4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).ppt

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 四 王柱2013 03 11 2 樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)E 必然事件 基本事件 不可能事件 包含關(guān)系 相等關(guān)系 隨機(jī)事件A A 第一章概率論的基本概念 相交關(guān)系 互斥關(guān)系 對(duì)立關(guān)系 并 和 事件 交 積 事件 補(bǔ) 對(duì)立 事件 差事件 3 運(yùn)算原理 交換結(jié)合分配對(duì)偶 4 1 P A 0 非負(fù)性 2 P 1 完全性 3 可列可加性 稱為概率空間 是指 在隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間 上 對(duì)每個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù) 記為P A 稱為事件A的概率 如果這個(gè)集合函數(shù)P 滿足下列條件 即可列個(gè)Ai i 1 2 則有 概率的定義 A P 5 有性質(zhì) 1 P 0 2 有窮可加 3 P A 1 4 5 6 加法公式 也可寫成 6 S A P 為概率空間 A B為兩個(gè)事件 且P A 0 則稱P B A P AB P A 為 在事件A發(fā)生的條件下 事件B發(fā)生的條件概率 條件概率定義 乘法定理 設(shè)P AB 0 則有P ABC P C AB P B A P A 設(shè)P A1 A n 1 0 則有P A1 An P An A1 A n 1 P A n 1 A1 A n 2 P A2 A1 P A1 設(shè)P A 0 則有P AB P B A P A 又設(shè)P B 0 還有P AB P A B P B 7 定義 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為 B1 B2 Bn為E的一組事件 若 1 兩兩不相容且 2 它們的和集為 則稱B1 B2 Bn為 的一個(gè)劃分 也叫完備事件組 定理 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為 B1 B2 Bn為 的一個(gè)劃分 且P Bi 0 i 1 n A為E的一個(gè)事件 則P A P A B1 P B1 P A Bn P Bn 稱為全概率公式 8 定理 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為 A P A A為E的一個(gè)事件 P A 0 B1 B2 Bn為S的一個(gè)劃分 且P Bi 0 i 1 n 則P Bi A P A Bi P Bi P A P A Bi P Bi P A B1 P B1 P A Bn P Bn 稱為貝葉斯公式 9 例04 1八支槍中 有三支未經(jīng)試射校正 五支已經(jīng)試射校正 校正過的槍射擊時(shí) 中靶的概率為0 8 未校正的槍射擊時(shí) 中靶的概率為0 3 今從8支槍中任取一支射擊中靶 問所用這槍是校正過的概率是多少 解設(shè)事件B 射擊中靶 A1 任取一槍是校正過的 A2 任取一槍是未校正過的 則故所求概率為 10 獨(dú)立性 定義 A B為兩事件 如果等式P AB P A P B 成立 則稱 A B為互相獨(dú)立 的事件 可以證明 A與B互相獨(dú)立 則Ac與B A與Bc Ac與Bc互相獨(dú)立 定理 A B為兩事件 且P A 0 則 A與B相互獨(dú)立 與 P B A P B 等價(jià) 11 一般 A1 A2 An為E的一組n個(gè)事件 相似的可定義 兩兩 三三 及 n個(gè)相互獨(dú)立 定義 A B C為三個(gè)事件 如果三個(gè)等式P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 成立 則稱A B C為 兩兩獨(dú)立 的事件 若再加一個(gè)等式P ABC P A P B P C 成立 則稱 A B C為互相獨(dú)立 的事件 12 例04 2若生產(chǎn)某產(chǎn)品經(jīng)過5道工序 每道工序的不合格率分別為0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 假定工序之間是相互獨(dú)立的 求該產(chǎn)品的合格率和不合格率 解設(shè) 第i道工序生產(chǎn)合格 則 13 例04 3設(shè)某科學(xué)工作者每次試驗(yàn)成功的概率是0 01 試問他要做多少次試驗(yàn)才能十拿九穩(wěn)的做到試驗(yàn)成功 假定試驗(yàn)與試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的 解設(shè)某科學(xué)工作者要做N次試驗(yàn)才能十拿九穩(wěn)的使試驗(yàn)成功 又設(shè)F 某科學(xué)工作者一次試驗(yàn)失敗 C 某科學(xué)工作者N次試驗(yàn)失敗 由題設(shè)知 14 例04 4 如下之 并 聯(lián)起 串連電路 并串圖 設(shè)繼電器閉合與否相互獨(dú)立 每個(gè)繼電器閉合的概率為p 求L至R為通路的概率 1 2 3 4 L R 注意 A A1A2 A3A4P A P A1A2 P A3A4 P A1A2A3A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 p2 p2 p4 2p2 p4 15 再看 串 連起 并聯(lián)電路 串并圖 由于 A A1 A3 A2 A4 A1cA3c A2cA4c c 1 2 3 4 L R 設(shè)繼電器閉合與否相互獨(dú)立 每個(gè)繼電器閉合的概率為p 求L至R為通路的概率 P A 1 P Ac 1 P A1cA3c A2cA4c 1 1 p 2 1 p 2 1 p 4 1 2 1 p 2 1 p 4 16 獨(dú)立試驗(yàn)序列 假若一串試驗(yàn)具備下列三條 1 每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果 一個(gè)記為 成功 一個(gè)記為 失敗 2 成功的概率p在每次試驗(yàn)中保持不變 3 試驗(yàn)與試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的 則這一串試驗(yàn)稱為獨(dú)立試驗(yàn)序列 也稱為Bernoulli概型 17 在獨(dú)立試驗(yàn)序列中主要考察下面兩種事件的概率 1 n次試驗(yàn)中恰有k次 成功 的概率 2 第k次試驗(yàn)首次出現(xiàn) 成功 的概率 請(qǐng)讀者自行證明第1種事件的概率為 此被稱為二項(xiàng)分布 第2種事件的概率為 此被稱為幾何分布 18 例04 5 將一枚硬幣獨(dú)立的擲兩次 引進(jìn)事件 則 a 相互獨(dú)立 b 相互獨(dú)立 c 兩兩獨(dú)立 d 兩兩獨(dú)立 19 例04 6 設(shè)A B為隨機(jī)事件 且 則必有 A B C D 20 第二章隨機(jī)變量及其分布 2 1隨機(jī)變量 定義2 1 1 隨機(jī)試驗(yàn)E A P 為概率空間 對(duì)于每個(gè)e 都有一個(gè)實(shí)數(shù)X e 與之對(duì)應(yīng) 這樣就得到一個(gè)定義在 上的單值實(shí)函數(shù)X X e 如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x X x 表示 e X e x 都是屬于A中的事件 則稱X為隨機(jī)變量 21 顯然 定義域?yàn)?X e 所有可能取值的全體 稱為值域 R 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)集合L X L 表示事件 e X e L 又若 A P 為概率空間 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)集合L 令PX L P e X e L 則 R R PX 也為概率空間 在其上令X X x x 也是隨機(jī)變量 注意X與X 取值的概率情況相同 22 例04 7 E 接連拋三次硬幣 正面出現(xiàn)的次數(shù) HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT e1e2e3e4e5e6e7e8 X 32212110 0123 X 0123 PX 1 83 83 81 8 這樣就得到一個(gè)定義在 S上的單值實(shí)函數(shù)X X e 叫隨機(jī)變量 實(shí)數(shù)集合L 0 1 X L 表示事件 e X e L e4e6e7e8 23 隨機(jī)變量的特性 1 隨試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值 2 試驗(yàn)前 能知道它可能的取值范圍 卻不能預(yù)知它確切的取值 4 取值有一定的概率 3 定義域?yàn)闃颖究臻g 值域 R 注意 與普通函數(shù) 概率函數(shù)的區(qū)別 例 正面數(shù) 呼叫次數(shù) 壽命 24 再例 E5 紀(jì)錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù) E6 在一批燈泡中任意抽取一只 測(cè)試它的壽命 5 0 1 2 3 6 t t 0 X5 0 1 2 3 X6 t t 0 25 定義2 2 1 一個(gè)隨機(jī)變量 若它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限個(gè) 稱為離散 型 隨機(jī)變量 2 2離散隨機(jī)變量的概率分布 例 正面數(shù) 呼叫次數(shù) 是 壽命 不是 26 顯然 掌握一個(gè)離散隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 必需且只需知道 X的所有可能取的值 以及取每一個(gè)可能值的概率 設(shè) 離散隨機(jī)變量可能取的值為xk k 1 2 顯然 1 Pk 0 k 1 2 2 稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律 反之滿足這兩點(diǎn)的 pk 叫概率函數(shù) 它一定是某個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律 X取可能值的概率為pk P X xk k 1 2 27 寫為 注意 離散型的概率分布是屬于隨機(jī)變量的 概率空間上可以定義多個(gè)不同的隨機(jī)變量的分布 考慮 有4個(gè)信號(hào)燈 P為顯紅燈的概率 X首次停時(shí)已通過的路口數(shù) 01234pqpq2pq3pq4 28 0 0 1 分布 定義 隨機(jī)變量X只可能取0或1兩個(gè)值 它的分布律是P X k pkq 1 k k 0 1 0 p 1 稱此X為服從 0 1 分布 例如 性別 合格 扔幣 標(biāo)準(zhǔn) 29 1 貝努利試驗(yàn)的二項(xiàng)分布 將隨機(jī)試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次 若每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響 即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果 則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A和Ac P A p P Ac 1 p q 0 p 1 將該試驗(yàn)E獨(dú)立的重復(fù)進(jìn)行n次 則稱這串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利 Bernoulli 試驗(yàn) 簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn) 30 若 X為n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 則X為隨機(jī)變量 它所有可能取的值為0 1 2 n 取這些可能值的概率為pk P X k Cnkpkq n k k 0 1 2 n 這正好是 p q n的二項(xiàng)展開式中出現(xiàn)pk的項(xiàng) 故 稱此X為服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記為X B n p 31 例2 某電子元件壽命超過1500小時(shí)為一級(jí)品 已知某一大批元件的一級(jí)品率為0 2 從中隨機(jī)抽取20件 獨(dú)立 問20件元件中恰有k只 k 0 1 20 為一級(jí)品的概率 解 因?yàn)?一大批 可視為 放回抽樣 誤差不大 進(jìn)一步 可視為 20重貝努利試驗(yàn) 它所有可能取的值為0 1 2 20 取這些可能值的概率為pk P X k Cnk0 2k0 8 n k k 0 1 2 n 例04 8 32 2 幾何分布 若隨機(jī)變量X 它所有可能取的值為1 2 3 取這些可能值的概率為 則稱隨機(jī)變量X服從幾何分布 其實(shí) 在有放回抽樣時(shí) 每次取一個(gè)產(chǎn)品 觀察后即放回 再取下一個(gè) 設(shè)直至第一次出現(xiàn)不合格品所需抽樣產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X X所可能取的值為 表示前次抽取都抽到合格品 而在第次抽取才抽到不合格品 X是服從幾何分布的 前已證明 在獨(dú)立試驗(yàn)序列中 第k次試驗(yàn)首次出現(xiàn) 成功 的概率服從幾何分布 33 3 超幾何分布 設(shè)一堆同類產(chǎn)品共個(gè) 其中有個(gè)不合格品 現(xiàn)從中任取個(gè) 假定 則這個(gè)產(chǎn)品中所含的不合格品數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 的概率分布如下 這里 這個(gè)概率分布稱為超幾何分布 34 下面來討論超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系 我們來證明 若當(dāng)時(shí) 不變 則 35 證明思路 36 4 泊松分布 若 隨機(jī)變量X 它所有可能取的值為0 1 2 取這些可能值的概率為pk P X k ke k k 0 1 2 其中 0是常數(shù) 則稱X為服從參數(shù)為 的泊松分布 記為X 例 呼叫次數(shù) 印刷錯(cuò)誤 遺失信件 急診人數(shù) 交通事故數(shù) 粒子計(jì)數(shù) 37 例2 2 1放射性物質(zhì)在某一段時(shí)間內(nèi)放射的粒子數(shù)是服從泊松分布的 Rutherford和Geiger觀察了放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況 一共做了2608次觀察 每次觀察的時(shí)間是7 5秒 總共觀察到10094個(gè)粒子 如表所示 從表中 我們看到按算出的跟的頻率相當(dāng)接近 例04 9 38 放射的粒子數(shù)為何服從泊松分布 首先把體積為V的某放射性物質(zhì)設(shè)想分割為n份相同體積的小塊 并假定 1 對(duì)于每個(gè)特定的小塊而言 在7 5秒內(nèi)放出兩個(gè)以上粒子的概率為0 實(shí)際上 放射兩個(gè)以上的概率很小很小 可以忽略 而放出一個(gè)粒子的概率為 即只跟體積的大小成正比 而跟那一個(gè)小塊無關(guān) 比例系數(shù)為 39 2 各小塊是否放出粒子是相互獨(dú)立的 在這兩條假定下 7 5秒內(nèi)體積為V的某放射性物質(zhì)放出k個(gè)粒子 可近似地看作在V的n個(gè)獨(dú)立的小塊中 恰有k塊放出粒子 n k塊不放出粒子 于是 放出k個(gè)粒子的概率 就可按獨(dú)立試驗(yàn)序列來近似計(jì)算 然而 上式只是個(gè)近似式 容易理解 把V無限細(xì)分 就能得到的精確式 也就是說 下面 我們來求出這個(gè)極限值 記 則 40 泊松定理 0是一常數(shù) n是任意正整數(shù) 設(shè)npn 則對(duì)于任意固定的非負(fù)整數(shù)k 有 41 證明思路 對(duì)于固定的k 當(dāng)n 時(shí) 42 從而得到泊松定理 注意 定理的條件npn 意味著當(dāng)n很大時(shí)pn必定很小 因此 當(dāng)n很大 p很小時(shí) 右邊 為 左邊 的近似式 從以上的分析推導(dǎo)過程看出 某一具體問題 只要它符合類似于 1 2 的條件 那么就會(huì)出現(xiàn)服從泊松分布的隨機(jī)變量 因此 有很多具體問題 它們的性質(zhì)雖然各不相同 但它們的隨機(jī)變量都服從泊松分布 演示12 演示13 43 已知一電話總機(jī)每分鐘收到傳呼次數(shù)為一隨機(jī)變量 服從的泊松分布 求 1 每分鐘恰有8次傳呼的概率 2 每分鐘傳呼次數(shù)大于8的概率 解 例04 10 44 已知某自動(dòng)機(jī)床產(chǎn)品的次品率為0 001 從產(chǎn)品中任取5000個(gè) 求這5000個(gè)產(chǎn)品中次品超過5的概率 解 設(shè)5000個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)為 則 于是所求概率 如果直接按二項(xiàng)分布公式計(jì)算 計(jì)算量很大 由于很大 很小 這時(shí)不很大 可以利用泊松定理 可得 例04 11 45 例 某人進(jìn)行射擊 設(shè)每次射擊命中率為0 02 獨(dú)立射擊400次 求至少擊中兩次的概率 P X 1 1 P X 0 P X 1 1 0 98 400 400 0 02 0 98 399 np 8 P X 1 1 P X 0