如何設(shè)正交.doc

如何設(shè)計(jì)基本的正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，要得到理想的結(jié)果，并不需要進(jìn)行全面試驗(yàn)，即使因素個(gè)數(shù)、水平都不太多，也不必做全面試驗(yàn)尤其對(duì)那些試驗(yàn)費(fèi)用很高，或是具有破壞性的試驗(yàn)，更不要做全面試驗(yàn)我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù)。正交設(shè)計(jì)就是解決這個(gè)問(wèn)題的有效方法。正交設(shè)計(jì)的主要工具是正交表，用正交表安排試驗(yàn)是一種較好的方法，在實(shí)踐中已得到廣泛的應(yīng)用。1 正交表及其用法 正交表是一種特制的表格這里先介紹表的記號(hào)、特點(diǎn)及用法下面以L。(3)為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)正交表的格式如表1表1 正交表L9(34) 列號(hào) 1 2 3 4試驗(yàn)號(hào)1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1L9(34)是什么意思呢?字母L表示正交表；數(shù)字9表示這張表共有9行，說(shuō)明用這張表來(lái)安排試驗(yàn)要做9次試驗(yàn)；數(shù)字4表示這張表共有4列，說(shuō)明用這張表最多可安排4個(gè)因素；數(shù)字3表示在表中主體部分只出現(xiàn)1，2，3三個(gè)數(shù)字，它們分別代表因素的3個(gè)水平，說(shuō)明各因素都是3個(gè)水平的一般的正交表記為L(zhǎng)n(mk)，n是表的行數(shù)，也就是要安排的試驗(yàn)次數(shù)；k是表中列數(shù)，表示因素的個(gè)數(shù)；m是各因素的水平數(shù)。常見(jiàn)的正交表如下：（1）2水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。這幾張表中的數(shù)字2表示各因素都是2水平的；試驗(yàn)要做的次數(shù)分別為4，8，12，16；最多可安排的因素分別為3，7，11，15。（2）3水平的正交表L9(34)，L27(313)。這兩張表中的數(shù)字3表示各因素都是3水平的，要做的試驗(yàn)次數(shù)分別為9，27；最多可安排的因素分別為4，13。（3）4水平的正交表L14(45)。（4）5水平的正交表L25(56)。 正交表有下面兩條重要性質(zhì)： (1)每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，每列中不同的數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次； (2)在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，有序數(shù)對(duì)共有9個(gè)：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它們各出現(xiàn)一次。 由于正交表有這兩條性質(zhì)，用它來(lái)安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點(diǎn)。 下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。 例1 某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過(guò)試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案。經(jīng)初步分析，主要有3個(gè)因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如表2。問(wèn)對(duì)這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?表2 實(shí)驗(yàn)因素與水平 因素水平AB C焦比 風(fēng)壓/133Pa底焦高度/m 1 2 31:16 170 1.21:18 230 1.51:14 200 1.3解: 正交表L9(34) 列號(hào) A B C 試驗(yàn)號(hào)1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 2 1 2 5 2 2 3 6 2 3 1 7 3 1 3 8 3 2 1 9 3 3 2 這九個(gè)實(shí)驗(yàn)代表了全部27個(gè)實(shí)驗(yàn)。按照9個(gè)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表3。表3 按實(shí)驗(yàn)方案實(shí)驗(yàn)結(jié)果 試驗(yàn)編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9鐵水溫度/ 136513951385139013951380139013901410為了便于分析，將結(jié)果與正交表合編，以便利于計(jì)算。由于鐵水溫度數(shù)值較大，可把每一個(gè)鐵水溫度的值減去1350，得到9個(gè)較小的數(shù)，這樣使計(jì)算簡(jiǎn)單（表4）。表4 因素試驗(yàn)號(hào)A B C鐵水溫度/鐵水溫度值減去13501234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 2136513951385139013951380139013901410154535404530404060K1K2K3 95 95 85 115 130 145 140 125 120K1=K1/3K2=K2/3K3=K3/3 31.7 31.7 28.3 38.3 43.3 48.3 46.7 41.7 40.0極差 15.0 11.6 20.0優(yōu)方案 A3 B2 C2 表4中下面的8行是分析計(jì)算過(guò)程中需要分析的內(nèi)容。K1這一行的3個(gè)數(shù)，分別是因素A，B，C的第1水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和。比如對(duì)因素A(第1列)，它的第l水平安排在第1，2，3號(hào)試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，45，35，其和為95，記在K1這一行的第1列中。對(duì)于因素B(第2列)，它的第1水平安排在第1，4，7號(hào)試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，40，40，其和為95，記在K1這一行的第2列中。對(duì)于因素C(第3列)，它的第l水平安排在第1，6，8號(hào)試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，30，40，其和為85，記在K1這一行的第3列中。類似地，K2這一行的3個(gè)數(shù)，分別是因素A，B，C的第2水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和。K3這一行的3個(gè)數(shù)，分別是因素A，B，C的第3水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和K1，k2，k3這3行的3個(gè)數(shù)，分別是K1，K2，K3這3行中的3個(gè)數(shù)除以3所得的結(jié)果，也就是各水平所對(duì)應(yīng)的平均值.同一列中，K1，k2，k3這3個(gè)數(shù)中的最大者減去最小者所得的差叫做極差。一般地說(shuō)，各列的極差是不同的，這說(shuō)明各因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是不同的。極差越大，說(shuō)明這個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，則那個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響就最大，那個(gè)因素就是我們要考慮的主要因素。這里算出3列的極差分別為15.0，11.6，20.0，顯然第3列即因素C的極差20.0最大。這說(shuō)明因素C的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響最大，因此因素C是我們要考慮的主要因素。它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)平均值分別為28.3，48.3，40.O，第2水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值48.3最大，所以取它的第2水平最好。第1列即因素A的極差為15.0，僅次于因素C，它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為317，38.3，46.7，第3水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值46.7最大，所以取它的第3水平最好。第2列即因素B的極差為11.6，是3個(gè)因素中極差最小的，說(shuō)明它的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響最小，它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為31.7，43.3，41.7，第2水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值43.3最大，所以取它的第2水平最好。從以上分析可以得出結(jié)論：各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)是C(底焦高度)A(焦比)B(風(fēng)壓)；最好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2，即 C2：底焦高度，第2水平，1.5， A3：焦比，第3水平，1:14， B2：風(fēng)壓，第2水平，230。可以看出，這里分析出來(lái)的最好方案在已經(jīng)做過(guò)的9次試驗(yàn)中沒(méi)有出現(xiàn)，與它比較接近的是第9號(hào)試驗(yàn)在第9號(hào)試驗(yàn)中只有風(fēng)壓B不是處在最好水平，而且風(fēng)壓對(duì)鐵水溫度的影響是3個(gè)因素中最小的。從實(shí)際做出的結(jié)果看出，第9號(hào)試驗(yàn)中的鐵水溫度是1410，是9次試驗(yàn)中最高的，這也說(shuō)明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。為了最終確定上面找出的試驗(yàn)方案C2A3B2是否為最好方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第9號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果。若比第9號(hào)試驗(yàn)的效果好，就確定上述方案為最好方案，若不比第9號(hào)試驗(yàn)的效果好，可以取第9號(hào)試驗(yàn)為最好方案。如果出現(xiàn)后一種情況，說(shuō)明我們的理論分析與實(shí)踐有一些差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)?，F(xiàn)將利用正交表安排試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果的步驟歸納如下：(1)明確試驗(yàn)?zāi)康模_定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)。(2)根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平。要通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的具體分析選出主要因素，略去次要因素，這樣可使因素個(gè)數(shù)少些。如果對(duì)問(wèn)題不太了解，因素個(gè)數(shù)可適當(dāng)?shù)囟嗳∫恍?，?jīng)過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的初步分析，再選出主要因素。因素被確定后，隨之確定各因素的水平數(shù)。以上兩條主要靠實(shí)踐來(lái)決定，不是數(shù)學(xué)方法所能解決的。(3)選用合適的正交表，安排試驗(yàn)計(jì)劃。首先根據(jù)各因素的水平選擇相應(yīng)水平的正交表。同水平的正交表有好幾個(gè)，究竟選哪一個(gè)要看因素的個(gè)數(shù)。一般只要正交表中因素的個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既能保證達(dá)到試驗(yàn)?zāi)康?，又使試?yàn)的次數(shù)不至于太多，省工省時(shí)。(4)根據(jù)安排的計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)定各試驗(yàn)指標(biāo)。(5)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，得出合理的結(jié)論。上述方法一般稱為直觀分析法這種方法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算量不大，是一種很實(shí)用的分析方法。 最后再說(shuō)明一點(diǎn)，這種方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是惟一的。2 多指標(biāo)的分析方法在上節(jié)的問(wèn)題中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考察起來(lái)比較方便但在實(shí)際問(wèn)題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，可能有兩個(gè)、三個(gè)，甚至更多，這都是多指標(biāo)的問(wèn)題下面介紹兩種解決多指標(biāo)試驗(yàn)的方法：綜合平衡法和綜合評(píng)分法這兩種方法都能找出使每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的試驗(yàn)方案。2.1 綜合平衡法下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明這種方法例2 為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度”和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方中有3個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表2.1所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。解這是3因素3水平問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)選用正交表L9(34)來(lái)安排試驗(yàn)。把這里的3個(gè)因素依次放在L9(34)表的前3列(第4列不要)，把各列的水平和該列相應(yīng)因素的具體水平對(duì)應(yīng)起來(lái)，得出一張具體的試驗(yàn)方案表。按照這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)的結(jié)果，列在表2.2中，然后用直觀分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。表2.1 因素水平水分A（%） 粒度B（%） 堿度C（%）123 8 4 1.1 9 6 1.3 7 8 1.5表2.2 因素實(shí)驗(yàn)號(hào)1 2 3A B C各指標(biāo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果抗壓強(qiáng)度 （kg/個(gè)）落下強(qiáng)度（0.5m/次）裂紋度1234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 211.54.511.07.08.018.59.08.013.41.13.64.61.11.615.11.14.620.2344320321抗壓強(qiáng)度K1K2K327 27.5 3833.520.524.930.4 42.928k1k2k39.09.212.711.26.88.310.114.39.3極差2.2 7.5 4.4列 號(hào)優(yōu)方案A2B3C11A 2B 3C裂紋度K1K2K311 9 55 8 86 5 9落下強(qiáng)度K1K2K39.3 3.3 20.817.8 9.8 24.925.9 39.9 7.3k1k2k33.7 3.0 1.71.7 2.7 2.72.0 1.7 3.0k1k2k33.1 1.1 6.95.9 3.3 8.38.6 13.3 2.4極差2.0 1.3 1.3極差5.5 12.2 5.9優(yōu)方案A2B3C1優(yōu)方案A3 B3 C2圖 2.1 用和例1.1完全一樣的方法，對(duì)3個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)度和裂紋度都是A2B3C1；對(duì)落下強(qiáng)度是A3B3C3。這3個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案。如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢?這正是我們下面要解決的問(wèn)題。 為便于綜合分析，我們將各指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來(lái)，畫(huà)在圖2.1中(為了看得清楚，將各點(diǎn)用線段連起來(lái)，實(shí)際上并不是直線)。 把圖2.1和表2.2結(jié)合起來(lái)分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。 (1)粒度B對(duì)各指標(biāo)的影響從表2.2看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來(lái)講，粒度的極差都是最大的，也就是說(shuō)粒度是影響最大的因素，從圖2.1看出，顯然取8最好；對(duì)裂紋度來(lái)講，粒度的極差不是最大，即不是影響最大的因素，但也是取8最好?？傊瑢?duì)3個(gè)指標(biāo)來(lái)講，粒度都是取8最好。(2)堿度C對(duì)各指標(biāo)的影響從表2.2看出，對(duì)于3個(gè)指標(biāo)，堿度的極差都不是最大的，也就是說(shuō)，堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素。從圖2.1看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度和裂紋度來(lái)講，堿度取1.1最好，對(duì)落下強(qiáng)度來(lái)講，堿度取1.3最好，但取1.1也不是太差，對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，堿度取1.1為好。(3)水分A對(duì)各指標(biāo)的影響從表2.2看出，對(duì)裂紋度來(lái)講，水分的極差最大，即水分是影響最大的因素從圖2.1看出，水分取9最好，但對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來(lái)講，水分的極差都是最小的，即是影響最小的因素。從圖2.1看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度來(lái)講，水分取9最好，取7次之；對(duì)落下強(qiáng)度來(lái)講，水分取7最好，取9次之對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，應(yīng)照顧水分對(duì)裂紋度的影響，還是取9為好。通過(guò)各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是 B3：粒度，第3水平，8； Cl：堿度，第1水平，1.1； A2：水分，第2水平，9。由此可見(jiàn)，分析多指標(biāo)的方法是：先分別考察每個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響，然后進(jìn)行分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗(yàn)方案，這種方法叫做綜合平衡法。對(duì)多指標(biāo)的問(wèn)題，由于各指標(biāo)的重要性不同，即所處的地位不同，要做到真正好的綜合平衡，是很困難的，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。下面要介紹的綜合評(píng)分法，在一定意義上講，可以克服綜合平衡法的這個(gè)缺點(diǎn)。2.2 綜合評(píng)分法例3 某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況如表2.3所示。試通過(guò)試驗(yàn)分析找出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。表2.3 因素水平A B C D時(shí)間（h） 加料中核酸含量 pH值 加水量123 25 7.5 5.0 1:6 5 9.0 6.0 1:4 1 6.0 9.0 1:6解這是4因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表L9(34)。和例1.1一樣，按L9(34)表排出方案(這里有4個(gè)因素，正好將表排滿)，進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果列入表2.4中。表2.4 因素實(shí)驗(yàn)號(hào)1 2 3 4A B C D各指標(biāo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果綜合評(píng)分純 度回收率1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 117512060804540857045300412600242510584310205735100892840562690744650485915K1K2K3273.2 221.2 222.9 260.5196.6 206.7 236.9 228.6205.0 249.9 218.9 188.7 677.8 k1k2k391.1 73.7 74.3 86.865.5 68.9 79.0 76.268.3 83.9 72.7 62.9極差25.6 14.4 6.3 23.9優(yōu)方案A1 B3 C2 D1 綜合評(píng)分法就是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)重要性的不同，按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析，給每一個(gè)試驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo)，根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)(分?jǐn)?shù))，利用例1.1的方法(直觀分析法)作進(jìn)一步的分析，從而選出較好的試驗(yàn)方案。 這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分，下面著重介紹評(píng)分的方法。 在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知道，純度的重要性比回收率的重要性大，如果化成數(shù)量來(lái)看，從實(shí)際分析，可認(rèn)為純度是回收率的4倍，也就是說(shuō)，論重要性若將回收率看成1，純度就是4。這個(gè)4和1分別叫兩個(gè)指標(biāo)的權(quán)，按這個(gè)權(quán)給出每個(gè)試驗(yàn)的總分為： 總分 = 4純度+1回收率根據(jù)這個(gè)算式，算出每個(gè)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)，列在表2.4最右邊。再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析法作進(jìn)一步的分析，整個(gè)分析過(guò)程都記錄在表2.4中。 根據(jù)綜合評(píng)分的結(jié)果，直觀上看，第1號(hào)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)是最高的，那么能不能肯定它就是最好的試驗(yàn)方案呢?還要作進(jìn)一步的分析。 從表2.4看出，A，D兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，還可以看出，A，D都是第l水平為好；B因素的極差比A，D的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比A，D都小，B因素取第3水平為好；C因素的極差最小，是影響最小的因素，C取第2水平為好。綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1，按影響大小的次序列出應(yīng)當(dāng)是 A1：時(shí)間，第1水平，25h， D1：加水量，第1水平，1:6， B3：料中核酸含量，第3水平，6.O， C2：pH值，第2水平，6.0。 可以看出，這里分析出來(lái)的最好方案，在已經(jīng)做過(guò)的9個(gè)試驗(yàn)中是沒(méi)有的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第1號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。 總的來(lái)講，綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問(wèn)題，通過(guò)加權(quán)計(jì)算總分的方法化成一個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡(jiǎn)單但是，如何合理地評(píng)分，也就是如何合理地確定各個(gè)指標(biāo)的權(quán)，是最關(guān)鍵的問(wèn)題，也是最困難的問(wèn)題這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決，單純從數(shù)學(xué)上是無(wú)法解決的。3混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)前兩節(jié)介紹的多因素試驗(yàn)中，各因素的水平數(shù)都是相同的，解決這類問(wèn)題還是比較簡(jiǎn)單的。但是在實(shí)際問(wèn)題中，由于具體情況不同，有時(shí)各因素的水平數(shù)是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗(yàn)問(wèn)題。解決混合水平這類問(wèn)題一般比較復(fù)雜。在這里介紹兩個(gè)主要的方法：(1)直接利用混合水平的正交表；(2)擬水平法把水平不同的問(wèn)題化成水平數(shù)相同的問(wèn)題來(lái)處理。 3.1 混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種，比如L8(4124)就是一個(gè)混合水平的正交表，如表3.1。表3.1 列號(hào)實(shí)驗(yàn)號(hào)1 2 3 4 5123456781 1 1 1 11 2 2 2 22 1 1 2 22 2 2 1 13 1 2 1 23 2 1 2 14 1 2 2 14 2 1 1 2 這張L8(4124)表有8行，5列(注意5=1+4)，表示用這張表要做8次試驗(yàn)，最多可安排5個(gè)因素，其中一個(gè)是4水平的(第1列)，4個(gè)是2水平的(第2列到第5列)。 L8(4124)表有兩個(gè)重要特點(diǎn)： (1)每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。例如，第1列中有4個(gè)數(shù)字1，2，3，4，它們各出現(xiàn)兩次；第2列到第5列中，都只有兩個(gè)數(shù)字1，2，它們各出現(xiàn)4次。(2)每?jī)闪懈鞣N不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。但要注意一點(diǎn)：每?jī)闪胁煌降拇钆涞膫€(gè)數(shù)是不完全相同的。比如，第1列是4水平的列，它和其他任何一個(gè)2水平的列放在一起，由行組成的不同的數(shù)對(duì)一共有8個(gè)：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，它們各出現(xiàn)1次；第2列到第5列都是2水平列，它們之間的任何兩列的不同水平的搭配共有4個(gè)：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，它們各出現(xiàn)兩次。 由這兩點(diǎn)看出，用這張表安排混合水平的試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的各水平之間的搭配也是均衡的。其他混合水平的正交表還有L16(41212)，L16(4229)，L18(2137)等(見(jiàn)附表6)，它們都具有上面所說(shuō)的兩個(gè)特點(diǎn)。例3.1 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)。共有4個(gè)因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀肥比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個(gè)因素都是2水平的，具體數(shù)值如表3.2所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。表3.2 因素水平A品種B氮肥量（kg）C氮、磷、鉀肥比例D規(guī)格1234甲乙丙丁25303:3:12:1:26677解 這個(gè)問(wèn)題中有4個(gè)因素，1個(gè)是4水平的，3個(gè)是2水平的，正好可以選用混合正交表L8(4124)，因素A為4水平，放在第1列，其余3個(gè)因素B，C，D，都是2水平的，順序放在2，3，4列上，第5列不用。按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表L8(4124)的右邊，然后進(jìn)行分析，整個(gè)分析過(guò)程記在表3.3中。 表3.3 因素實(shí)驗(yàn)號(hào)1 2 3 4A B C D實(shí)驗(yàn)指標(biāo)（產(chǎn)量）（kg）減去20012345678 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 4 1 2 2 4 2 1 1195205220225210215185190-5520251015-15-10K1K2K3K4 0 10 20 2045 35 35 2525-25k1k2k3k40 2.5 5.0 5.022.5 8.8 6.3 6.312.5-12.5極差35.0 6.3 1.3 1.3優(yōu)方案A2 B2 C2 D2這里分析計(jì)算的方法和例1.1基本上相同。但是要特別注意，由于各因素的水平數(shù)不完全相等，各水平出現(xiàn)的次數(shù)也不完全相等，因此計(jì)算各因素各水平的平均值k1，k2，k3，k4時(shí)和例1.1中有些不同。比如，對(duì)于因素A，它有4個(gè)水平，每個(gè)水平出現(xiàn)兩次，它的各水平的平均值k1，k2，k3，k4是相應(yīng)的K1，K2，K3，K4分別除以2得到的。而對(duì)于因素B，C，D，它們都只有兩個(gè)水平，因此，只有兩個(gè)平均值k1，k2，又因?yàn)槊總€(gè)水平出現(xiàn)4次，所以它們的平均值k1，k2是相應(yīng)的K1，K2分別除以4得到的。這樣得出的平均值才是合理的。從表3.3看出，因素A的極差最大，因此因素A對(duì)試驗(yàn)的影響最大，并且以取2水平為好；因素B的極差僅次于因素A，對(duì)試驗(yàn)的影響比因素A小，也是以取2水平為好；因素C，D的極差都很小，對(duì)試驗(yàn)的影響也就很小，都是以取2水平為好。總的說(shuō)來(lái)，試驗(yàn)方案應(yīng)以A2B2C2D2為好。但這個(gè)方案在做過(guò)的8個(gè)試驗(yàn)中是沒(méi)有的。按理應(yīng)當(dāng)照這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。但是，因?yàn)檗r(nóng)業(yè)生產(chǎn)受節(jié)氣的制約，只有到第二年再試驗(yàn)。事實(shí)上，在這里因?yàn)橐蛩谼的影響很小，這個(gè)方案與8個(gè)試驗(yàn)中的第4號(hào)試驗(yàn)A2B2C2D1很接近，從試驗(yàn)結(jié)果看出，第4號(hào)試驗(yàn)是8個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第4號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。3.2 擬水平法 例3.2 現(xiàn)有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好。這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A，B，C，D，其中因素C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，具體數(shù)值如表3.4所示。試安排試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。表3.4 因素水平 A B C D123 350 15 60 65 250 5 80 75 300 10 85解這個(gè)問(wèn)題是4個(gè)因素的試驗(yàn)，其中因素C是2水平的，因素A，B，D是3水平的。這種情況沒(méi)有合適的混合水平正交表，因此不能用例3.1的方法解決對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們可以設(shè)想：假若因素C也有3個(gè)水平，那么這個(gè)問(wèn)題就變成4因素3水平的問(wèn)題，因此可以選正交表L9(34)來(lái)安排試驗(yàn)。但是實(shí)際上因素C只有兩個(gè)水平，不能隨便安排第3個(gè)水平。如何將c變成3水平的因素呢？我們是從第1、第2兩個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫做虛擬水平。取哪個(gè)水平作為第3水平呢？一般來(lái)講，都是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。比如，如果認(rèn)為第2水平比第1水平好，就選第2水