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高頻考點(diǎn)分析基本不等式的應(yīng)用典型例題: 例1. (2012年天津市理5分)設(shè),若直線與圓相切,則的取值范圍是【 】(a) ()()()【答案】d。【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,重要不等式,一元二次不等式的解法【分析】直線與圓相切,圓心到直線的距離為,。又,即。設(shè),則,解得。故選d。例2. (2012年浙江省文5分)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則的最小值是【 】a. b. c.5 d.6【答案】c?!究键c(diǎn)】基本不等式或配方法的應(yīng)用?!窘馕觥縳+3y=5xy,。 。(或由基本不等式得) 5,即的最小值是5。故選c。例3. (2012年湖北省理5分)設(shè)是正數(shù),且,則【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考點(diǎn)】柯西不等式不等式的應(yīng)用,待定系數(shù)法的應(yīng)用?!窘馕觥坑煽挛鞑坏仁街?,而此時(shí)恰好滿足取等條件。令,則。代入到中得,再將代入得。,。故選c。例4. (2012年福建省理5分)下列不等式一定成立的是【 】alglgx(x0)bsinx2(xk,k)cx212|x|(x)d.1(x)【答案】c。【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用?!窘馕觥繉?duì)于a,當(dāng)x時(shí),lglgx,所以a不一定成立;對(duì)于b,當(dāng)sinx0時(shí),不等式才成立,所以b不一定成立;對(duì)于c,命題顯然正確;對(duì)于d,x211,01,所以d不成立.故選c。例5. (2012年陜西省文5分)小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為和(),其全程的平均時(shí)速為,則【 】a. b. = c. d. =【答案】a?!究键c(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用?!窘馕觥吭O(shè)從甲地到乙地的路程為,則。 又,。 。故選a。例6. (2012年福建省理7分)已知函數(shù)f(x)m|x2|,mr,且f(x2)0的解集為1,1()求m的值;()若a,b,cr,且m,求證:a2b3c9.【答案】解:()因?yàn)閒(x2)m|x|,f(x2)0等價(jià)于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集為x|mxm。又f(x2)0的解集為1,1,故m1。()由(1)知1,又a,b,cr,由柯西不等式得, 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立。所以a2b3c9。【考點(diǎn)】帶絕對(duì)值的函數(shù),不等式的證明?!窘馕觥浚ǎ┯蓷l件可得f(x2)m|x|,f(x2)0,故有|x|m的解集為-1,1,故m=1。()由()得1,從而 ,展開后可得,利用基本不等式證明它大于或等于9。例7. (2012年湖北省文5分)設(shè) r,則 “”是“”的【】a.充分條件但不是必要條件b.必要條件但不是充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要的條件【答案】a。【考點(diǎn)】充分、必要條件的判定,基本不等式的應(yīng)用。【解析】當(dāng)時(shí),而(當(dāng)且僅當(dāng),且,即時(shí)等號(hào)成立),。當(dāng)取,顯然有,但。由不可以推得。綜上,是的充分不必要條件。故選a。例8. (2012年四川省理4分)記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如,。設(shè)為正整數(shù),數(shù)列滿足,現(xiàn)有下列命題:當(dāng)時(shí),數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2;對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)總有;當(dāng)時(shí),;對(duì)某個(gè)正整數(shù),若,則。其中的真命題有 _。(寫出所有真命題的編號(hào))【答案】。【考點(diǎn)】真命題的判定,對(duì)高斯函數(shù)的理解,數(shù)列的性質(zhì),特殊值法的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用?!窘馕觥繉?duì)于,若,根據(jù) 當(dāng)n=1時(shí),x2=3, 同理x3=。 故正確。對(duì)于,可以采用特殊值列舉法:當(dāng)a=3時(shí),x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2,1,2,1,不成立。故錯(cuò)誤。對(duì)于,由的定義知,而為正整數(shù),故,且是整數(shù)。對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)、,當(dāng)為偶數(shù)時(shí);當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不論是偶數(shù)還是奇數(shù),有。和都是整數(shù),。又當(dāng)時(shí),成立。當(dāng)時(shí),。故正確。對(duì)于,當(dāng)時(shí), ,即。,即,解得。由,。故正確。綜上所述,真命題有 。例9. (2012年遼寧省理12分)設(shè),曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切。 ()求的值。 ()證明:當(dāng)時(shí),?!敬鸢浮拷猓海╥)過(guò)(0,0),=0。=1。曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切,。=0。(ii)證明:由(i)知。由均值不等式,當(dāng)0時(shí),。令。則。 令。則當(dāng)時(shí),。 在(0,2)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又,在(0,2)內(nèi),。在(0,2)內(nèi),。在(0,2)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又,在(0,2)內(nèi),。當(dāng)時(shí),?!究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性與最值中的運(yùn)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程?!窘馕觥浚╥)由過(guò)(0,0),可求b的值,根據(jù)曲線與直線在(0,0)點(diǎn)相切,利用導(dǎo)函
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