【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（山東專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章解析幾何9.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教學(xué)案 理 新人教A版.doc

9.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考綱要求1了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用2理解數(shù)形結(jié)合思想1直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程ax2bxc0.若圓錐曲線是雙曲線或是拋物線，當(dāng)a0時(shí)，表示直線與雙曲線的漸近線或拋物線的軸平行；當(dāng)a0時(shí)，記該一元二次方程根的判別式為，若0，則直線與圓錐曲線_；若0，則直線與圓錐曲線_；若0，則直線與圓錐曲線_(2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題若直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)m(x1，y1)，n(x2，y2)，可結(jié)合韋達(dá)定理，代入弦長(zhǎng)公式|mn|_或|mn|_求距離若涉及直線過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦問(wèn)題，一般利用圓錐曲線的定義去解決1過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()a1條 b2條c3條 d4條2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()a2 b3 c d3已知拋物線y22px(p0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()ax1 bx1cx2 dx24已知f為拋物線y28x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f且斜率為1的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，則|fa|fb|的值為()a4 b8 c8 d165已知斜率為1的直線過(guò)橢圓y21的右焦點(diǎn)交橢圓于a，b兩點(diǎn)，則弦ab的長(zhǎng)為_(kāi)一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例11】求證：不論m取何值，直線l：mxym10與橢圓1總有交點(diǎn)【例12】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o的橢圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,3)，且點(diǎn)f(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)是否存在平行于oa的直線l，使得直線l與橢圓c有公共點(diǎn)，且直線oa與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由方法提煉求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)時(shí)，注意用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決在解題時(shí)，應(yīng)注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0的兩種情況請(qǐng)做演練鞏固提升1二、直線與圓錐曲線的相交弦問(wèn)題【例2】過(guò)點(diǎn)p(8,1)的直線與雙曲線y21相交于a，b兩點(diǎn)，且p是線段ab的中點(diǎn)，求直線ab的方程方法提煉1當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，涉及的問(wèn)題有弦長(zhǎng)問(wèn)題、弦的中點(diǎn)等問(wèn)題，解決辦法是把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題2要靈活應(yīng)用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)差法請(qǐng)做演練鞏固提升2三、最值與定值問(wèn)題【例31】已知橢圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)a，兩個(gè)焦點(diǎn)為(1,0)，(1,0)(1)求橢圓c的方程；(2)e，f是橢圓c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個(gè)定值【例32】(2012浙江高考)如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p到拋物線c：y22px(p0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)m(t,1)是c上的定點(diǎn)，a，b是c上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段ab被直線om平分(1)求p，t的值；(2)求abp面積的最大值方法提煉圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法(1)圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致可分為兩類(lèi)：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題(2)求最值常見(jiàn)的解法有兩種：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值提醒：求最值問(wèn)題時(shí)，一定要注意特殊情況的討論，如直線斜率不存在的情況，二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等請(qǐng)做演練鞏固提升3巧用韋達(dá)定理解圓錐曲線問(wèn)題【典例】(12分)(2012重慶高考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)o，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為a，左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，線段of1，of2的中點(diǎn)分別為b1，b2，且ab1b2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)b1作直線交橢圓于p，q兩點(diǎn)，使pb2qb2，求pb2q的面積規(guī)范解答：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，右焦點(diǎn)為f2(c,0)因ab1b2是直角三角形且|ab1|ab2|，故b1ab2為直角，從而|oa|ob2|，即b.(2分)結(jié)合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.(3分)在rtab1b2中，oab1b2，故|b1b2|oa|ob2|oa|bb2，由題設(shè)條4得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(5分)(2)由(1)知b1(2,0)，b2(2,0)由題意，直線pq的傾斜角不為0，故可設(shè)直線pq的方程為xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.(*)(7分)設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616.(9分)由pb2qb2，知0，即16m2640，解得m2.(10分)當(dāng)m2時(shí)，方程(*)化為9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，pb2q的面積s|b1b2|y1y2|.當(dāng)m2時(shí)，同理可得(或由對(duì)稱性可得)pb2q的面積s.綜上所述，pb2q的面積為.(12分)答題指導(dǎo)：解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：1快速尋求出a，b，c，確定圓錐曲線方程；2充分利用韋達(dá)定理進(jìn)行巧妙處理；3涉及平面向量運(yùn)算時(shí)，一定要注意平面幾何性質(zhì)的運(yùn)用，例如垂直、中點(diǎn)等1(2012遼寧高考)已知p，q為拋物線x22y上兩點(diǎn)，點(diǎn)p，q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)p，q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)a，則點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為()a1 b3c4 d82已知f1，f2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)f1作垂直于x軸的直線交雙曲線于a，b兩點(diǎn)，若abf2為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是()a(1,1)b(1，)c(1，1)d(，1)3橢圓1(ab0)與直線xy10相交于p，q兩點(diǎn)，且opoq(o為原點(diǎn))(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍4(2012遼寧高考)如圖，動(dòng)圓c1：x2y2t2,1t3，與橢圓c2：y21相交于a，b，c，d四點(diǎn)，點(diǎn)a1，a2分別為c2的左，右頂點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形abcd的面積取得最大值？并求出其最大面積；(2)求直線aa1與直線a2b交點(diǎn)m的軌跡方程參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1相交相切相離2基礎(chǔ)自測(cè)1c解析：與拋物線相切有2條，與對(duì)稱軸平行有1條，共3條2a解析：由拋物線y24x知直線l2為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為f(1,0)由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)p到直線l2的距離與p到焦點(diǎn)f(1,0)的距離相等，所以p到直線l1的距離與p到焦點(diǎn)f(1,0)的距離之和的最小值為焦點(diǎn)f(1,0)到直線l1的距離(如圖)，則d2.3b解析：過(guò)焦點(diǎn)f且斜率為1的直線方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立可得y22pyp20，所以y1y22p4.所以p2，故準(zhǔn)線方程為x1.4c解析：依題意知f(2,0)，所以直線的方程為yx2.聯(lián)立方程，得消去y，得x212x40.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x24，x1x212，則|af|bf|(x12)(x22)|x1x2|8.5解析：右焦點(diǎn)(，0)，直線ab的方程為yx，由得5x28x80.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|ab|.考點(diǎn)探究突破【例11】證法一：由消去y得1.整理，得(16m29)x232m(m1)x16m232m1280.(*)322m2(m1)24(16m29)(16m232m128)576(15m22m8)5760，方程(*)恒有實(shí)根原方程組恒有解故直線l與橢圓總有交點(diǎn)證法二：直線l的方程可化為m(x1)(y1)0，故直線l恒過(guò)x10和y10的交點(diǎn)a(1,1)又點(diǎn)a在橢圓1內(nèi)部，直線l與橢圓總有交點(diǎn)【例12】解法一：(1)依題意，可設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，且可知左焦點(diǎn)為f(2,0)，從而有解得又a2b2c2，所以b212.故橢圓c的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為yxt.由得3x23txt2120.因?yàn)橹本€l與橢圓c有公共點(diǎn)，所以(3t)243(t212)0.解得4t4.另一方面，由直線oa與l的距離d4可得4，從而t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在解法二：(1)依題意，可設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)從而a216.所以橢圓c的方程為1.(2)同解法一【例2】解：設(shè)點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x124y124，x224y224.，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.p是線段ab的中點(diǎn)，x1x216，y1y22.2.直線ab的斜率為2.直線ab的方程為2xy150.【例31】解：(1)由題意，c1，可設(shè)橢圓方程為1.因?yàn)閍在橢圓上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以橢圓方程為1.(2)設(shè)直線ae的方程為yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x42120.設(shè)e(xe，ye)，f(xf，yf)，因?yàn)辄c(diǎn)a在橢圓上，所以xe，yekxek.又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以k代替k，可得xf，yfkxfk.所以直線ef的斜率kef，即直線ef的斜率為定值，其值為.【例32】解：(1)由題意知得(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，線段ab的中點(diǎn)為q(m，m)由題意知，設(shè)直線ab的斜率為k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1.所以直線ab方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.從而|ab|y1y2|.設(shè)點(diǎn)p到直線ab的距離為d，則d.設(shè)abp的面積為s，則s|ab|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，則su(12u2)設(shè)s(u)u(12u2),0u，則s(u)16u2.由s(u)0，得u，所以s(u)maxs.故abp面積的最大值為.演練鞏固提升1c解析：如圖所示，由已知可設(shè)p(4，y1)，q(2，y2)，點(diǎn)p，q在拋物線x22y上，p(4,8)，q(2,2)又拋物線可化為yx2，yx，過(guò)點(diǎn)p的切線斜率為y4，過(guò)點(diǎn)p的切線為y84(x4)，即y4x8.又過(guò)點(diǎn)q的切線斜率為y2，過(guò)點(diǎn)q的切線為y22(x2)，即y2x2.聯(lián)立解得x1，y4，點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為4.2a解析：由abf2為銳角三角形得，tan1，即b22ac，c2a22ac.e22e10，解得1e1，又e1，1e1.3(1)證明：由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.有兩個(gè)交點(diǎn)，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩實(shí)根x1x2，x1x2.由opoq，得x1x2y1y20.又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式，化簡(jiǎn)得a2b22a2b2.2.等于定值(2)解：e，b2a2c2a2(1e2)a2b22a2b2，a2.e，e2.a