2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第9章平面解析幾何11第11講定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題教案理.docx

第11講定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題 典例引領(lǐng) (2018昆明市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中，已知定圓M：(x1)2y236，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(1，0)且與圓M相切，記動(dòng)圓圓心N的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)設(shè)A，P是曲線(xiàn)C上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P)，若直線(xiàn)AP，BP分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|OT|為定值【解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)F(1，0)在圓M：(x1)2y236內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，則|NM|NF|6|FM|，由橢圓定義知，圓心N的軌跡為橢圓，且2a6，c1，則a29，b28，所以動(dòng)圓圓心N的軌跡方程為1.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，則B(x1，y1)，由題意知x0x1，則kAP，直線(xiàn)AP的方程為yy1kAP(xx1)，令y0，得xS，同理xT，于是|OS|OT|xSxT|，又P(x0，y0)和A(x1，y1)在橢圓1上，故y8，y8，則yy(xx)，xyxy8x8x8(xx)所以|OS|OT|9.圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值：利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線(xiàn)段長(zhǎng)度為定值：利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得 (2018張掖市第一次診斷考試)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為E，P為直線(xiàn)xa上的任意一點(diǎn)，且()2.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)AB與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且M，N位于直線(xiàn)AB的兩側(cè)，若始終保持MABNAB，求證：直線(xiàn)MN的斜率為定值解：(1)設(shè)P，F(xiàn)(c，0)，E(a，0)，則，(ca，0)，所以(2c3a)(ca)4，又e，所以a2，c1，b，從而橢圓C的方程為1.(2)證明：由(1)知A，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)MN的方程：ykxm，代入橢圓方程1，得(4k23)x28kmx4m2120.則又M，N是橢圓上位于直線(xiàn)AB兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若始終保持MABNAB，則kAMkAN0，即0，(kx1m)(x21)(x11)0，即(2k1)(2m2k3)0，得k.故直線(xiàn)MN的斜率為定值.圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題 典例引領(lǐng) (2017高考全國(guó)卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點(diǎn)P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn)【解】(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上因此解得故C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1)圓錐曲線(xiàn)中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線(xiàn)中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線(xiàn)的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān) (2018蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1(2，0)，點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，直線(xiàn)ykx(k0)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP，AQ分別與y軸交于點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)求以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為F1(2，0)，所以a2b24.因?yàn)辄c(diǎn)B(2，)在橢圓C上，所以1.解得a28，b24，所以橢圓C的方程為1.(2)依題意點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)P(x0，y0)(不妨設(shè)x00)，則Q(x0，y0)，由得x0，y0，所以直線(xiàn)AP的方程為y(x2)，直線(xiàn)AQ的方程為y(x2)，所以M，N，所以|MN|，設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則以MN為直徑的圓的方程為x2，即x2y2y4.令y0得x2或x2，即以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)P1(2，0)，P2(2，0)圓錐曲線(xiàn)中的探索性問(wèn)題 典例引領(lǐng) 已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1，0)，右頂點(diǎn)為A，且|AF|1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線(xiàn)l：ykxm與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線(xiàn)x4交于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)M(t，0)使0成立？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由【解】(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設(shè)P(xP，yP)，則xP，yPkxPmm，即P.因?yàn)镸(t，0)，Q(4，4km)，所以，(4t，4km)，所以(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.所以存在點(diǎn)M(1，0)符合題意存在性問(wèn)題的求解策略解決存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿(mǎn)足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意 (2018陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(一)已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，且|PF1|PF2|4.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)F1的直線(xiàn)l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1l2，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)閨PF1|PF2|4，所以2a4，a2，所以橢圓E：1.將P代入可得b23，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時(shí)，；當(dāng)AC的斜率k存在且k0時(shí)，AC的方程為yk(x1)，代入橢圓方程1，并化簡(jiǎn)得(34k2)x28k2x4k2120.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.因?yàn)橹本€(xiàn)BD的斜率為，所以|BD|.所以.綜上，2，所以.故存在常數(shù)，使得，成等差數(shù)列 求解定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路(1)把直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把參數(shù)當(dāng)作未知數(shù)，將方程一端化為0，即化為kf(x，y)g(x，y)0的形式(這里把參數(shù)k當(dāng)作未知數(shù))(2)既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于0，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，即(3)這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)，即滿(mǎn)足的點(diǎn)(x0，y0)為直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn) 求解定值問(wèn)題的基本思路(1)先求出這個(gè)幾何量或代數(shù)表達(dá)式；(2)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理成yf(m，n，k)的最簡(jiǎn)形式；(3)根據(jù)已知條件列出必要的方程(或不等式)，消去參數(shù)，最后求出定值，一般是根據(jù)已知條件列出方程kg(m，n)代入yf(m，n，k)，得到y(tǒng)h(m，n)c(c為常數(shù))的形式 探索性問(wèn)題的求解策略(1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化其步驟為假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))不存在(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法 1(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(一)已知直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)y21相切于點(diǎn)P，l與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，則的值為()A3B4C5D與P的位置有關(guān)解析：選A.依題意，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x4y4，則直線(xiàn)l的方程是y0y1，題中雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為yx.當(dāng)y00時(shí)，直線(xiàn)l的方程是x2或x2.由，得，此時(shí)(2，1)(2，1)413，同理可得當(dāng)直線(xiàn)l的方程是x2時(shí)，3.當(dāng)y00時(shí)，直線(xiàn)l的方程是y(x0x4)由，得(4yx)x28x0x160(*)，又x4y4，因此(*)即是4x28x0x160，x22x0x40，x1x24，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x23.綜上所述，3，選A.2(2018湖南湘中名校聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，ABC的頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足0，則_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)，由，得y1y2y30.因?yàn)閗AB，所以kAC，kBC，所以0.答案：03已知圓M：x2(y2)21，直線(xiàn)l：y1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線(xiàn)l相切設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且16，求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)解：(1)設(shè)P(x，y)，則(y1)1x28y.所以E的方程為x28y.(2)證明：易知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)將直線(xiàn)AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(0，4)4橢圓C：1(ab0)的離心率為，P(m，0)為C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)當(dāng)m0時(shí)，.(1)求橢圓C的方程；(2)證明：|PA|2|PB|2為定值解：(1)因?yàn)殡x心率為，所以.當(dāng)m0時(shí)，l的方程為yx，代入1并整理得x2.設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，y0)，xyx.又因?yàn)?，所以a225，b216，橢圓C的方程為1.(2)證明：l的方程為xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.則|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2為定值1(2018太原市模擬)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓C上，直線(xiàn)l：ykxm與橢圓C相交于A，P兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)N和M，且|PM|MN|，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，QM的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A1，B1.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)N平分線(xiàn)段A1B1？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由題意得解得，所以橢圓C的方程為1.(2)存在這樣的直線(xiàn)l.因?yàn)閥kxm，所以M(0，m)，N，因?yàn)閨PM|MN|，所以P，則Q，所以直線(xiàn)QM的方程為y3kxm.設(shè)A(x1，y1)，由，得(34k2)x28kmx4(m23)0，所以x1，所以x1，設(shè)B(x2，y2)，由，得(336k2)x224kmx4(m23)0.所以x2，所以x2，因?yàn)辄c(diǎn)N平分線(xiàn)段A1B1，所以x1x2，所以，所以k，所以P(2m，2m)，所以1，解得m，因?yàn)閨m|b，所以直線(xiàn)l的方程為yx.2(2018福州市綜合質(zhì)量檢測(cè))已知圓O：x2y24，點(diǎn)A(，0)，B(，0)，以線(xiàn)段AP為直徑的圓C1內(nèi)切于圓O.記點(diǎn)P的軌跡為C2.(1)證明：|AP|BP|為定值，并求C2的方程；(2)過(guò)點(diǎn)O的一條直線(xiàn)交圓O于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)D(2，0)，直線(xiàn)DM，DN與C2的另一個(gè)交點(diǎn)分別為S，T.記DMN，DST的面積分別為S1，S2，求的取值范圍解：(1)如圖，因?yàn)閳AC1內(nèi)切于圓O，所以|OC1|2|AP|.依題意，O，C1分別為AB，A