的.同時(shí)這個(gè)例子也說(shuō)明，一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.第三節(jié) 函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義分析、因?yàn)閿?shù)列x 可看作自變量為n的函數(shù)：x f(n)，nN ，所以，數(shù)列x 的極限為a，就是：當(dāng)自變量n取正整數(shù)而無(wú)限增大（即n）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(n)無(wú)限接近于確定的數(shù)a.、把數(shù)列極限概念中的函數(shù)為f(n)而自變量的變化過(guò)程為n等特殊性撇開(kāi)，這樣可以引出函數(shù)極限的一般概念.、函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限.、這個(gè)極限是與自變量的變化過(guò)程密切相關(guān)的，由于自變量的變化過(guò)程不同，函數(shù)的極限就表示為不同的形式.數(shù)列極限看作函數(shù)f(n)當(dāng)n時(shí)的極限，這里自變量的變化過(guò)程是n.、自變量的變化過(guò)程為其他情形時(shí)函數(shù)f(x)的極限：、自變量x任意的接近于有限值x 或者說(shuō)趨于有限值x （記作xx ）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情形；、自變量x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大即趨于無(wú)窮大（記作x）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情形.1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限分析、現(xiàn)在考慮自變量x的變化過(guò)程為xx .如果在xx 的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么就說(shuō)A是函數(shù)f(x)當(dāng)xx 時(shí)的極限.當(dāng)然，這里我們首先假定函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)是有定義的.、在xx 的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于A，就是|f(x)A|能任意小.、如數(shù)列極限概念所述，|f(x)A|能任意小這件事可以用|f(x)A|來(lái)表達(dá)，其中是任意給定的正數(shù).、因?yàn)楹瘮?shù)值f(x)無(wú)限接近于A是在xx 的過(guò)程中實(shí)