河北省清河縣清河中學(xué)高一數(shù)學(xué) 1.3.2《球的體積和表面積》學(xué)案.doc

1.3.2 球的體積和表面積一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解球的表面積和體積計(jì)算公式；2. 能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的表面積公式及體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.二、考綱要求：三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：預(yù)習(xí)教材p27 p28，找出疑惑之處，填寫自主學(xué)習(xí)部分，再做練習(xí)鞏固。四、自主學(xué)習(xí) 復(fù)習(xí)：柱體包括_和_,它的體積公式為_；錐體包括_和_,它的體積公式為_；臺(tái)體包括_和_,它可以看作是大錐體上截去了一個(gè)小錐體,所以它的體積公式為_. 探索新知新知：球的體積和表面積球沒有底面,也不能像柱體、錐體、臺(tái)體那樣展成平面圖形，它的體積和表面積的求法涉及極限思想(一種很重要的數(shù)學(xué)方法).經(jīng)過推導(dǎo)證明：球的體積公式 球的表面積公式 其中，為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑有關(guān).五、典型例題例1 木星的表面積約是地球的120倍，則體積約是地球的多少倍? 變式：若三個(gè)球的表面積之比為，則它們的體積之比為多少?例2 一種空心鋼球的質(zhì)量是142，外徑是5.0，求它的內(nèi)徑. （鋼密度7.9）例3 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑(即圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球)，求證（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.變式：半徑為的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，設(shè)正方體的內(nèi)切球半徑為，則為多少?小結(jié)：兩個(gè)幾何體相接是指一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上；兩個(gè)幾何體相切是指一個(gè)幾何體的各面與另一個(gè)幾何體的各面相切.解決幾何體相切或相接問題，要利用截面來(lái)展現(xiàn)這兩個(gè)幾何體之間的相互關(guān)系，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來(lái)解決. 動(dòng)手試試練1.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)為3、，若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求出此球的表面積和體積.bcad452練2. 如圖，求圖中陰影部分繞ab旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積. 六、 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 球的表面積及體積公式的應(yīng)用； 2. 空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想. 知識(shí)拓展極限的思想推導(dǎo)球的表面積公式過程：如圖,將球的表面分成個(gè)小球面，每個(gè)小球面的頂點(diǎn)與球心連接起來(lái)，近似的看作是一個(gè)棱錐，其高近似的看作是球的半徑.則球的體積約為這個(gè)小棱錐的體積和，表面積是這個(gè)小球面的面積和.當(dāng)越大時(shí)，分割得越細(xì)密，每個(gè)小棱錐的高就越接近球的半徑，于是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)(即分割無(wú)限加細(xì))，小棱錐的高就變成了球的半徑(這就是極限的思想).所有小棱錐的體積和就是球的體積.最后根據(jù)球的體積公式就可以推導(dǎo)出球的表面積公式.七、 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 如果球的半徑擴(kuò)大倍，則球的表面積擴(kuò)大（ ）. a.倍 b.倍 c.倍 d.8倍2. 有相等表面積的球及正方體，它們的體積記為，球直徑為，正方體的棱長(zhǎng)為，則（ ）. a. b. c. d.3. 記與正方體各個(gè)面相切的球?yàn)椋c各條棱相切的球?yàn)?，過正方體各頂點(diǎn)的球?yàn)閯t這3個(gè)球的體積之比為（ ）. a.1:2:3 b.1: c.1: d.1:4:94. 已知球的一個(gè)截面的面積為9，且此截面到球心的距離為4，則球的表面積為_.5. 把一個(gè)半徑為的金屬球熔成一個(gè)圓錐,使圓錐的側(cè)面積為底面積的倍，則這個(gè)圓錐的高應(yīng)為_. 八、課后作業(yè)1、一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是( )a b c d 2、已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓周長(zhǎng)為，則它的體積是( ) a b 9 c d 3、若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3，它的側(cè)面積是兩底面面積的2倍，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是（ ）a 2 b 2.5 c 5 d 104、若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為1200，半徑為的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是（ ）a 3：2 b 2：1 cabdpa1b1c1d1 c 4：3 d 5：35、如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體abcd-a1b1c1d1中，p是a1b1上一點(diǎn)，且pb1a1b1，則多面體p-bcc1b1的體積為（ ）a b c 4 d 16 6、兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三部分，則圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ）a 1：2：3 b 1：7：19 c 3：4：5 d 1：9：277. 有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器