(電大復(fù)習(xí))高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí) 1、 求函數(shù)的定義域： 1）含有平方根的：被開方數(shù) 0， 2）含分式的：分母 0 含對數(shù)的：真數(shù) 0 例： 1.函數(shù))1ln(9 2xxy 的定義域是 2、函數(shù)的對應(yīng)規(guī)律 例 ：設(shè) 21 3 4 ,f x x x 求 fx 解：由于 f 中的表達(dá)式是 x+1，可將等式右端表示為 x+1 的形式 2)(2)1()1(3)1()1( 222 xxxfxxxxxf 或：令 2)(24)1(3)1()(11 222 xxxftttttftxtx 則 3、判斷兩個函數(shù)是否相同：定義域相同及對應(yīng)規(guī)律相同 例： 1、下列各函數(shù)對中，（ B ）中的兩個函數(shù)相同 A、 2( ) ,y x y x B、 2 1 ,11xy y xx C、 2l n , 2 l ny x y x D、 22s i n c o s , 1y x x y 4、判斷函數(shù)的奇偶性 ： 若 f x f x ，則 fx為偶函數(shù) ； 若 f x f x ，則 fx為奇函數(shù) ， 也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù) 奇函數(shù)、奇函數(shù) 偶函 數(shù)仍為奇函數(shù)；偶函數(shù) 偶函數(shù)、偶函數(shù)偶函數(shù)、奇函數(shù)奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來判斷。 奇函數(shù)的圖像關(guān)于 原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱。 例： 下列函數(shù)中，（ A ）是偶函數(shù) A 3 sinf x x x B 3 1f x x C xxf x a a D 3 c o sf x x x 5、無窮小量：極限為零的變量。性質(zhì)：無窮小量和有界變量的積仍是無窮小量 例 1） : 當(dāng) 0x 時，下列變量為無窮小量的是（ B ） A、 cosx B、 ln(1+x) C、 x+1 D、 xe 2）01lim sinx x x 0 6、函數(shù)在一點處極限存在的充要條件是左右極限存在且相等 0limxxx ( D ) A、 1 B、 1 C、 1 D、不存在 7、極限的計算：對于“00”形1s in2)10 xxlinx）利用重要極限約去零因子后再計算 23121330)1l n (0109 2xxxxxxxx且例 1）21111)11(11000 xlinxxxlinxxlinxxx2）)1)(3( )1s in (lim32 )1s in (lim 121 xx xxx x xx )1( )1s in ()3( 1lim 1 xxx )1( )1s in(lim)3(lim 1 11 xxx xx=41141 8、導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 處的切線的斜率在點表示曲線00 )()( xxfyxf ； )(),)(00000 xxxfyyyxxfy 處的切線方程在點（曲線例： 曲線 1)( xxf 在 )2,1( 處的切線斜率是 解：121)1( xxf= )1(212,21 xy故切線方程為：9、導(dǎo)數(shù)的計算：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則：由外向內(nèi)，猶如剝筍，層層求導(dǎo) 例 1） 設(shè) 2sinln xy ，求 y 解： xxxy 2c o ss in 1 22 例 2） 設(shè) 2c o s xy x e ，求 dy 解 ； 21( s i n 2 )2 xd y x x e d xx 10、判斷函數(shù)的單調(diào)性 ： 的區(qū)間。系式的區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增，滿足關(guān):0y 的區(qū)間。系式的區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞減，滿足關(guān):0y 例： .函數(shù) 1)1( 2 xy 的單調(diào)減少區(qū)間是 ），故單調(diào)減少區(qū)間是（ 110)1(2 xxy 11、應(yīng)用題的解題步驟： 1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式， 2）求出駐點（一階導(dǎo)數(shù) =0 的點） ， 3）根據(jù)題意直接回答 例 1） 求曲線 xy 22 上的點，使其到點 )0,2(A 的距離最短 解：曲線 xy 22 上的點到點 )0,2(A 的距離公式為 22)2( yxd d 與 2d 在同一點取到最小值，為計算方便求 2d 的最小值點，將 xy 22 代入得 xxd 2)2( 22 令 2)2(2)( 2 xd 令 0)( 2 d 得 1x 可以驗證 1x 是 2d 的最小值點，并由此解出 2y ，即曲線 xy 22 上的點 )2,1( 和點)2,1( 到點 )0,2(A 的距離最短 2） 某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為 V 的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最?。?解：設(shè)容器的底半徑為 r ，高為 h ，則其表面積為 rhrS 2 2 因為 Vhr 2 2rVh 所以 rVrS 2 2 222 rVrS 由 0S ，得唯一駐點3 Vr ，此時3 Vh，由實際問題可知，當(dāng)?shù)装霃? Vr 和高3 Vh時可使用料最省 12、 不定積分與原函數(shù)的關(guān)系 : 設(shè) F x f x ，則稱 函數(shù) Fx是 fx的原函數(shù) ., cxFdxxf )()( 例 1） 若 fx的一個 原函數(shù)為 1x， 則 fx （ B ） A、 lnx B、 32x C、 1x D 、21x 解：322)(11)(xxfxxxf 2） 已知 s i nx f x d x x c ，則 fx （答案： C） A. sinxxB. sinxx C. cosxxD. cosxx 解：x xxfxxxxf c o s)(c o s)( s in)( 13、性質(zhì)： ,f x d x f x f x d x f x c 例 1） xxfxx d)(dd 32（ B ） A. )( 3xf B. )( 32 xfx C. )(31 xfD. )(31 3xf例 2） xx d)(tan tanx +C 14、不定 積分的計算： 1）湊微分； 2）分部積分 1） 常用湊微分： ),1(1),( l n1),1)(11),(1 21 xddxxxddxxxddxxbaxdadx ),(21 xddxx )( c o ss i n),( s i nc o s),( xdx d xxdx d xeddxe xx 例 1）若 cxFxxf )(d)( ，則 xxfx d)(1 （ B ） A. cxF )( B. cxF )(2 C. cxF )2( D. cxFx )(1 解： cxFxdxfdxxfx )(2)()(2)(1 例 2） 計算 xxx de21 解： )1(de 121xdexx xx cx 1e 例 3)計算 xx x dlnsin 解 ； cxxdxdxx x )c o s ( l n)( l n)s i n ( l nlns i n2） 分部積分的常見類型：x d xxdvx d xx d xdxex d xxdxexnxnxnc o sc o ss i ns i n 的形式。湊成、把 的形式湊成把 dvdxxx d xx nn ln ，再根據(jù)分部積分公式 vduuvudv 計算 例 1） 計算 dxxe x 解： cexedxexeexdxdxedxxe xxxxxxx )()( 例 2） 計算不定積分 xxx d3cos 解： cxxxx dxxxxxdxxdxx dxx 3c os313s i n313s i n3s i n31)3( s i n31)3(3c os313c os例 3）計算 dxxxxxdxx xxxxxdxxdxx 1 1)1()1l n (1)1l n ()1l n ()1l n ()1l n (= cxxxxdxxxx 1ln)1l n ()111()1l n (15、定 積分的牛頓萊布尼茲公式：設(shè) F（ x）是 f(x)的一個原函數(shù)，則 )()( xFdxxfba ab )()( aFbF 例： 若 Fx是 fx的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是（ B ） A. xa f x d x F xB. xa f x d x F x F aC. ba F x d x f b f aD. ba f x d x F b F a 16、奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分： 若 fx是奇函數(shù)，則有 0aa f x dx 若 fx是偶函數(shù)，則有 0022aaf x d x f x d x f x d x 例 1)： 1 21 2 1x dxx 分析： 22 1xx 為奇函數(shù)，所以 1 21 2 1x dxx 0 例 2） 11 xdx 分析： xQ 為偶函數(shù) 故： 11 210102 | 1x d x x d x x 17、定積分的計算： 1）湊微分， 2）分部積分； 定積分的湊微分和不定積分 的計算相同。 例 1） 計算 1221xe dxx解： 利用湊微分法，211d x dxx ，得 1 1122 212111 |x xxe d x e d e e exx 例 2） 計算定積分 21xe dxx解： 利用湊微分法， 1 2d x d xx ，得 22 22111 2 2 | 2x xxe d x e d x e e ex 定積分的分部積分與不定積分的計算基本相同： 定積分的分部積分公式： baba v duabuvudv 例 1） 計算 1 20 xxe dx解： 0121210121)(21)2(21 221022102102102 xxxxxx eedxexeexdxdxedx