【備戰(zhàn)】高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)歸類分析 邏輯推理（真題為例）.doc

邏輯推理典型例題： 例1. （2012年全國大綱卷理5分）正方形的邊長為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【 】a16 b14 c12 d10【答案】a?！究键c(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)?！窘馕觥拷Y(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可。 也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖， 為便是于計(jì)算，將正方形的邊長擴(kuò)大7倍，這樣邊長為7，。 這些三角形相似的兩邊長之比。 ；。 經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對稱性，再經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共14次碰撞。故選a。例2. （2012年全國大綱卷文5分）正方形的邊長為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【 】a 8 b 6 c 4 d 3【答案】b?！究键c(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)?！窘馕觥拷Y(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞6次即可。 也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖， 為便是于計(jì)算，將正方形的邊長擴(kuò)大3倍，這樣邊長為7，。 這些三角形相似的兩邊長之比。 ； 經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對稱性，再經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共6次碰撞。故選b。例3. （2012年江西省理5分）觀察下列各式：則【 】a28 b76 c123 d199【答案】c?！究键c(diǎn)】歸納推理的思想方法。【解析】觀察各等式的右邊,它們分別為1，3，4，7，11，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)就是它的前兩項(xiàng)之和，故等式的右邊依次為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,，故。故選c。例4. （2012年福建省文5分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos，其前n項(xiàng)和為sn，則s2 012等于【 】a1006 b2012 c503 d0【答案】a。【考點(diǎn)】規(guī)律探索題?！窘馕觥繉ふ乙?guī)律：a11cos0，a22cos2，a33cos0，a44cos24；a55cos0，a66cos36，a77cos0，a88cos8；該數(shù)列每四項(xiàng)的和。20124=503，s2 01225031006。故選a。例5. （2012年北京市理5分）已知，若同時(shí)滿足條件：，則m的取值范圍是 【答案】。【考點(diǎn)】簡易邏輯，函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻谩?條件，當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，不能做到在時(shí)，所以舍去。 作為二次函數(shù)開口只能向下，且此時(shí)兩個(gè)根為。 為保證條件成立，必須。 又由條件的限制，可分析得出時(shí)，恒負(fù)。 就需要在這個(gè)范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即4應(yīng)該比兩根中小的那個(gè)大。 由得， 當(dāng)時(shí)，解得交集為空集，舍去。 當(dāng)時(shí)，兩根同為24，舍去。當(dāng)時(shí)，。綜上所述，。例6. （2012年湖北省文5分）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3， 6,10，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測：（）是數(shù)列中的第項(xiàng)；（） =。（用表示）【答案】（）5030；（）?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律。【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式為，寫出其若干項(xiàng)有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110。故。從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數(shù)），。故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng)。例7. （2012年湖南省理5分）設(shè)n=2n（nn*，n2），將n個(gè)數(shù)x1,x2,，xn依次放入編號(hào)為1,2，n的n個(gè)位置，得到排列p0=x1x2xn.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn，將此操作稱為c變換，將p1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對每段作c變換，得到；當(dāng)2in-2時(shí)，將pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對每段c變換，得到pi+1，例如，當(dāng)n=8時(shí)，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于p2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)n=16時(shí)，x7位于p2中的第 個(gè)位置；（2）當(dāng)n=2n（n8）時(shí)，x173位于p4中的第 個(gè)位置.【答案】（1）6；（2）?！究键c(diǎn)】演繹推理的基本方法，進(jìn)行簡單的演繹推理?！窘馕觥浚?）當(dāng)n=16時(shí), ,可設(shè)為,即為,即, x7位于p2中的第6個(gè)位置。（2）考察c變換的定義及（1）計(jì)算可發(fā)現(xiàn)：第一次c變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號(hào)組成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以2為首項(xiàng)；第二次c變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以為4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以3為首項(xiàng)，第三段序號(hào)以2為首項(xiàng)，第四段序號(hào)以4為首項(xiàng)；依此類推可得出p4中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號(hào)分別為1，9，5，13，由于173=1610+13，故x173位于以13為首項(xiàng)的那一段的第11個(gè)數(shù)，由于n=2n（n8）故每段的數(shù)字有2n-4個(gè)，以13為首項(xiàng)的是第四段，故x173位于第個(gè)位置。例8. （2012年福建省理4分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為sn，則s2 012 .【答案】3018?！究键c(diǎn)】規(guī)律探索題。【解析】尋找規(guī)律：a11cos11，a22cos11，a33cos11，a44cos215；a55cos11，a66cos315，a77cos11，a88cos19；該數(shù)列每四項(xiàng)的和。20124=503，s2 01265033018。例9. （2012年福建省文4分）某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小，例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為 【答案】16?！究键c(diǎn)】最優(yōu)設(shè)計(jì)方案?！窘馕觥扛鶕?jù)題意先選擇中間最優(yōu)線路，中間有三條，分別是afgd，efb，egc，費(fèi)用最低的是afgd為3126；再選擇afgd線路到點(diǎn)e的最低費(fèi)用線路是：ae費(fèi)用為2；再選擇afgd到cb的最低費(fèi)用，則選擇：gcb，費(fèi)用最低為358，所以鋪設(shè)道路的最小費(fèi)用為：62816。例10. （2012年陜西省理5分） 觀察下列不等式，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 .【答案】?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑深}設(shè)中所給的三個(gè)不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續(xù)正整數(shù)平方的倒數(shù)和，最后一個(gè)數(shù)的分母是不等式序號(hào)n+1的平方；右邊分式中的分子與不等式序號(hào)n的關(guān)系是2n+1，分母是不等式的序號(hào)n+1，得出第n個(gè)不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五個(gè)不等式，即。例11. （2012年北京市文13分）設(shè)a是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)p：a，b，c，d，e，f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0。記ri（a）為a的第i行各數(shù)之和（i=1,2），c j（a）為a的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（a）為|r1(a)|, |r2(a)|, |c1(a)|，|c2(a)|，|c3(a)|中的最小值。（1）對如下數(shù)表a，求k（a）的值110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表a形如1112ddd1其中1d0.求k（a）的最大值；（3）對所有滿足性質(zhì)p的2行3列的數(shù)表a ，求k(a)的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知， 。（2）1d0，。當(dāng)d=0時(shí)，k（a）取得最大值1。（3）任給滿足性質(zhì)p的數(shù)表a（如下所示）abcdef任意改變a三維行次序或列次序，或把a(bǔ)中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表a*仍滿足性質(zhì)p，并且k（a）=k（a*）因此，不防設(shè)r1（a）0，c1（a）0，c2（a）0，由k（a）的定義知，k（a）r1（a），k（a）c1（a），k（a）c2（a），k（a）1由（2）可知，存在滿足性質(zhì)p的數(shù)表a使k（a）=1，故k（a）的最大值為1?！究键c(diǎn)】邏輯推理?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（a）為a的第i行各數(shù)之和（i=1，2），c j（a）為a的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（a）|，|r2（a）|，|c1（a）|，|c2（a）|，|c3（a）|中的最小值可即為所求。（2）k（a）的定義可求出k（a）=1+d，然后根據(jù)d的取值范圍可求出所求。（3）任意改變a三維行次序或列次序，或把a(bǔ)中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表a*仍滿足性質(zhì)p，并且k（a）=k（a*）。因此，不防設(shè)r1（a）0，c1（a）0，c2（a）0，然后利用不等式的性質(zhì)可知3k（a）r1（a）+c1（a）+c2（a），從而求出k（a）的最大值。例12. （2012年上海市理18分）對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱x具有性質(zhì)p. 例如具有性質(zhì)p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性質(zhì)p，求證：1x，且當(dāng)n1時(shí)，1=1；（6分） （3）若x具有性質(zhì)p，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則y中與垂直的元素必有形式。 ，從而=4。 （2）證明：取，設(shè)滿足。 由得，、異號(hào)。 1是x中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為1，另一為1。故1x。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為1。若=1，則，矛盾；若=1，則，矛盾.=1。 （3）猜測，i=1, 2, , 。 記，=2, 3, , 。 先證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p。 任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)1時(shí)，顯然有滿足。 當(dāng)且時(shí)，、1。 具有性質(zhì)p，有，、，使得。從而和中有一個(gè)是1，不妨設(shè)=1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾。，從而也具有性質(zhì)p?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, , 。當(dāng)=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。 假設(shè)時(shí)，有性質(zhì)p，則，i=1, 2, , ； 則當(dāng)時(shí)，若有性質(zhì)p，則 也有性質(zhì)p，所以。 取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個(gè)為1。 若，則，所以，這不可能； ，又，所以。 綜上所述，i=1, 2, , 。 【考點(diǎn)】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)直接求解。（2）用反證法給予證明。 （3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測，i=1, 2, , 。例13. （2012年北京市理13分）設(shè)a是由mn個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對于as(m，n)，記ri(a)為a的第行各數(shù)之和（1m），cj(a)為a的第j列各數(shù)之和（1jn）；記k(a)為r1(a),r2(a),rm(a),c1(a),c2(a),cn(a)中的最小值。（1）對如下數(shù)表a，求的值；110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表as（2,3）形如11cab1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對于所有的as（2，2t+1），求的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知， 。（2）先用反證法證明：若，則，（無解）。同理可知。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，解得，與題設(shè)矛盾。易知當(dāng)時(shí)，存在。的最大值為1。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個(gè)數(shù)表as（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個(gè)絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)，則。另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)?？紤]的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對值不超過1（即每個(gè)正數(shù)均不超過1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為?！究键c(diǎn)】邏輯推理，反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（a）為a的第i行各數(shù)之和（i=1，2），c j（a）為a的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（a）|，|r2（a）|，|c1（a）|，|c2（a）|，|c3（a）|中的最小值可即為所求。 （2）用反證法證明。 （3）先構(gòu)造滿足的，用反證法證明是最大值。例14. （2012年湖北省理14分）（）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且.求的最小值；（ii）試用（1）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)為正有理數(shù)，若，則；（iii）請將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題。注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式【答案】解：（），令，解得。當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，所以在內(nèi)是增函數(shù)。函數(shù)在處取得最小值。 （）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即 。若，中有一個(gè)為