數(shù)學建模國賽范文.doc

從博弈論角度看大學生競賽的優(yōu)勝劣汰與參賽策略摘 要本文給出了在大學擴招背景下，大學生競賽縱向發(fā)展及橫向勝汰的模型，并從博弈論角度建立大學生參賽策略模型尤其討論其他高校參賽策略可預測情形下哈工大（威海）的最佳參賽對策。同時，從各大院?？萍紕?chuàng)新水平給出科技類大學生競賽對創(chuàng)新性培養(yǎng)的相關數(shù)學模型。本文從搜集有關各大高校歷年各種競賽參加及獲獎人數(shù)的數(shù)據(jù)開始，從競賽規(guī)模的發(fā)展趨勢和學生對競賽的參加策略兩個主要方面出發(fā)，分別通過對這兩個方面的深入研究從而制定出各自有關大學生競賽的前景的數(shù)學期望，最后再利用納什均衡的伯川德模型綜合考慮這兩個主要因素，進一步深入并細化，從而求得最優(yōu)策略。模塊中，我們將焦點鎖定在從競賽規(guī)模的逐年發(fā)展趨勢預測其前景。我們從選取的數(shù)據(jù)和相關資料出發(fā)，利用動態(tài)模型分析的動力系統(tǒng)綜合考慮參賽院校、參賽隊伍數(shù)量特征和變化趨勢，并結合遺傳算法推測各個競賽的競爭態(tài)勢和發(fā)展前景。然后，我們隨機選取了同一年份不同競賽，并根據(jù)表達式計算這些競賽的規(guī)模比重，結果發(fā)現(xiàn)跨專業(yè)程度相對較高，獲獎幾率相對高，保研加分比重大的競賽，如全國大學生數(shù)學建模大賽，參賽人數(shù)占所有競賽比例范圍常年較高，且維持穩(wěn)定年均增長率：專業(yè)性特征明顯，獲獎比例相對低，保研加分比重小的競賽，如機械創(chuàng)新設計大賽，參賽人數(shù)占所有競賽比例相當為低，且呈增長凝滯乃至下降狀態(tài)。在模塊II中，我們從學生對競賽的參加策略出發(fā)，利用回歸分析，權衡跨專業(yè)程度、競賽規(guī)模、題目難度、獲獎情況、保研加分政策與學生參賽策略的關系，發(fā)現(xiàn)下年參賽人數(shù)與前期競賽規(guī)模、獲獎比重、保研加分偏重成正相關，與上年題目難度、專業(yè)特殊性成負相關。對此產生的數(shù)據(jù)驗證分析符合標準。然后，再根據(jù)專業(yè)相關系數(shù)來確定參賽策略的標準。從而，得到了學生參賽策略的收益預期。在模塊III中，為了獲取哈工大（威海）在其他高校采取可預期的參賽策略的情形下有選擇投入競賽的最優(yōu)策略，我們綜合了前面兩個模塊所制定的收益指標，并分別給予不同權系數(shù)，得到最終策略收益的納什均衡表達式。然后，我們從參賽收益系數(shù)C考慮，利用神經網絡得到的區(qū)域劃分，根據(jù)不同區(qū)域而計算出的權系數(shù)b的范圍。最終得到的表達式：（;）由此便可得到綜合參賽收益C的取值范圍。同時，本文還利用混合策略納什均衡，抽樣分析了哈工大（威海）競賽投入與收益的最優(yōu)策略。通過納什-伯川德模型，討論在中國高校采取其優(yōu)勢策略的情形下，我校達到收益最大化的對策。最后，我們從本論文研究方向考慮，為優(yōu)化參賽策略的制定提出參考意見，如加權參考歷年參賽收益期望和根據(jù)近期政策加權考慮不同自變量的建議?！娟P鍵字】相關系數(shù) 回歸模型 插值與擬合曲線 動態(tài)模型分析 遺傳算法 AHP層次分析 納什-伯川德模型 中位選民定理 數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析1 問題重述隨著科學技術的飛速發(fā)展，社會競爭日益激烈，創(chuàng)新在人類文明進步中已處于舉足輕重的地位。當今時代，創(chuàng)新價值更是日益凸現(xiàn)，放眼全球，各國綜合國力的競爭集中表現(xiàn)為科學與技術的競爭，而科學技術的競爭實質是知識的創(chuàng)新與運用能力的競爭。創(chuàng)新能力成為決定一個國家、民族前途和命運的重要因素，正如江澤民同志所說：“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力”，“一個沒有創(chuàng)新能力的民族，難以屹立于世界先進民族之林”。教育部文件明確指出“推進人才培養(yǎng)模式和機制改革，著力培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力”，并在國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(20102020)中提出了 “牢固確立人才培養(yǎng)在高校工作中的中心地位，著力培養(yǎng)信念執(zhí)著、品德優(yōu)良、知識豐富、本領過硬的高素質專門人才和拔尖創(chuàng)新人才.”培養(yǎng)和提高全民族的創(chuàng)新素質，已經成為時代對當今教育的新要求，也是提高教學質量的重點和難點. 在此背景下，大學生科技創(chuàng)新活動已成為我國高校發(fā)展最快、潛力最大的一項學生活動，大力培養(yǎng)大學生的科技創(chuàng)新能力，是高等學校適應時代要求的全新人才培養(yǎng)模式的重要手段和內容，也是高校校園文化建設的新理念。長期以來，哈爾濱工業(yè)大學（威海）始終把培養(yǎng)和提高學生科技創(chuàng)新能力放到重要位置，實行了一些激勵機制措施，充分調動了廣大師生的積極性，取得許多優(yōu)異的成績。但是，從學生的角度分析，如何確定正確的參賽策略是主要問題。為此，我們就我校認定的國際或國家級科技類競賽進行定量分析，以得出適合我們的參賽策略。2 問題分析由于對評定一項大學生科技競賽的發(fā)展趨勢，我們沒有一套規(guī)范的標準，對于分析評估一項或多項大學生科技創(chuàng)新活動就是一個復雜的過程。一項競賽活動包含多種關于該活動的信息，同時大學生對科技競賽的選擇也受多方面的影響，因此對于各項科技競賽發(fā)展趨勢的評估以及學生的參賽策略，我們也是根據(jù)需要來篩選信息，確定主次來對該項競賽進行評估，不同的信息從不同的角度客觀的反應該項競賽。對于問題一，通過搜集我校認定的國際或國家級科技競賽歷屆的參賽人數(shù)、參賽學校、獲獎情況等方面的資料，分析這些競賽的的發(fā)展趨勢，并通過調查這些競賽主管部門、主辦單位、競賽規(guī)模、設立獎項類別等信息，分析這些競賽的質量。對于問題二，利用為問題一得出的結論，以哈爾濱工業(yè)大學（威海）為例，結合本校實際情況，從學生對競賽的參加策略出發(fā)，根據(jù)競賽規(guī)模、保研加分政策以及獲獎水平等方面的信息，得獲學生參賽策略的收益預期。對于問題三，我們綜合前面兩個模塊所制定的收益指標，在全國高校采取理性參賽策略的情形下，利用混合策略納什均衡，獲取哈工大（威海）投入競賽的最優(yōu)對策。3 模型假設1. 假設所有數(shù)據(jù)均真實有效、準確無誤，不受主觀因素的影響；2. 假設模型具有足夠的穩(wěn)定性和穩(wěn)健型，使得部分數(shù)據(jù)資料的缺失不會對模型的準確性造成影響；3. 假設各項因素對學生參加競賽的影響符合層次分析要求；4 假設對某個大學生競賽活動的質量影響從幾個主要因素進行評估，略去影響較小的因素。4 符號說明模塊I 數(shù)學建模參賽院?；貧w方程 x參賽院校數(shù)目, y屆數(shù); 數(shù)學建模參賽人數(shù)回歸方程 y 當年參賽人數(shù)； 獲獎率回歸曲線方程 獲獎率yi (i=1,2,3)r內增長率，a生源限制強度度量O=老牌競賽參賽率（參賽學生/全部有資歷在校大學生）N=新興競賽參賽率（參賽學生/全部有資歷在校大學生）gO=老牌競賽規(guī)模年增長率gN=新興競賽規(guī)模年增長率cO=與老牌競賽競爭的損失cN=與新興競賽競爭的損失模塊II 定義符號及說明：1、第層表示為各項調查數(shù)據(jù)，為原始層。2、每一層有mi個因素。3、表示為第層中的第個因素在第層中的第個影響中所占的權重4設Aij為第i層中cii與cij的重要性之比。模塊III A：全國參賽高?？傮wB:哈工大（威海）(a1，a2）：A的純競賽策略(b1，b2，b3）：B的競賽選擇， a11: 全國數(shù)學建模大賽 a12: 機械創(chuàng)新設計大賽 b11: 全國數(shù)學建模大賽 b12：機械創(chuàng)新設計大賽 b13：周培源力學競賽（aij，bij）：該情況下A和B各自收益 Pi：對i的投入比例，決定總體學生能力進而影響哈工大獲獎難度EU：策略收益，由一二三等獎各自獲獎率和加分數(shù)目乘積加權求和（EU1，EU2，EU3）：哈工投入數(shù)模、機創(chuàng)、周培源各自收益（n1,n2,）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自人數(shù)的預期（g1,g2） :2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自一等獎獲獎率的預期（h1,h2） :2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自二等獎獲獎率的預期（d1,d2） :2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽一等獎加分數(shù)值的預期（e1,e2） :2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽二等獎加分數(shù)值的預期（p1,p2） :2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽投入比例的預期G：2013年兩項競賽的競賽規(guī)模期望Q：2013年獲獎情況期望（x1,x2,x3,x4,x5）:20082012 往屆題目難度5 模型的建立與求解5.1 問題一的模型回歸模型 插值與擬合曲線 動態(tài)模型分析5.1.1 模型建立 1根據(jù)調查了解到各項競賽的相關信息和部分內容見下表，其余見附件；2根據(jù)調查結果進行數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)據(jù)及過程如下；3通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析進行常態(tài)分析，對各競賽規(guī)模等進行預測。一各大賽調查結果統(tǒng)計表1全國大學生數(shù)學建模大賽a圖表分析b2011哈工大（威海）北美數(shù)學建模與其他高校的比較（來自：岳金星人人主頁）特等特候（*100)一等（*15）二等（*3）三等（*0.5）獲獎總分本科生人數(shù)總分/人數(shù)哈工大（威海）04180114約10千11.4湖南大學/985 051781.5約20.4千4.0華中科大/9851564195約34.9千5.5北理工/98507180159約3.5千11.78西北工大/985 21060368約14.2千25.9哈工大(哈爾濱)222910803約25千32.12蘇州大學/211 0531089約24千3.71西安交大/985 112120316約15.9千19.8北科大/211 06712117約13.8千8.48一 （為了方便量化比較，我們給各獎項加了系數(shù)，獲獎數(shù)是項數(shù)，不是乘完系數(shù)的分數(shù)（注意，三等獎有些學校直接忽略了，因此，0有可能是NA。特等=Outstanding Winner；特候=Finalist；一等=Meritorious；二等=Honorable Mention；三等=Successful Participant）獲獎總分可以看成一個代表一個學校本科生絕對實力的指標，“總分/人數(shù)”可視為該校本科生素質密度的度量，消除規(guī)模優(yōu)勢。）2.周培源力學大賽歷年參賽概況年份19881992199620002004參賽省市2530參賽單位1281164參賽人次621389171127527617一等獎24222二等獎44444三等獎1115111111獲獎率0.2740.0160.0100.0060.002第六屆第七屆第八屆特等獎55一等獎31515二等獎103335三等獎30915優(yōu)秀獎24623 電子設計大賽歷年獲獎情況統(tǒng)計 二按年份匯總數(shù)據(jù)及圖表. 參賽院校及人數(shù)的圖表 動態(tài)模型之優(yōu)勝劣汰的競賽在當代大學生自由選擇參加競賽門類的背景下，不同競賽相互競爭潛在的學生資源，以及影響力可能帶來的系列利益。規(guī)模越大的競賽，學校認可程度越強，參賽學生精力投入越大，從而解題水平越高；另一方面，競賽難度也越大，且獲獎幾率越低。當一類老牌、傳統(tǒng)、大規(guī)模、高認可的競賽與一類新興、現(xiàn)代、小規(guī)模、認可度尚低的競賽面向同一類群學生招考時，它們能否在競爭中共存，或者一類競賽會使另一類競賽淘汰？我們將運用五步分析法。用O和N分別表示老牌和新興競賽類群，并對這兩個類群的動態(tài)做一些假設。1.在無限制參賽的情形下，參照生物在理想環(huán)境下的邏輯斯底函數(shù)，有理由假設新興型競賽的規(guī)模增長率與其現(xiàn)有規(guī)模呈正比。當新興競賽類群規(guī)模擴大時，同型類群內部會產生競爭，從而抑制其規(guī)模擴大速率。因此，有理由假設新興競賽的增長率線性依賴其規(guī)模大小，并隨規(guī)模的擴大而減小。具有這種性質的增長函數(shù)是：g（P）=rP-aP2這里r是內增長率，a=0,S.=0r1,a,1,r,2,a,2,b,1,b2均為正實數(shù)目標：確定是否有H0或S03.建模設函數(shù)f1(x1,x2,xn)fn(x1,x2,xn)定義在Rn的子集S上。函數(shù)f1,fn分別表示x1,xn的變化率。稱集合一點（x1,xn）為平衡點，若f1(x1,x2,xn)=0fn(x1,x2,xn)=0則對每個變量變化率為0，系統(tǒng)達到靜止/趨向極限即：要求動態(tài)系統(tǒng)的平衡態(tài)，只需求其平衡態(tài)，即令函數(shù)矩陣等于0.4.構造公式記x1=H,x2=S為兩個狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)方程：r1x1-x12x1x2=0r2x2-x22-x1x2=05.求解模型均衡點k1=(0,0)k2=(0, r2/ a2)k3=( r1/ a1, 0)第四個解：第四個解是下述兩直線交點a1x1+b1x2=r1b2x1+a2x2=r2由克萊默法則，x1= (a2 r1-b1 r2)/( a1 a2-b1 b2)x2= (a21r2-b2r1)/( a1 a2-b1 b2)可知如果第四點不存在時兩類競賽不能和平保持共存于平衡態(tài)由規(guī)模擴大模型中賽群內部斗爭的函數(shù)關系，可得：共存條件為a2 r1-b1 r205.1.2 模型求解1 回歸方程（1）數(shù)學建模參賽院校回歸方程設 固定的未知參數(shù)、稱為回歸系數(shù)，自變量x也稱為回歸變量，稱為y對x的回歸直線方程一元線性回歸分析的主要任務是：1.用試驗值（樣本值）對、和作點估計； 2對回歸系數(shù)、作假設檢驗； 3在x=處對y作預測，對y作區(qū)間估計經matlab編程（程序源代碼見附錄），得到y(tǒng)(屆數(shù))對x（當年參賽院校數(shù)目）的回歸直線方程：y=345.5x-145.9；=-145.9，=354.5，的置信區(qū)間為-499.3826 ，207.5826, 的置信區(qū)間為247.9210，461.0790; r2=1, F=11.2, p=0.0000p data=5406 6881 8492 9985 11742 12846 15042 17317 19496 21219 i）均值：12843 ii）中位值：12294 iii）標準差：5358.7 iv）方差）2.8715e+07 v）偏度:0.1920 vi)峰度：1.80492.歷年獲獎率3獲獎率回歸曲線方程.1.電子設計(y1%)y1%=0.04x4-0.92x3+6.81x2-1.945x+26.67預計2013年獲獎率：y1 =10.72%2.全國數(shù)學建模大賽（）y2%=-0.13x3+2.04x2+8.94x+20.433.機械創(chuàng)新設計大賽（%）y3%=0.65x4-0.48x3+7.19x2+5.64預計2013年獲獎率： y3 =0.791%4數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與描述(獲獎率)無論總體X的分布函數(shù)F（x；）的類型已知或未知，我們總是需要去估計某些未知參數(shù)或數(shù)字特征，這就是參數(shù)估計問題.即參數(shù)估計就是從樣本（X1，X2，Xn）出發(fā)，構造一些統(tǒng)計量X1，X2，Xn）（i=1，2，k）去估計總體X中的某些參數(shù)（或數(shù)字特征）（i=1，2，k）.這樣的統(tǒng)計量稱為估計量.1. 點估計：構造（X1，X2，Xn）的函數(shù)X1，X2，Xn） 作為參數(shù)的點估計量，稱統(tǒng)計量為總體X參數(shù)的點估計量.2. 區(qū)間估計：構造兩個函數(shù) X1，X2，Xn）和 X1，X2，Xn），把（）作為參數(shù)的區(qū)間估計(1) 電子設計大賽獲獎率數(shù)據(jù)分析 data=0.137 0.063 0.102 0.096 0.098 0.098 0.0977 0.068 0.069均值0.0921中位數(shù)0.0977標準差0.0229方差5.23938*10-4偏度0.4582峰度2.7768（2）全國數(shù)學建模大賽獲獎率數(shù)據(jù)分析（均值10.06%） data=0.137 0.088 0.089 0.093 0.101 0.11 0.113 0.113 0.061;均值0.1006中位數(shù)0.1010標準差0.0213方差4.5503e-04偏度0.1740峰度2.9300（3）機械創(chuàng)新設計大賽獲獎率數(shù)值分析 data=0.09 0.09 0.022 0.014;均值0.0540中位0.0560標準差0.0417方差0.0017偏度 -0.0183峰度1.02445.2 問題二的模型相關系數(shù) AHP層次分析 數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析問題二: 通過建立數(shù)學模型，確定學生的最優(yōu)選擇。模型分析：從調查數(shù)據(jù)與社會常識上看，對一項大學生活動競賽進行評估，需要從許多方面考慮，比如影響力、吸引力、鍛煉大學生創(chuàng)新能力、公正性等。而對這些方面我們沒有一個明確的標準來衡量，我們可以用一些調查的基本數(shù)據(jù)對這些因素進行模擬評估，分析系統(tǒng)中各因素之間的關系，建立系統(tǒng)的遞階層次系統(tǒng)。對于同一層次中的各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較矩陣。由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，并進行一致性檢驗。計算各層元素對系統(tǒng)目標的合成權重，并進行排序。定義符號及說明：1、第層表示為各項調查數(shù)據(jù)，為原始層。2、每一層有mi個因素。3、表示為第層中的第個因素在第層中的第個影響中所占的權重4設Aij為第i層中cii與cij的重要性之比。ZC11C12C1m-11111111C1mPx3PxiPxmPx4Px1Px2第一層第x層第i層5.2.1 模型建立模型建立：1 構造兩兩比較判斷矩陣：Aij極端重要強烈重要明顯重要稍微重要同樣重要量化值97531Aij0 一致性檢驗：(圖片來自韓中庚 數(shù)學建模方法及其應用)由此我們對不同大學生競賽的評估值比較，可迭出較為合理的大學生競賽項目。模型II由于學校受資源及經費的限制，為了增強大學生創(chuàng)新意識，培養(yǎng)大學生創(chuàng)新能力，則應選擇一個最優(yōu)的大學生競賽項目供大學生參加。結合當前實際情況對各項大學生競賽進行評估。如下三個方面作為我校競賽項目選擇的評估參考。1 競賽規(guī)模s1，競賽規(guī)模是一項較綜合反應該項競賽質量標準；X1: 參賽人數(shù)；x2: 參賽院校。2 保研加分政策s2，能較好的引導學生積極、正確的比賽，以培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力為主要目的；X3：一等獎（含特等獎）； x4：二等獎; x5：三等獎；, 3獲獎率水平s3，能較好反應比賽的難易程度與可行性。X1：參賽人數(shù); x6：獲獎人數(shù);ZS2S1S3X1X2X3X4X5x65.2.2 模型求解模型的計算與求解：Z=zS1S2S3W0=3.038C.I=0.019C.R=0.0330.1S111/51/30.105S25130.637S331/310.258S1X1X2W1=2C.I=0C.I=0X1120.667X21/210.333S3X1X6W3=1C.I0.1X1110.5X6110.5S2X3X4X5W2=2C.I0.1X315/45/30.417X44/514/30.333X53/53/410.25通過一致性檢驗求權重，根據(jù)迭代法 =T5.3 問題三的模型納什-伯川德模型 中位選民定理5.3.1 模型建立為了獲取哈工大（威海）在全國高校采取理性參賽策略的情形下有選擇投入競賽的最優(yōu)對策，我們綜合了前面兩個模塊所制定的收益指標，并分別給予不同權系數(shù)，得到最終策略收益的納什均衡表達式：。 然后，我們從參賽收益系數(shù)C考慮，利用“納什伯川德模型”和“中位選民定理”得到的區(qū)域劃分，根據(jù)不同區(qū)域而計算出的權系數(shù)C的范圍。接下來，本模塊還利用混合策略納什均衡，抽樣分析了哈工大（威海）競賽選擇性投入與收益的最優(yōu)策略。通過納什-伯川德模型，討論在中國高?？傮w采取其優(yōu)勢策略的情形下，我校達到收益最大化的對策模型III抽象模型用A，B分別表示博弈的2方參與者。A有（a1，a2，an）種策略，B有（b1,b2,bm）種策略。當A選擇而B選擇bj時，A的所得為aij ,B的所得為bij，收益用所得大小衡量。設G =（S1，S2；A）為矩陣對策，其中S1 = a1, a2,，am ，S2 =B1，B2，Bm，A =aijmn。 記s1*=xEmxi0,i=1,m,xi=1s2*=yEmyi0,j=1,m,yi=1 則s1*和s2*分別稱為局中人和的混合策略集（或策略集）；xs1*和ys2*分別稱為局中人和的混合策略（或策略），對xs1*, ys2*稱(x,y)，為一個混合局勢（或局勢），局中人贏得函數(shù)記為 一個混合策略x =（x1, x2,，xm）可設想成當兩個局中人多次重復進行對策時，局中人分別采取純策略a1, a2,，am的頻率。若只進行一次時對策，混合對策可設想成局中人對各純策略的偏愛程度。 設兩個局中人進行有理智的對策，當局中人采取混合策略時，它只希望獲得（最不利的情形），因此局中人應選取x S，使得上式取極大值（最不利當中的最有利情形），即局中人可保證自己的贏得期望值不少于。同樣有v1v2時，當=時，x和y分別為局中人和局中人的最優(yōu)混合策略，簡稱最優(yōu)策略，V為對策值。 2、優(yōu)超原則。顯然，在局中人的純策略中，假設存在ak和al，如果對局中人的一切純策略，都有akjalj，即贏得矩陣的第l行元素不小于k行的對應元素，則局中人的純策略ak優(yōu)于al，局中人選擇ak的概率為零，可以去掉贏得矩陣的第k行。同理，在局中人的純決策中，假設存在k和l，如果對局中人(此處為全國總體)的一切純策略，都有akjalj，即贏得矩陣的第l列元素不大于k列對應的元素，則局中人的純策略l優(yōu)于k，局中人選擇ak的概率為零，可以去掉贏得矩陣的第k列。就是優(yōu)超原則。具體模型：1符號定義A：全國參賽高?？傮wB:哈工大（威海）(a1，a2）：A的純競賽策略(b1，b2，b3）：B的競賽選擇， a11: 全國數(shù)學建模大賽 a12: 機械創(chuàng)新設計大賽 b11: 全國數(shù)學建模大賽 b12：機械創(chuàng)新設計大賽 b13：周培源力學競賽（aij，bij）：該情況下A和B各自收益 Pi：對i的投入比例，決定總體學生能力進而影響哈工大獲獎難度EU：策略收益，由一二三等獎各自獲獎率和加分數(shù)目乘積加權求和（EU1，EU2，EU3）：哈工投入數(shù)模、機創(chuàng)、周培源各自收益（n1,n2,）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自人數(shù)的預期（g1,g2）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自一等獎獲獎率的預期（h1,h2）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽各自二等獎獲獎率的預期（d1,d2）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽一等獎加分數(shù)值的預期（e1,e2）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽二等獎加分數(shù)值的預期（p1,p2）:2013年全國數(shù)模、機創(chuàng)參賽投入比例的預期G：2013年兩項競賽的競賽規(guī)模期望Q：2013年獲獎情況期望（x1,x2,x3,x4,x5）:20082012 往屆題目難度2.條件假設：假設只考慮對于機械類專業(yè)學生的情況：1. 全國水平對哈工有影響的是全國數(shù)學建模大賽和機械創(chuàng)新設計大賽2. 哈工大機械學生可以選擇這兩項競賽，也可以選擇周培源力學競賽3. 哈工大對3項競賽的培訓和資金投入由全國總體水平決定4. 全國的純策略選擇為ai時，哈工收益為bij；5. ai是自變量，不受bj的影響，但也是可變的；bj是因變量，由ai決定6. a1，a2，a3可由搜集的數(shù)據(jù)和I,II中建立的模型定量算出7. 根據(jù)對兩競賽2013年全國水平參賽人數(shù)的預期（n1,n2,），一等獎獲獎率（g1,g2），二等獎獲獎率（h1,h2）,一等獎加分數(shù)值（d1,d2），二等獎加分數(shù)值（e1,e2）,可知總體對兩項競賽的投入比例可得當下比例系數(shù)p1,p2（p1+p2=1）:8. 將比例系數(shù)p1當做自變量，作圖觀察哈工大收益在p1不同變化區(qū)間的變化，從而得出不同p1下的分段參賽最優(yōu)策略9. 混合策略收益可以按投入比例由純收益取得5.3.2 模型計算與求解數(shù)據(jù)計算已得或已知數(shù)據(jù)： n1=22654,n2=10857g1=10%g2=2%h1=23%h2=8%d1=15,5d2=10,3e1=5e2=31.2013全國總體參賽側重比例（p1,p2）p1/p2=n1*(g1*d1+h1*e1)/n2*(g2*d2+h2*e2)p1+p2=1得p1=65.27%p2=34.72%2.2013全國總體參賽收益（C1，C2）根據(jù)模塊II中的數(shù)據(jù)，由兩項競賽的競賽規(guī)模G、獲獎情況Q、往屆題目難度M（x1,x2,x3,x4,x5）對全國范圍的定量影響，并綜合分析預測下年全國參賽規(guī)模b和參賽學生水平Ri，通過AHP層次分析法軟件（ExpertChoices）和matlab矩陣相關性加權得出哈工大每種純策略在該情形下的收益CC1=2.32C2=1.763.混合收益分布列表AB全國數(shù)學建模大賽機械創(chuàng)新設計大賽全國數(shù)學建模大賽（2.32,3.）（1.76,8全國院校只參加機械設計、哈工只參加數(shù)模時，哈工的收益.）機械創(chuàng)新設計大賽（2.32，5）(1.76,3全國院校只參加機械設計、哈工只參加機械設計時，哈工的收益)周培源力學競賽(2.32全國院校只參加數(shù)模、哈工只參加周培源時，哈工的收益,4)(1.76,6)4.模型的分析求解假定A,B均理性，則A是可預測的，而A,B將可達到納什均衡伯川德模型：分析：i）純收益：當A選擇數(shù)學建模時，B的最佳對策是選擇機械創(chuàng)新；當A選擇機械創(chuàng)新時，B的最佳對策是選擇數(shù)學建模。ii）2013定收益期望EU：由p1=65.27%p2=34.72%得當B選擇數(shù)學建模，EU1=65.27%*3+34.72%*8=4.6965；當B選擇機械創(chuàng)新，EU2=65.27%*5+34.72%*3= 4.3051；當B選擇周培源力學，EU2=65.27%*4+34.72%*6= 4.6940；由此可見，2013年哈工大參賽最佳對策是參加數(shù)學建模。iii）p1作為變量時的動態(tài)分析以p1為自變量，p1是關于A選擇數(shù)學建模的期望，而p2=1-p1;分別在p1=0， p1=1處，列出以B的收益期望值為坐標的y軸；以此為坐標平面，畫出B的收益函數(shù)圖像，如下圖： 0 2/7 1 p1876543210EU3EU1EU2876543210EU1由圖可見：當p1=2/7時，數(shù)學建模大賽為最優(yōu)策略；當p1=2/7時，選擇數(shù)模、機械創(chuàng)新、周培源收益相同；（2/7，4.42）是該模型的納什均衡點。6 模型的評價與改進參考文獻1 （新西蘭）Mark M.Meerschaert,數(shù)學建模方法與分析，機械工業(yè)出版社，2005年：2 韓忠庚，數(shù)學建模方法與應用，高等教育出版社；3 阮曉青，周義倉，數(shù)學建模引論，高等教育出版社，2005；4 網易公開課。附 錄A.1 附表一：a.全國大學生數(shù)學建模大賽參加情況的比較a.年份參賽省份參賽院校參賽隊伍一等獎隊伍二等獎隊伍獲獎率參審專家1992107431419931610142911480.13719942119692625570.0889199525261123635750.089131996243371683481090.093191997263731874601290.101181998264002103791530.110221999264602657972040.11320002751732101192450.1132720012752938871362330.0613020023057244481571970.0792520033063754061994090.0932720043072468812385410.1132820053079584922495940.0993420063186499852507020.09540200730969117422578370.093422008311023128462538880.088412009331137150422759940.08445201033+ 11971731726111110.07145201133+12511949727512610.079201233+12842121927213720.077b.北美大學生數(shù)學建模大賽（中國區(qū)）參加情況的比較年份賽事類型參賽院校占院校比例參賽隊伍占總數(shù)比例特等獎隊伍1989341996391152（復旦，中科大）19971（華東理工）19981（清華）19994319%15532%1（浙大）20004620%16934%1（國防科技大學）2001MCMICM622426%41%1983840%46%2002MCMICM2165441%51%2003MCMICM30047%4（浙大，北大，東南大學，東華大學）2004MCMICM39854%1（成都電子科技大學）2005MCMICM38912560%76%1（華東理工大學）2006MCMICM46619462%87%2（上海交大，浙江工業(yè)大學）2007MCMICM62723566%86%2（北大，國防科技大）2（吉大，杭州電子科技大）2008MCMICM84935773%94%2（國防科技大，北京郵電大學）2009MCMICM128234277%91%2010MCMICM185233282%93%2011MCMICM237368785%93%2012MCMICM3285128388.9%96.5%.c電子設計大賽統(tǒng)計表屆 別年度參賽賽區(qū)參賽學校參賽隊伍參賽學生賽區(qū)增長學校增長隊伍增長第一屆1994344219657第二屆199591226021806200%177.3%174.9%第三屆1997162071007302177.8%69.7%67.3%第四屆1999232791465439543.8%34.8%45.5%第五屆200124342208762554.3%22.6%42.5%第六屆2003244263039近萬21%54%第七屆20052751044701341019.2%46.3%第八屆2007297907422222668%53.72%65.15%第九屆20093193887662629818.2%20.9%第十屆20111062101753052513.22%16.07%2011即全國共有11個參賽隊獲得一等獎；19個參賽隊獲得二等獎；43個參賽隊獲得三等獎.一、二、三等獎概率及分布柱狀圖：A.2 附表二：Matlab程序代碼1.數(shù)學建模參賽院?；貧w方程： x=1 2 3 4 5; X=ones(5,1) x; Y=314 429 926 1236 1683; b,bint,r,rint,starts=regress(Y,X)b = -145.9000 354.5000即：y=345.5x-145.9(其中x為年份，y為參賽人數(shù))bint = -499.3826 207.5826 247.9210 461.0790r = 105.4000 -134.1000 8.4000 -36.1000 56.4000rint = -3.6776 214.4776 -302.0457 33.8457 -360.3163 377.1163 -371.7650 299.5650 -171.7363 284.5363starts = 1.0e+04 *0.0001 0.0112 0.0000 1.1216即；=-145.9，=354.5，的置信區(qū)間為-499.3826 ，207.5826, 的置信區(qū)間為247.9210，461.0790; r2=1, F=11.2, p=0.0000p X=ones(4,1) x (x.2); s=232 343 234 543; b,bint,r,rint,starts=regress(s,X); b,startsb = 379.5000 -165.1000 49.5000starts = 1.0e+04 * 0.0001 0.0001 0.0001 2.0352數(shù)學建模參賽人數(shù)回歸方程： x=1:1:10; y=5406 6681 8492 9985 11742 12846 15042 17317 19496 21219; R=(x.4) (x.3) (x.2) x ones(10,1); A=RyA = 1.0e+03 *即:乘系數(shù)103 -0.0026 0.0580 -0.3859 2.45943.1630即y=-2.6x4+58 x3-385.9 x2+2459.4 x+3163機電設計大賽參賽人數(shù)模型 x=1:1:9; y=1806 3021 4295 6255 10000 13410 22266 26298 30525; R=(x.4) (x.3) (x.2) x ones(9,1); A=RyA = 1.0e+03 * -0.0286 0.5230 -2.6867 6.3384 -2.4161即y=-28.6x4+52.3 x3-2686.7 x2+6338.4 x-2416.1周培源力學大賽參賽人數(shù)模型（問題：第五屆之后參賽人數(shù)數(shù)據(jù)缺失，根據(jù)模糊理論可知，對 x=1:1:5; y=62 1389 1711 2752 7617; R=(x.4) (x.3) (x.2) x ones(5,1); A=RyA = 1.0e+03 * 0.0575 -0.2881 -0.2125 3.1181 -2.6130即y=57.5x4-288.1 x3-212.5 x2+3118.1 x-26130機械創(chuàng)新設計大賽參賽人數(shù)模型（問題：僅能獲取前四期參賽人數(shù)） x=1:1:4; y=2000 5000 20000 40000; R=(x.4) (x.3) (x.2) x ones(4,1); A=RyA = 1.0e+03 * -0.5567 4.4000 -6.4833 04.640