03-日研究發(fā)現(xiàn)違反量子力學(xué)不確定性原理現(xiàn)象-黃鵬輝翻譯.pdf

在自旋測量中普遍有效的誤差干擾不確定性關(guān)系的實(shí)驗(yàn)演示在自旋測量中普遍有效的誤差干擾不確定性關(guān)系的實(shí)驗(yàn)演示 Jacqueline Erhart 1 Stephan Sponar 1 Georg Sulyok 1 Gerald Badurek1 Masanao Ozawa2 and Yuji Hasegawa1 1 Atominstitut Vienna University of Technology Stadionallee 2 1020 Vienna Austria 2 Graduate School of Information Science Nagoya University Chikusa ku Nagoya 464 8601 JAPAN Dated January 10 2012 黃鵬輝 2012 年 1 月 28 日翻譯 不確定性原理一般禁止某對量子力學(xué)可觀測量取任意精度的值 并且由此形成了量子力 學(xué)中的不確定性基礎(chǔ) 1 2 它是由海森伯采用一個著名的伽瑪射線顯微鏡思想實(shí)驗(yàn)來說明 這種不確定性的 3 其下限被設(shè)置為一個可觀察量的測量誤差和測量所造成干擾的乘積 后 來 不確定關(guān)系根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行了重新改寫 4 5 但只是聚焦在預(yù)測的不確定性上 而 忽視了不可避免的測量設(shè)備的反作用 6 一個考慮到了測量設(shè)備反作用 正確的誤差干擾關(guān) 系公式 對于更深入了解不確定性原理是至關(guān)重要的 然而 海森伯的原始誤差 干擾不確定 性關(guān)系的有效性 只在極限情況下才是合理的 7 9 另一個誤差干擾關(guān)系 通過嚴(yán)格和一般 性的量子測量理論處理推導(dǎo)出的 應(yīng)該是普遍有效的 10 11 這里 我們報告了一個中子 光學(xué)實(shí)驗(yàn) 它記錄了一個自旋分量測量的誤差 以及另一個自旋分量測量所造成的干擾 結(jié) 果證實(shí) 誤差和干擾 完全服從這個新的 更普遍的關(guān)系 但在一個廣泛的實(shí)驗(yàn)參數(shù)范圍內(nèi) 違反舊的關(guān)系 由于測量的反作用 作為正則共軛變量同步測量的極限 不確定性關(guān)系是由海森伯在 1927 年首次提出的 3 帶有誤差 Q 的電子位置Q的測量 或 平均誤差 包括干擾 P 或動量的 不連續(xù)變化 使他們始終滿足關(guān)系 P 2 QP 1 其中是普朗克常數(shù)除以2 這里 我們采用以便與現(xiàn)代處理方法一致 在從對易關(guān) 系到上面關(guān)系的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中 海森伯 3 使用相互關(guān)系 2 PQQPi 2QP 作為位置和動量的標(biāo)準(zhǔn)偏差 QP 這一點(diǎn)隨后很快就由 Kennard 對任意波函數(shù)進(jìn)行 了證明 4 這種關(guān)系是由 Robertson 推廣到任意成對的可觀測量A B 5 1 2 ABA B 2 在任何態(tài) 都有 AB 這里 A B表示對易子 A BABB A 標(biāo) 準(zhǔn)偏差定義為 2 22 AAA 標(biāo)準(zhǔn)偏差的 Robertson 關(guān)系 2 已被許多不同 的實(shí)驗(yàn)所證實(shí) 在單縫衍射實(shí)驗(yàn)中 12 2 表示的不確定性關(guān)系已經(jīng)得到證實(shí) 狹縫寬度決 定了位置的展開 而在屏幕上的衍射圖樣顯示了動量分布 對較窄的狹縫 圖樣得到更寬廣 的分布 反之亦然 一個平衡關(guān)系出現(xiàn)在了輻射場的壓縮相干態(tài)中 13 14 從理論的提議 開始 15 到第一個壓縮態(tài)實(shí)驗(yàn)的產(chǎn)生 16 許多實(shí)驗(yàn)演示已經(jīng)被實(shí)現(xiàn)了 17 18 Robertson 關(guān)系 2 有一個數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 但沒有立刻影響到測量極限 這個關(guān)系是自然地被 理解為關(guān)于態(tài)準(zhǔn)備的極限或關(guān)于從過去所做預(yù)測的極限 另一方面 對于A的測量誤差 A 和由測量所造成的可觀測量B的干擾 B 倒數(shù)關(guān)系的證明 在海森伯誤差 干擾關(guān)系的一般 形式中 1 2 ABA B 3 并不是直截了當(dāng)?shù)?因?yàn)楹Ｉ淖C明用到了一個只是關(guān)于測量后狀態(tài)的 不受支持的假設(shè) 最近 嚴(yán)謹(jǐn)和一般性的量子測量理論處理 揭示了海森伯關(guān)系 1 的失敗 并推導(dǎo)出了如下一 個新的普遍有效的關(guān)系 10 11 1 2 ABABABA B 4 這里 誤差 A 被定義為輸出算符的均方根 rms 偏差 其實(shí)際測量來自于可觀測量 A O A的測量 而干擾 B 被定義為在測量過程中可觀測量B變化的均方根 10 11 詳細(xì)內(nèi)容 參見 方法 A 附加的第二和第三項(xiàng)是 B A和誤差 干擾 算符之間不可對易的數(shù)學(xué)結(jié)果 參 考資料 11 中的 Eq 235 特別是 它們意味著一個對于非干擾測量 0B 的新的精度極 限 1 12 AA BB 和一個對于無噪聲測量 0A 的新的干擾極限 1 12 BA BA 代替 A 或 B 作為從海森伯典型關(guān)系 2 的推導(dǎo)結(jié)果 在本文中 這個普遍有效的誤差 干擾關(guān)系 4 用中子的自旋測量進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試 20 我 們設(shè)置A和B為中子12自旋的x和分量 為簡單起見 這里省略了每個自旋分量的可觀 測量 y 2 誤差 A 和干擾 B 由一個稱為 M1 的測量儀器所定義 以便使儀器 M1 測量 帶有誤差 A 的可觀測量 x A 和帶有干擾 B 的可觀測量 y B 為了控制誤差 A 和干擾 B 儀器 M1 實(shí)際上被設(shè)計成實(shí)現(xiàn)cossin Axy O 的投影測 量 而不是通過 的失諧方位角 正好測量 x A 這是一個實(shí)驗(yàn)控制參數(shù) 以便 A 和 B 被確定是 的函數(shù) 詳細(xì)內(nèi)容參見 方法 B 由于輸出算符和被測量的可觀測量 A OA 是不可以同時測量的 它們的差別不是可直接檢測的量 并且在測量過程中 對于可觀測量 B的變化同樣也是如此 基于這個理由 誤差 A 和干擾 B 的觀念常常被聲稱是實(shí)驗(yàn)無 法達(dá)到的 21 22 為了克服這種斷言的實(shí)驗(yàn)不可達(dá)到性 我們遵循了理論分析 參考資料 11 387 頁 提出的一種方法 這種方法從實(shí)驗(yàn)可用的數(shù)據(jù)來確定誤差 A 和干擾 B 對于同 一關(guān)系 4 的試驗(yàn)演示 Lund 和 Wiseman 最近發(fā)表的文章提出了一個不同的建議 該建議開 啟了弱測量技術(shù) 23 誤差 A 是由來自儀器 M1 的數(shù)據(jù)確定 而干擾 B 是由來自另一個設(shè)備 M2 的數(shù)據(jù) 確定 M2 實(shí)現(xiàn)在 M1 測量后對B狀態(tài)的投影測量 因此 實(shí)驗(yàn)是基于 M1 中的和 M2 中 的 A O B這兩個不可對易觀測量的相繼投射測量 如圖 1 所示 圖 1 在相繼測量中對誤差 干擾不確定性關(guān)系演示的實(shí)驗(yàn)概念 準(zhǔn)備一個初始狀態(tài) 后 假設(shè)設(shè)備 M1 用來測量可觀測量A 紅色區(qū)域 在A測量中的測量誤差 A 通過失諧儀器 M1 被實(shí)驗(yàn)控制到測量 而不是 A OA 淡紅色 這個測量后 狀態(tài)被投影到的一個本征態(tài) 必然要影響到隨后由儀器 M2 對 A OB 進(jìn)行的測量 黃色區(qū)域 關(guān)于B測量的干擾 B 取決于 M1 的失諧 即A測量的誤差 和 A OB相繼的12 自旋測量會導(dǎo)致四種可能的結(jié)果 表示為 和 由誤差 A 和干擾 B 定量決 定 對于這些測量 中子束首先通過初始狀態(tài) 的準(zhǔn)備階段 儀器 M1 有兩種可能的結(jié)果 即 1 和 1 對應(yīng)于測量算符 12 1 EI 由儀器 M1 所造成的關(guān)于可觀測量B的 干擾由儀器 M2 檢測 這也產(chǎn)生了 1 或 1 兩者之一 對應(yīng)于測量算符 12 1 y y EI 因此 由 M1 和 M2 實(shí)現(xiàn)的相繼測量最終導(dǎo)致四個表示為 和 的強(qiáng)度 中子自旋實(shí)驗(yàn)的設(shè)置如圖 2 所示 的方位角 在 0 和 2 之間以對誤差和干擾發(fā)生進(jìn)行平 衡的方式調(diào)節(jié) 就象從 11 和 13 看到的 誤差 A 和干擾 B 是通過在不同的狀態(tài)對和 A O B相繼測量所獲得的 對于狀態(tài)z 中的測量誤差和干擾 輔助狀態(tài)z x 和 y 是同樣準(zhǔn)備的 詳細(xì)內(nèi)容請參閱 方法 C 實(shí)驗(yàn)在維也納科技大學(xué) TU Vienna 的研究反應(yīng)堆設(shè)備 TRIGA Mark II 上進(jìn)行 帶有 1 96平均波長的單色中子束在 y 方向傳播 穿過彎曲的 Co Ti 超反射鏡陣列 極化鏡 的中 子束約 99 被極化 24 兩個分析超反射鏡 分析儀 調(diào)整到更高的入射角 使入射中子束中 的二階諧波被抑制 最終強(qiáng)度大約是在 10 豎直 A 5 水平 平方毫米的束向橫截面 90 中子 秒 一個 3 監(jiān)控探測器被用于標(biāo)準(zhǔn)化 以調(diào)節(jié)由反應(yīng)堆功率引起的統(tǒng)計起伏 一個具有高效率 99 以上 的探測器被用于實(shí)驗(yàn) 為了避免不想要的極化 一個指向 He 3 BFz 方向 大約 10 高斯強(qiáng)度的靜態(tài)引導(dǎo)場散布在矩形的亥姆霍茲線圈中 此外 引導(dǎo)場包含拉莫進(jìn)動 它與四 個適當(dāng)放置的直流自旋轉(zhuǎn)子線圈一起 允許在 M1 中和 M2 中 A OB的狀態(tài)準(zhǔn)備和投影測量 詳細(xì)內(nèi)容請參閱 方法 D 圖 2 在中子自旋測量實(shí)驗(yàn)中 用于普遍有效的誤差 干擾不確定關(guān)系演示的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖 中子光 學(xué)裝置包括三個階段 準(zhǔn)備 藍(lán)色區(qū)域 儀器 M1 實(shí)現(xiàn)可觀測量 A O 的測量 紅色區(qū)域 和儀器 M2 實(shí) 現(xiàn)觀測量 y B 的測量 黃色區(qū)域 在準(zhǔn)備階段是單色中子束在z 方向被一個穿過超級鏡子的自旋極化 器高度極化 99 第一個直流線圈 DC 1 在x方向產(chǎn)生一個磁場 z B 該磁場可用來旋轉(zhuǎn)繞x軸的初始極 化矢量 此外 利用由靜態(tài)引導(dǎo)場引起 出現(xiàn)在整個裝置的 繞軸的拉莫進(jìn)動 和改變 DC 1 的位置 任 意初始自旋態(tài)可以在準(zhǔn)備階段的末端產(chǎn)生 取決于無關(guān)的相位因子 可觀測量的投影測量是由類似組件 實(shí)現(xiàn)的 由于拉莫進(jìn)動 準(zhǔn)備狀態(tài)將繞軸旋轉(zhuǎn) 因此 通過妥善安置 DC 2 線圈 被測量的旋轉(zhuǎn)組件 可 以投影到 z A O z z 方向 在這里它被一個超級鏡子分析儀 Analyzer 1 所反射 在z 狀態(tài)通過第一個分析儀后 DC 3 產(chǎn)生了 的本征態(tài) 以同樣的方式 儀器 M2 實(shí)現(xiàn)關(guān)于本征態(tài) 可觀測量B的測量 這構(gòu) 成了第二次測量的干擾源 和 y 的投影測量相結(jié)合 在中子束下游的中子探測器中給出了 4 個計數(shù)狀 態(tài) 誤差 A 和干擾 B 以及每次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差 A 和 B 由相繼測量的期待值確定 為了測試 4 表示的普遍有效的不確定性關(guān)系 標(biāo)準(zhǔn)差 A B 誤差 A 和干擾 B 被確定了 標(biāo)準(zhǔn)偏差 A 和 B 的測量是分別由 M1 和 M2 實(shí)現(xiàn)的 而誤差 A 和 干擾 B 是利用 M1 和 M2 相繼投射測量確定的 典型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組 對于混雜的失諧角 如圖 3 所示 圖 3 相繼測量的標(biāo)準(zhǔn)化強(qiáng)度由儀器 M1 和 M2 實(shí)現(xiàn) M1 和 M2 的相繼測量有 4 個結(jié)果 表示為 和 強(qiáng)度 根據(jù)相應(yīng)的結(jié)果 被表示為每個初始自旋態(tài) 即 z z x 和y 這里繪制了對于失諧參數(shù)0 和度的三組數(shù)據(jù) 對于每個失諧參數(shù)4090 的設(shè)置 誤差 A 和干 擾 B 從這 16 個強(qiáng)度確定 A 和 B 的結(jié)果值 與理論預(yù)言值 2 2sinA 和2 cosB 一起 參見 方 法 B 在圖 4 中繪制成了一個失諧參數(shù) 的函數(shù) A 和 B 的平衡關(guān)系與理論符合得 很好 當(dāng)一個可觀測量測量得越精確 另一個就越發(fā)受到干擾 在圖 4 中縱向和橫向的誤差 線包含了測量的統(tǒng)計起伏 以及在 1 6 度的角度偏差所造成的線圈位置和電流值的系統(tǒng)性偏 差 最終結(jié)果是通過考慮整個測量的對比度 96 所獲得的 從上面獲得的這些項(xiàng) 誤差 A 干擾 B 標(biāo)準(zhǔn)偏差 A 和 B 海森伯的誤差 干擾乘積 AB 和新的關(guān)系 4 的左邊 ABABAB 在圖 5 的上面 板繪制成了失諧方位角 的函數(shù) 這個圖形顯示了這么一個事實(shí) 海森伯乘積始終低于計算 的極限值 而新的總結(jié)總是大于在 掃描范圍內(nèi)的極限值 這清楚地表明 帶有誤差 A 和 干擾 B 單一乘積的海森伯類型誤差 干擾關(guān)系 3 是違反的 而由三項(xiàng)組成新的關(guān)系 4 總是 一致的 圖 4 誤差 A 和干擾 B 綠色 藍(lán)色 之間的平衡關(guān)系 是作為一個失諧方位角 的函數(shù)獲得的 理論預(yù)測了 的依賴性 2 2sinA 和2 cosB 在0 的值是 0A 和 2 B 而在 2 的值是2 A 和 0B 同時準(zhǔn)確地測量兩個可觀測量A和B是不 可能的 垂直和水平誤差線包括了統(tǒng)計誤差和系統(tǒng)誤差 這種利用各種不同入射狀態(tài)對量子操作影響評估的技巧 讓我們想起了量子過程層析成 像技術(shù) 25 盡管在實(shí)驗(yàn)中 對于誤差參數(shù)是實(shí)驗(yàn)可控的 但它是很容易失控和起伏波動的 參數(shù) 在這里 我們專注于誤差 A 和干擾 B 之間全面的平衡關(guān)系發(fā)生的情況 這是值 得 注 意 的 可 觀 測 量A的 平 均 值 被 正 確 的 重 新 生 成 對 于 任 意 失 諧 角 即 A z Ozz Az 使的投影測量再現(xiàn)一個正確的概率分布 同時我們可以檢測 到對于 A O 0 的非零均方根誤差 A 已被不確定性原理所接受的是一個不可回避的測量精 度和干擾之間的平衡 但這一原則很長一段時間沒有一個令人滿意的定量描述 我們的結(jié)果 是當(dāng)前作者之一作為一個普遍有效的誤差 干擾關(guān)系提出的新關(guān)系 4 有效性的第一個證據(jù) 10 11 而舊關(guān)系 3 的失敗也予以了說明 我們的研究結(jié)果證明了新的關(guān)系解決了一個長 期存在的 描述測量精度和干擾之間關(guān)系的問題 我們的演示揭示出 不僅是關(guān)于量子測量 的基本極限 也是關(guān)于精密測量的技術(shù)極限 比如引力波探測 26 29 和量子信息處理 圖 5 由誤差 干擾 以及標(biāo)準(zhǔn)偏差 組成的各種乘積的實(shí)驗(yàn)測定值與理論預(yù)測值 上面部分 方 程 4 的 左 邊 22 22 2sincos2sincosABABAB 橙色 和海森伯乘積 2 2 2sincosAB 紅色 被繪制成失諧方位角 的函數(shù) 海森伯乘積 總是小于計算的極限值 12 A B 12 1 xy zz 虛線所示 相比之下 新的總 和總是大于計算的極限值 這是一個違反舊的不確定性關(guān)系的明確證據(jù) 海森伯誤差 干擾關(guān)系的意義 和 三項(xiàng)組成的新關(guān)系的有效性 下面部分 新關(guān)系中兩項(xiàng)附加的乘積項(xiàng) AB 綠色 和 AB 藍(lán) 色 與理論預(yù)測曲線繪制在一起 2 2sinAB 和2 cosAB 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差線 包括統(tǒng)計誤差和系統(tǒng)誤差 方法 A 普遍有效的不確定性關(guān)系 原則上 任何測量儀器 M 是在測量相互作用的過程中 由幺正算符U 描述被測對象 和探測系統(tǒng)組成復(fù)合系統(tǒng)的時間演化 以及在測量相互作用之后 P的儀器可觀測量 S PM的 實(shí)際測量的模式化 11 如果該對象的初始狀態(tài)和設(shè)備分別是 和 M的均方根誤差 A 對于測量可觀測量的SA和的可觀測量SB造成的M的均方根干擾 B 被定義為 AUIM UAI 5 BUBI UBI 6 然后 它在數(shù)學(xué)上被證明了 10 11 4 對于 SP適用于任何幺正算符U 的可觀 測量 P M 的狀態(tài)矢量S 和的P 假設(shè)該設(shè)備有一個測量算符的家族系列 M m M 25 這意味著 這個測量儀器M有可能以概率 2 m p mM 得到結(jié)果m 和在測量 后對象的狀態(tài)是S mm MM 在這種情況下 均方根誤差和均方根干擾由下式給 出 30 2 m m AMmA 2 7 2 m m BMB 2 8 如果 m M由正交投影組成 測量就被稱為投影測量 在這種情況下 7 可以由勾股定 理簡化為 A AOA 其中 A m Om m M 稱為輸出算符 B 在自旋測量中的誤差和干擾 理論分析 在實(shí)驗(yàn)中 我們對于可觀測量 x A 和 y B 測試了普遍有效的不確定關(guān)系 4 同時 初始狀態(tài) 是z 和測量儀器被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)M1 Mcossin Axy O 的投 影測量 因此 儀器 M1 被帶有的測量算符和 所描述 由 7 和 8 我們有 1 A x OxE x 1 1 2E 1 1 2E 2 2sin x A 9 2 cos y B 2 10 C 誤差和干擾的實(shí)驗(yàn)確定 在實(shí)驗(yàn)中 我們從相繼的中子自旋測量所獲得的統(tǒng)計可用的數(shù)據(jù)來確定 A 和 B 根據(jù)以前的理論分析 參考資料 11 387 頁 誤差 A 是由在三種不同狀態(tài)的平均值確 定為 A O 2 22 2 AAAA AAA AAOOAO AAI OAI OAOAAIOAI 11 其中我們使用了下列縮寫 A 和 AIAI 由于儀器 M1 實(shí)現(xiàn) 的投影測量 為了對于基本的初始狀態(tài) A O 確定 A 我們只需要測量儀器 M1 對應(yīng)于 A I 的三個輔助入射狀態(tài)的強(qiáng)度 11 中表示的期望值從測量強(qiáng)度進(jìn)行計算 如圖 3 所示 通過 A IIII O IIII 12 為了檢測由儀器 M1 在B上造成的干擾 儀器 M2 在 M1 剛測量后的狀態(tài)完成B的投影測量 儀器 M2 的輸出算符對于 M1 的初始狀態(tài)是由 R 和 Q 給出 它描述了可觀測量B對于 M1 的 初始狀態(tài)的均值和二階矩 然后 從參考資料 11 的 189 和 227 干擾 B 也是由在三 個不同狀態(tài)的平均值確定為 B O 2 22 2 BBBB BBB BBOOBOBBIOB OBOBBIOBI I 13 其中不合法的表示符號B 和 BI 在前面已經(jīng)使用過了 并且期望值由下式給出 B IIII O IIII 14 所以 B 與 A 是用同樣方法確定的 通過關(guān)系z Az Bi z 2AIx 和 2BIy 其中我們設(shè) 2 xzz 和 2 yziz 在 11 和 13 中所需的自旋狀態(tài)由實(shí)驗(yàn)中的自旋量旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 參見 圖 2 標(biāo)準(zhǔn)化因子是在自旋旋轉(zhuǎn)測量實(shí)驗(yàn)中被證實(shí)的 D 相繼的中子自旋測量 中子的自旋態(tài)被四個直流線圈自旋旋轉(zhuǎn)體控制 所需的入射狀態(tài)由第一個直流線圈 DC 1 準(zhǔn)備 DC 1 隨著z 入射狀態(tài)的產(chǎn)生而被關(guān)閉 并且 DC 1 為自旋 z的翻轉(zhuǎn)做準(zhǔn) 備 同時入射自旋態(tài)y 是繞x軸旋轉(zhuǎn) 2 而產(chǎn)生的 入射自旋態(tài)x 是由于引導(dǎo)場而導(dǎo)致 DC 1 的位置額外移動四分之一拉莫旋轉(zhuǎn)周期而產(chǎn)生的 儀器 M1 由自旋旋轉(zhuǎn)體線圈 DC 2 和 DC 3 引導(dǎo)場和自旋分析儀 1 相結(jié)合而組成 在我們的實(shí)驗(yàn)中 自旋分析儀進(jìn)行自旋的z 分量投影測量 不是旋轉(zhuǎn)分析儀 而是中子的自旋分量在 x y平面由 DC 2 和引導(dǎo)場統(tǒng)一朝 分析方向旋轉(zhuǎn) DC 3 最后生成本征態(tài) 1 E 相當(dāng)于相位因子 從而使儀器 M1 執(zhí)行投影測量以獲得 11 中的平均值 從 A O A OA到的失諧通過 DC 2 和 DC 3 同樣朝向 或遠(yuǎn)離分析儀 1 的移動而被調(diào)整 儀器 M2 由 DC 4 和分析儀 2 組成 并剛好在 M1 測量后 執(zhí)行 A O B狀態(tài)的投影測量 以評估由 M1 引起的對干擾 線圈 DC 4 通過繞x軸旋轉(zhuǎn) 2 把自 旋的y分量變?yōu)閦 方向 分析儀 2 執(zhí)行B的第二次投影測量 這里忽略了朝著y方向的額 外自旋旋轉(zhuǎn) 因?yàn)橹笾挥?自旋失靈的 強(qiáng)度測量 通過由儀器 M1 所造成的干擾 直到 M2 測量對于 M1 的入射狀態(tài)被輸出算符所描述 并且因此 我們從儀器 M2 得到了 13 中 的平均值 請注意 儀器 M2 進(jìn)行的測量是剛好在 M1 測量進(jìn)行后 無誤差的 B O B O B狀態(tài)測量 1 Wheeler J A Zurek W H eds Qunatum Theory and Measurement Princeton Univ Press 1983 2 Haroche S Raimond J M Exploring the Quantum Oxford Univ Press 2006 3 Heisenberg W Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik Z Phys 43 172 198 1927 4 Kennard E H Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen Z Phys 44 326 352 1927 5 Robertson H P The uncertainty principle Phys Rev 34 163 164 1929 6 Ballentine L E Quantum mechanics A Modern Development World Scientific 1998 7 Arthurs E Goodman M S Quantum correlations a generalized Heisenberg uncertainty relation Phys Rev Lett 60 2447 2449 1988 8 Ishikawa S Uncertainty relations in simultaneous measurements for arbitrary observables Rep Math Phys 29 257 273 1991 9 Ozawa M Quantum limits 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