【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練）第二章 函數(shù)及其表示教學(xué)案（含解析）新人教A版.doc

第一節(jié)函數(shù)及其表示知識能否憶起1函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：一般地，設(shè)a，b是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)；那么就稱f：ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)記作yf(x)，xa.(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yf(x)，xa中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xa叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合b的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系(4)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3映射的概念設(shè)a，b是兩個非空的集合，如果按照某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么稱對應(yīng)f：ab為集合a到集合b的一個映射4分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)設(shè)g(x)2x3，g(x2)f(x)，則f(x)等于()a2x1b2x1c2x3 d2x7解析：選df(x)g(x2)2(x2)32x7.2(2012江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(3)()a. b3c. d.解析：選df(3)，f(f(3)21.3已知集合a0,8，集合b0,4，則下列對應(yīng)關(guān)系中，不能看作從a到b的映射的是()af：xyx bf：xyxcf：xyx df：xyx解析：選d按照對應(yīng)關(guān)系f：xyx，對a中某些元素(如x8)，b中不存在元素與之對應(yīng)4已知fx25x，則f(x)_.解析：令t，則x.所以f(t).故f(x)(x0)答案：(x0)5(教材習(xí)題改編)若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，則f(1)_.解析：由已知得得即f(x)x24x3.所以f(1)(1)24(1)38.答案：8 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合a與集合b只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集a到非空數(shù)集b的映射 (2)映射不一定是函數(shù)，從a到b的一個映射，a、b若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù) 2定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù) 如函數(shù)yx與yx1，其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)；再如函數(shù)ysin x與ycos x，其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)因此判斷兩個函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同 3求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集函數(shù)的基本概念典題導(dǎo)入例1有以下判斷：(1)f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；(2)函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的交點最多有1個；(3)f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；(4)若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號是_自主解答對于(1)，由于函數(shù)f(x)的定義域為x|xr，且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是r，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2)，若x1不是yf(x)定義域的值，則直線x1與yf(x)的圖象沒有交點，如果x1是yf(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x1與yf(x)的圖象只有一個交點，即yf(x)的圖象與直線x1最多有一個交點；對于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對于(4)，由于f0，所以ff(0)1.綜上可知，正確的判斷是(2)(3)答案(2)(3)由題悟法兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示同一函數(shù)另外，函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函數(shù)以題試法1試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)(1)y1，yx0；(2)y，y；(3)yx，y ；(4)y|x|，y()2.解：(1)y1的定義域為r，yx0的定義域為x|xr，且x0，故它們不是同一函數(shù)(2)y的定義域為x|x2y的定義域為x|x2，或x2，故它們不是同一函數(shù)(3)yx，yt，它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，故它們是同一函數(shù)(4)y|x|的定義域為r，y()2的定義域為x|x0，故它們不是同一函數(shù)求函數(shù)的解析式典題導(dǎo)入例2(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)自主解答(1)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22(x2或x2)(2)令1t得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xr)由題悟法函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x)f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1)；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(如例(3)；(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍(如例(2)；(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)(如a級t6)以題試法2(1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個相等實根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：(1)法一：設(shè)t1，則x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)(2)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有兩個相等實根，44c0，c1，故f(x)x22x1.分 段 函 數(shù)典題導(dǎo)入例3(2012廣州調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)若f(x)4，則x的取值范圍是_自主解答當(dāng)x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.綜上可得x2.答案(，2)(2，)若本例條件不變，試求f(f(2)的值解：f(2)224，f(f(2)f(4)16.由題悟法求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時每段交替使用求值若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍以題試法3.(2012衡水模擬)已知f(x)的圖象如圖，則f(x)的解析式為_解析：由圖象知每段為線段設(shè)f(x)axb，把(0,0)，和，(2,0)分別代入，解得答案：f(x)1下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()ayx1與yby與ycy4lg x與y2lg x2dylg x2與ylg答案：d2下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為()aybycyxex dy解析：選d函數(shù)y的定義域為x|x0，選項a中由sin x0xk，kz，故a不對；選項b中x0，故b不對；選項c中xr，故c不對；選項d中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為x|x03(2012安徽高考)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)2f(x)的是()af(x)|x| bf(x)x|x|cf(x)x1 df(x)x解析：選c對于選項a，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；對于選項b，f(x)x|x|當(dāng)x0時，f(2x)02f(x)，當(dāng)x0時，f(2x)4x22x2f(x)，恒有f(2x)2f(x)；對于選項d，f(2x)2x2(x)2f(x)；對于選項c，f(2x)2x12f(x)1.4已知f(x)則ff的值等于()a2 b1c2 d3解析：選df，ff1f2，ff3.5現(xiàn)向一個半徑為r的球形容器內(nèi)勻速注入某種液體，下面圖形中能表示在注入過程中容器的液面高度h隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系的是()解析：選c從球的形狀可知，水的高度開始時增加的速度越來越慢，當(dāng)超過半球時，增加的速度又越來越快6若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)f(x)3x1，則f(x)()ax1 bx1c2x1 d3x3解析：選b由題意知2f(x)f(x)3x1.將中x換為x，則有2f(x)f(x)3x1.2得3f(x)3x3，即f(x)x1.7已知f(x)x2pxq滿足f(1)f(2)0，則f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：68已知函數(shù)f(x)若f(f(1)3a2，則a的取值范圍是_解析：由題知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，則96a3a2，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)9設(shè)集合mx|0x2，ny|0y2，那么下面的4個圖形中，能表示集合m到集合n的函數(shù)關(guān)系的是_解析：由函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的每一個x對應(yīng)著唯一一個y，據(jù)此排除，中值域為y|0y3不合題意答案：10若函數(shù)f(x)(a0)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，求f(x)的解析式解：由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，變形得x0，解此方程得x0或x，又因方程有唯一解，故0，解得b1，代入2ab2得a，所以f(x).11.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2 km，甲10時出發(fā)前往乙家如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系試寫出yf(x)的函數(shù)解析式解：當(dāng)x0,30時，設(shè)yk1xb1，由已知得解得即yx.當(dāng)x(30,40)時，y2；當(dāng)x40,60時，設(shè)yk2xb2，由已知得解得即yx2.綜上，f(x)12如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象(1)試說明圖1上點a、點b以及射線ab上的點的實際意義；(2)由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖2、3所示你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議的意義嗎？(3)此問題中直線斜率的實際意義是什么？(4)圖1、圖2、圖3中的票價分別是多少元？解：(1)點a表示無人乘車時收支差額為20元，點b表示有10人乘車時收支差額為0元，線段ab上的點表示虧損，ab延長線上的點表示贏利(2)圖2的建議是降低成本，票價不變，圖3的建議是提高票價(3)斜率表示票價(4)圖1、2中的票價是2元圖3中的票價是4元1(2011北京高考)根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(a，c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第a件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和a的值分別是()a75,25 b75,16c60,25 d60,16解析：選d因為組裝第a件產(chǎn)品用時15分鐘，所以15，所以必有42x5.解：(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表達(dá)式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.(2)由x2x12x5，即x23x40，解得x4或x4，或x11已知函數(shù)f(x)若f(f(0)4a，則實數(shù)a_.解析：f(0)3022，f(f(0)f(2)42a4a，a2.答案：22若函數(shù)的定義域為x|3x6，且x4，值域為y|2y4，且y0，試在下圖中畫出滿足條件的一個函數(shù)的圖象解：本題答案不唯一，函數(shù)圖象可畫為如圖所示3已知定義域為r的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)x2x)f(x)x2x.(1)若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)；(2)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)x0，求函數(shù)f(x)的解析式解：(1)因為對任意xr有f(f(x)x2x)f(x)x2x，所以f(f(