第9講：數(shù)學(xué)解題方法之待定系數(shù)法探討.doc

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第9講：數(shù)學(xué)解題方法之待定系數(shù)法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室 編輯38講，我們對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，從本講開始我們對數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)問題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。在數(shù)學(xué)問題中，若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù)(或參數(shù))來表示這樣的結(jié)果，這些待確定的系數(shù)(或參數(shù))，稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑏泶_定這些系數(shù)，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一。它滲透于高中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)部分，在全國各地高考中有著廣泛應(yīng)用。應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項(xiàng)式的恒等知識為理論基礎(chǔ)，通常有三種方法：比較系數(shù)法；代入特殊值法；消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法通過比較等式兩端項(xiàng)的系數(shù)而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“設(shè)，的反函數(shù)，那么的值依次為”，解答此題，并不困難，只需先將化為反函數(shù)形式，與中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較后，就可得到關(guān)于的方程組，從而求得值。這里的就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法通過代入特殊值而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“與直線L：平行且過點(diǎn)A(1,-4)的直線L的方程是”，解答此題，只需設(shè)定直線L的方程為，將A(1,-4)代入即可得到k的值，從而求得直線L的方程。這里的k就是有待于確定的系數(shù)。消除待定系數(shù)法通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如：“已知，求的值”，解答此題，只需設(shè)定，則，代入即可求解。這里的k就是消除的待定參數(shù)。 應(yīng)用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問題的待定系數(shù)，建立條件與結(jié)果含有待定的系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。結(jié)合2012年全國各地高考的實(shí)例，我們從下面四方面探討待定系數(shù)法的應(yīng)用：（1）待定系數(shù)法在函數(shù)問題中的應(yīng)用；（2）待定系數(shù)法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用；（3）待定系數(shù)法在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用；（4）待定系數(shù)法在數(shù)列問題中的應(yīng)用。一、待定系數(shù)法在函數(shù)問題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年浙江省理4分）若將函數(shù)表示為，其中，為實(shí)數(shù)，則 【答案】10?！究键c(diǎn)】二項(xiàng)式定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥坑枚?xiàng)式定理，由等式兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得。或?qū)Φ仁剑簝蛇呥B續(xù)對x求導(dǎo)三次得：，再運(yùn)用特殊元素法，令得：，即。例2.（2012年山東省文4分）若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a . 【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的增減性?！窘馕觥浚?。當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是減函數(shù)，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是增函數(shù)，符合題意。綜上所述，滿足條件的。例3. （2012年江蘇省5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中若，則的值為 【答案】?！究键c(diǎn)】周期函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥渴嵌x在上且周期為2的函數(shù)，即。 又， 。 聯(lián)立，解得，。例4. （2012年全國大綱卷文12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值【答案】解：（1）， 當(dāng) 時(shí)，且僅當(dāng)時(shí)。是增函數(shù)。 當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)根。列表如下：的增減性0增函數(shù)減函數(shù)0增函數(shù) （2）由題設(shè)知，是的兩個(gè)根，且。 。 同理，。 直線的解析式為。 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，解得。 代入得 ， 在軸上， 解得，或或。【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出導(dǎo)函數(shù)，分區(qū)間討論即可。 （2）由，是的兩個(gè)根和（1）的結(jié)論，得，求出關(guān)于的表達(dá)式和關(guān)于的表達(dá)式，從而得到直線的解析式。求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，由其等于0，求出的值。例5. （2012年全國課標(biāo)卷文5分）設(shè)函數(shù)()求的單調(diào)區(qū)間()若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定義域?yàn)?，?若，則，在上單調(diào)遞增。 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 ()a=1，。 當(dāng)x0時(shí)，它等價(jià)于。 令，則。 由()知，函數(shù)在上單調(diào)遞增。 ，在上存在唯一的零點(diǎn)。 在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 在上的最小值為。 又，即，。 因此，即整數(shù)k的最大值為2?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】()分和討論的單調(diào)區(qū)間即可。 ()由于當(dāng)x0時(shí)，等價(jià)于，令，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)情況求出整數(shù)k的最大值。二、待定系數(shù)法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國課標(biāo)卷理5分）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為【 】 【答案】?！究键c(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥渴菣E圓的左、右焦點(diǎn)，。是底角為的等腰三角形，。為直線上一點(diǎn)，。又，即。故選。例2. （2012年全國課標(biāo)卷理5分）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為【 】 【答案】?！究键c(diǎn)】雙曲線和拋物線的性質(zhì)?！窘馕觥康臏?zhǔn)線。 與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)， ，。 設(shè)，則，得，。故選。例3. （2012年山東省理5分）已知橢圓C：的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓c的方程為【 】A B C D 【答案】D?！究键c(diǎn)】橢圓和雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用?！窘馕觥侩p曲線的漸近線方程為，代入可得。又根據(jù)橢圓對稱性質(zhì)，知所構(gòu)成的四邊形是正方形，即。又由橢圓的離心率為可得。聯(lián)立，解得。橢圓方程為。故選D。例4. （2012年湖南省理5分）已知雙曲線C ：的焦距為10 ，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為【 】A B. C. D. #ww.zz&【答案】A?！究键c(diǎn)】雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程。【解析】設(shè)雙曲線C ：的半焦距為，則。C 的漸近線為，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，即。又，C的方程為。故選A。例5. （2012年福建省理5分）已知雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于【 】A. B4 C3 D5【答案】A?！究键c(diǎn)】雙曲線和拋物線的性質(zhì)?！窘馕觥坑蓲佄锞€方程知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(3,0)， 雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合， 雙曲線的焦點(diǎn)為F(c,0)，且。 雙曲線的漸近線方程為：yx，雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離db。故選A。例6. （2012年浙江省理4分）定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離已知曲線：到直線：的距離等于曲線：到直線：的距離，則實(shí)數(shù) 【答案】?！究键c(diǎn)】新定義，點(diǎn)到直線的距離。【解析】由C2：x 2(y4) 2 2得圓心(0，4)，則圓心到直線l：yx的距離為：。由定義，曲線C2到直線l：yx的距離為。又由曲線C1：yx 2a，令，得：，則曲線C1：yx 2a到直線l：yx的距離的點(diǎn)為(，)。例7. （2012年重慶市理5分）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= .【答案】?！究键c(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)直線的方程為（由題意知直線的斜率存在且不為0），代入拋物線方程，整理得。設(shè)，則。又，。，解得。代入得。，。例8. （2012年陜西省理5分）下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.【答案】?！究键c(diǎn)】拋物線的應(yīng)用?！窘馕觥拷⑷鐖D所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，拋物線過點(diǎn)（2，2，）.代入得，即。拋物線方程為。當(dāng)時(shí)，水位下降1米后，水面寬米。例9. （2012年江蘇省5分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 【答案】?！究键c(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離?！窘馕觥繄AC的方程可化為：，圓C的圓心為，半徑為1。由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)；存在，使得成立，即。即為點(diǎn)到直線的距離，解得。的最大值是。例10. （2012年全國大綱卷理12分）已知拋物線與圓 有一個(gè)公共點(diǎn)，且在處兩曲線的切線為同一直線。（1）求；（2）設(shè)、是異于且與及都相切的兩條直線，、的交點(diǎn)為，求到的距離?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)，對求導(dǎo)得。直線的斜率，當(dāng)時(shí)，不合題意，。圓心為，的斜率，由知，即，解得。（2）設(shè)為上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為即。若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得，解得。拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其方程分別為 。得，將代入得，故。到直線的距離為?！究键c(diǎn)】拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離?！窘馕觥浚?）兩個(gè)二次曲線的交點(diǎn)問題，并且要研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來。首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出拋物線方程的導(dǎo)數(shù)，得到在切點(diǎn)處的斜率。求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直斜率的積為1列出方程而求出切點(diǎn)坐標(biāo)。最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離即圓的半徑。（2）求出三條切線方程，可由（1）求出。、的切線方程含有待定系數(shù)，求出它即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離。例11. （2012年上海市理16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線. （1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設(shè)斜率為1的直線交于P、Q兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動點(diǎn)，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）【答案】解：（1）雙曲線的左頂點(diǎn)，漸近線方程：. 過點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，即。 解方程組，得。 所求三角形的面積為。 （2）證明：設(shè)直線PQ的方程是 直線與已知圓相切， 故，即。 由，得。 設(shè)，則. 又，。OPOQ。 （3）當(dāng)直線ON垂直于軸時(shí)， |ON|=1，|O|=，則O到直線MN的距離為。 （此時(shí)，N在軸上，在軸上） 當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為（顯然），則由OMON，得直線OM的方程為。 由，得。同理。 設(shè)O到直線MN的距離為， ，即。 綜上所述，O到直線MN的距離是定值?！究键c(diǎn)】雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性，直線與雙曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì)?！窘馕觥浚?）求出過點(diǎn)A與一條漸近線平行的直線方程，再求出它與另一條漸近線即可求得三角形的面積。（2）由兩直線垂直的判定，只要證明表示這兩條直線的向量積為0即可，從而求出直線方程，進(jìn)一步求出表示這兩條直線的向量，求出它們的積即可。（3）分直線ON垂直于軸和直線ON不垂直于x軸兩種情況證明即可。例12. （2012年北京市理14分）已知曲線C：（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G。求證：A，G，N三點(diǎn)共線?！敬鸢浮浚?）原曲線方程可化為：。 曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓， ，是。 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，則m的取值范圍為。（2）證明：m=4，曲線c的方程為。 將已知直線代入橢圓方程化簡得：。由得，。由韋達(dá)定理得：。設(shè)。則MB的方程為，。 AN的方程為。欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證點(diǎn)G在直線AN上。將代入，得，即，即，即，等式恒成立。由于以上各步是可逆的，從而點(diǎn)在直線AN上。A，G，N三點(diǎn)共線?！究键c(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，韋達(dá)定理的應(yīng)用，求直線方程，三點(diǎn)共線的證明?！窘馕觥浚?）根據(jù)橢圓長軸大于短軸和長、短軸大于0得不等式組求解即得m的取值范圍。 （2）欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證點(diǎn)G在直線AN上。故需求出含待定系數(shù)的直線MB和AN的方程，點(diǎn)G的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理的應(yīng)用用逆推證明。也可通過證明直線MB和AN在時(shí)橫坐標(biāo)相等來證A，G，N三點(diǎn)共線或直線AN和AG斜率相等。還可用向量求解。例13. （2012年天津市理14分）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn). 【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】（）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若，證明直線的斜率滿足.【答案】解：（）設(shè)，；橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，,。直線與的斜率之積為，。代入并整理得。0，。橢圓的離心率為。（）證明：依題意，直線的方程為，設(shè)，。|，。代入得，3。直線的斜率滿足?！究键c(diǎn)】圓錐曲線的綜合，橢圓的簡單性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ┰O(shè)，則，利用直線與的斜率之積為，即可求得橢圓的離心率。（）依題意，直線的方程為，設(shè)，則，代入可得，利用，可求得 ，從而可求直線的斜率的范圍。例14. （2012年山東省理13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為。（）求拋物線C的方程；（）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)時(shí)，的最小值?！敬鸢浮拷猓海ǎ〧拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)F，設(shè)M，。由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得。拋物線C的方程為。（）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，而，即。由可得，則，即，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為。（）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M，。由可得。設(shè)，則。圓，圓心到直線l 的距離。，令。設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，?！究键c(diǎn)】拋物線和圓的性質(zhì)，切線斜率的應(yīng)用和意義，韋達(dá)定理的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)。【解析】（）由已知條件，根據(jù)拋物線和圓的性質(zhì)列式求解。 （）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，則由條件列式，并由切線斜率的應(yīng)用和意義求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。 （）應(yīng)用韋達(dá)定理、勾股定理，用表示出和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求解。例15. （2012年湖南省理13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在外，且對C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設(shè)為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=4上運(yùn)動時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】解：（）設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)，于是，所以，化簡得曲線的方程為。（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為。于是，整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根， 由得 設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 同理可得 由，三式得。當(dāng)P在直線上運(yùn)動時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400?！究键c(diǎn)】曲線與方程，直線與曲線的位置關(guān)系【解析】（）根據(jù)M到直線x=2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值用直接法求出曲線的方程。也可用定義法求出曲線的方程：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為。（）設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值。例16. （2012年遼寧省理12分） 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn)。 ()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動圓與相交于四點(diǎn)，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮拷猓海↖）設(shè)，直線A1A的方程為，直線A2B的方程為。由可得：。在橢圓上，。代入可得：，點(diǎn)M的軌跡方程為。 （II）證明：設(shè)，矩形與矩形的面積相等，。A，A均在橢圓上，。，。，。為定值?！究键c(diǎn)】圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用?！窘馕觥浚↖）設(shè)出線A1A的方程、直線A2B的方程，求得交點(diǎn)滿足的方程，利用A在橢圓上，化簡即可得到點(diǎn)M的軌跡方程。（II）根據(jù)矩形與矩形的面積相等，可得A，A坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用A，A均在橢圓上，即可證得 為定值。例17.（2012年陜西省理12分）已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率. 【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線的方程.【答案】解：（1）橢圓以的長軸為短軸，可設(shè)橢圓的方程為。橢圓的離心率為，橢圓與有相同的離心率，則。橢圓的方程為。（2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，由及（1）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)，不在軸上，可以設(shè)直線的方程為。將代入中，得，。將代入中，則，。由，得，即，解得。直線的方程為或。【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，向量相等的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！窘馕觥浚?）根據(jù)橢圓以的長軸為短軸，可設(shè)橢圓的方程為；由橢圓與有相同的離心率，可求得，從而得到橢圓的方程。 （2）由及（1）知，三點(diǎn)共線且點(diǎn)，不在軸上，可以設(shè)直線的方程為。將分別代入兩橢圓方程，求出和。由，得，從而求出，得到直線的方程。例18. （2012年江蘇省16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點(diǎn)在橢圓上知，。 同理。 由得， 。 是定值?！究键c(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式?！窘馕觥浚?）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。 （2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。三、待定系數(shù)法在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年湖南省文12分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】解：（）由題設(shè)圖像知，周期，。點(diǎn)在函數(shù)圖像上，。又，。，即。又點(diǎn)在函數(shù)圖像上，。函數(shù)的解析式為。（）。由得的單調(diào)遞增區(qū)間是?！究键c(diǎn)】三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)?！窘馕觥浚ǎ┙Y(jié)合圖形求得周期從而求得.再利用特殊點(diǎn)在圖像上求出，從而求出的解析式。 （）用（）的結(jié)論和三角恒等變換及的單調(diào)性求得。例2. （2012年重慶市文12分）設(shè)函數(shù)（其中 ）在處取得最大值2，其圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為。（I）求的解析式（5分）；（II）求函數(shù)的值域（7分）。【答案】解：（）函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，的周期為，即，解得。在處取得最大值2，=2。，即。又，。的解析式為。（）函數(shù)， 又，且， 的值域?yàn)?。【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，由的部分圖象確定其解析式。【分析】（）通過函數(shù)的周期求出，求出，利用函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)求出，推出的解析式。（）利用（）推出函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)用同角函數(shù)關(guān)系式、倍角函數(shù)關(guān)系式得到。通過，且，求出的值域。例3. （2012年陜西省文12分）函數(shù)（）的最大值為3， 其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（I）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)，則，求的值.【答案】解：（I）函數(shù)的最大值為3，即。函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，最小正周期為。函數(shù)的解析式為。（），即。，。，即。【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，三角函數(shù)的求值?！窘馕觥浚?）通過函數(shù)的最大值求出A，通過對稱軸求出周期，求出，得到函數(shù)的解析式。（）通過，求出，通過的范圍，求出的值。四、待定系數(shù)法在數(shù)列問題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年北京市理5分）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。若，則= ； 【答案】1；?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和已知，得 。 。例2. （2012年廣東省理5分）.已知遞增的等差數(shù)列滿足，則?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】等差數(shù)列。【解析】設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為（），由得， 解得，舍去負(fù)值，。例3. （2012年浙江省理4分）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，則 【答案】?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，待定系數(shù)法?！窘馕觥坑么ㄏ禂?shù)法將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用