初中數(shù)學(xué)趣引.pdf

一 從故事 游戲開(kāi)始 一 從故事 游戲開(kāi)始 1 講故事1 講故事 梵塔 漢諾塔 問(wèn)題 這是印度一個(gè)古老的傳說(shuō) 開(kāi)天辟地的神梵天在印度北部的佛教圣地貝那勒斯的 圣廟里 安放著一塊黃銅板 板上插著三根細(xì)細(xì)的 鑲上寶 石的細(xì)針 細(xì)針像韭葉般粗 高像成人手腕到肘關(guān)節(jié)的長(zhǎng) 在其中的一根針上 從下到上串著由大到小的六十四片圓金 片環(huán) 這就是有名的梵塔 如圖 或稱 漢諾塔 天神梵天授言 不論黑夜白天 都要有一個(gè)值班的僧侶 按照規(guī)定的法則 把這些金片在三根針上移來(lái)移去 一次只 能夠移一片 并且要求不管在哪根針上 小片永遠(yuǎn)在大片的 上面 當(dāng)所有的六十四片 都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針 移到另外一根針上時(shí) 世界就將在一聲霹靂中消滅 梵塔 廟宇和蕓蕓眾生 都將同歸于盡 這 便是世界末 日 世界真有末日嗎 到底要搬多少次 多少天 2 做游戲2 做游戲 搬板 5 塊板 每人發(fā) 5 塊事先準(zhǔn)備好的由小到大的紙板 可以在課前準(zhǔn)備好 也可以讓學(xué)生自己 用紙裁 代替金片環(huán) 在 1 2 3 三處移來(lái)移去 如圖 一次只能夠移一片 小片 永遠(yuǎn)在大片的上面 數(shù)數(shù)看 5 塊紙板從一處移到另一處需要多少次 這個(gè)游戲 最先大概是在 1883 年的巴黎流傳 當(dāng) 時(shí)市面上銷售的版本上面署名發(fā)明人是 N CLAUS DE SIAM 看來(lái)是 LUCAS D AMIENS 的化名 因此有人認(rèn) 為那其實(shí)是法國(guó)數(shù)學(xué)家EDOUARD LUCAS想出來(lái)的游戲 3 學(xué)方法 3 學(xué)方法 遞推與歸納 把移 1 片的次數(shù)記作 a1 移 2 片的次數(shù) 記作 a2 移 3 片的次數(shù)記作 a3 于是 我們可以把這兩片粘在一起 看作一個(gè)整體 移動(dòng)這個(gè)整體要 3 次 又可以把這 3 片粘在 一起 看作一個(gè)整體 移動(dòng)它要 7 次 總之 把前面移過(guò)的看作一個(gè)整體 就有右表 an 1 2an 1 稱為遞推關(guān)系式遞推關(guān)系式 是觀察 歸納得到的答案 可以證明這個(gè)答案是正確的 利用遞歸思想來(lái)設(shè)計(jì)算法 是計(jì)算機(jī)算法的核心之一 當(dāng) n 64 時(shí) a64 18 446 744 073 709 551 615 設(shè)每秒鐘移 1 次 需要移 5845 億年 按照現(xiàn)代的宇宙進(jìn)化論 恒星 太陽(yáng) 行星是在三十億年前由不定形物質(zhì)形成的 給恒星特別是給太陽(yáng)提供能量的 原子燃料 還能維持 100 150 億年 因此 太陽(yáng)系 的整個(gè)壽命無(wú)疑要短于二百億年 可見(jiàn)遠(yuǎn)不等僧侶們完成任務(wù) 地球早已毀滅了 練習(xí) 練習(xí) 1 和漢諾塔故事相似的 還有另外一個(gè)印度傳說(shuō) 舍罕王 打算獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明人 宰相西薩 班 達(dá)依爾 國(guó) 王問(wèn)他想要什么 他對(duì)國(guó)王說(shuō) 陛下 請(qǐng)您在這張棋盤(pán)的 第 1 個(gè)小格里賞給我一粒麥子 在第 2 個(gè)小格里給 2 粒 第 3 個(gè)小格給 4 粒 以后每一小格都比前一小格加一倍 請(qǐng)您 把這樣擺滿棋盤(pán)上所有 64 格的麥粒 都賞給您的仆人吧 國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求太容易 滿足了 就命令給他這些麥粒 請(qǐng)你計(jì)算一下 宰相要求得到的麥粒到底有多少呢 2 切月餅 相當(dāng)于在圓內(nèi)畫(huà)直線 1 刀可以切 2 塊 2 刀最多切 4 塊 n 刀最多可切 多少塊 二 中國(guó)古典智力游戲三絕 二 中國(guó)古典智力游戲三絕 科學(xué)出版社出版了一套 好玩的數(shù)學(xué) 十本 其中介紹了很多數(shù)學(xué)游戲 凝結(jié)著 中國(guó)傳統(tǒng)文化 具有極強(qiáng)的趣味性 游戲中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)道理 對(duì)于開(kāi)發(fā)人的邏輯思 維能力大有好處 同時(shí)它還可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)的專注精神和耐心 1 七巧板 譽(yù)稱唐圖 1 七巧板 譽(yù)稱唐圖 宋朝已經(jīng)流行 清朝有了專著 七巧板設(shè)計(jì)精巧 7 個(gè)部件的邊與角關(guān)系密切 用它們可以拼 出各種不同的圖案 數(shù)字 英文字母 簡(jiǎn)單的漢字 然而用七巧板 的 7 個(gè)部件只能拼出 13 種不同的凸多邊形 1942 年我國(guó)數(shù)學(xué)家王 福春和熊全治給出了證明 現(xiàn)在已經(jīng)設(shè)計(jì)了各種拼圖板 以及立體七巧板等等 右面一幅是用三副七巧板拼成的畫(huà) 猜 畫(huà)的什么故事 2 九連環(huán) 譽(yù)稱魔環(huán) 2 九連環(huán) 譽(yù)稱魔環(huán) 據(jù)說(shuō)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)誕生 九連環(huán) 外國(guó)人稱為中國(guó)環(huán) 它的解法與梵塔問(wèn)題類似 與美 國(guó)數(shù)學(xué)家弗蘭克格雷發(fā)明的無(wú)線電通訊用的循環(huán)碼嚴(yán)格對(duì)應(yīng) 數(shù) 學(xué)上稱為 同構(gòu) 玩九連環(huán)練腦又練手 老少皆宜 3 華容道3 華容道 源自于 三國(guó)演義 關(guān)羽與曹操的故事 華容道是一種滑塊游戲 它是由5 4個(gè)小正方形組成的長(zhǎng)方形 四周有墻壁 代表華容道 內(nèi)有 10 個(gè)棋子 如圖 只有兩個(gè)小方 塊空著 是華容道的唯一出口 通過(guò)滑塊的移動(dòng) 關(guān)羽的讓道 使 曹操逃出出口 你會(huì)玩嗎 練習(xí) 練習(xí) 3 自己制作一付七巧板 選用七巧板的 7 個(gè)部件可以拼成 種不同的三角形 可 以拼成 種不同的正方形 你會(huì)用所有 7 個(gè)部件拼出 13 種不同的凸多邊形嗎 4 玩 華容道 請(qǐng)你在長(zhǎng)方形內(nèi)滑動(dòng)棋子 讓出空格 用最少的步數(shù)將曹操移出來(lái) 試試看 你能行 三 填數(shù)游戲 幻方與數(shù)獨(dú) 三 填數(shù)游戲 幻方與數(shù)獨(dú) 1 河圖與洛書(shū) 1 河圖與洛書(shū) 河圖是最早的組合數(shù)學(xué) 八卦是最早的 二進(jìn)制 洛書(shū)是最早的幻方 直觀地考察河 圖洛書(shū) 不難發(fā)現(xiàn) 這兩幅圖具有數(shù)字性和 結(jié)構(gòu)對(duì)稱性這兩個(gè)明顯特點(diǎn) 2 幻方 2 幻方 南宋數(shù)學(xué)家楊輝是世界上首先從數(shù)學(xué) 角度研究幻方的 他于 1275 年總結(jié)了 3 階 幻方的構(gòu)造方法 在他的著作里給出了 4 到 10 階的幻方圖 下面是用平移補(bǔ)空法 適用于奇數(shù)階 構(gòu)造 3 階幻方 3 數(shù)獨(dú) 3 數(shù)獨(dú) 獨(dú)立的數(shù)字 是一種源自 18 世紀(jì)末的瑞士 后在美國(guó)發(fā)展 并在日本得以發(fā)揚(yáng)光大的數(shù)學(xué)智力游戲 因?yàn)槊恳粋€(gè)方格都填一 個(gè)個(gè)位數(shù)而得名 簡(jiǎn)稱為 數(shù)獨(dú) 由于數(shù)獨(dú)邏輯簡(jiǎn)單 數(shù)字排列方 式千變?nèi)f化 被公認(rèn)為是鍛煉思 維的好方法 目前還成立了數(shù)獨(dú) 聯(lián)盟 舉辦了世界數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽 例 在 9 9 的正方形方格 里已經(jīng)有了若干個(gè)數(shù)字 如圖 請(qǐng)將 1 到 9 填入其余空格中 使 整個(gè)大九宮格每行每列每個(gè)小 九宮格的數(shù)字都不重復(fù) 解 先填行 列 小九宮格數(shù)字多的交叉點(diǎn) 再排除交叉點(diǎn)不能填的數(shù)從而確定可 填的數(shù) 對(duì)于還不能確定的格子 用鉛筆把可以填的數(shù)填上 如果格子里只能填某一個(gè) 數(shù) 或該行該列該小九宮格只有某一個(gè)數(shù) 那么這個(gè)數(shù)也就確定了 再刪除同行同列同 小九宮格的這個(gè)數(shù) 如是進(jìn)行 必要時(shí)加以討論 練習(xí) 練習(xí) 5 將 9 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填入九宮格中 使橫 豎 斜三個(gè)數(shù)之和為 60 那么這 9 個(gè)自然數(shù)中最小的是 6 如圖是用 1 2 4 8 16 32 64 128 256 九個(gè)數(shù)組成一個(gè)三階 幻方 滿足正方形行 列 對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的積相等 則圖中 x y 依次是 7 請(qǐng)你用平移補(bǔ)空法構(gòu)造一個(gè) 5 階幻方 8 完成下列數(shù)獨(dú) 一 數(shù)字寶塔 一 數(shù)字寶塔 雄偉壯觀 千姿百態(tài)的寶塔 是我國(guó)古代文明的瑰寶 在數(shù)學(xué)王國(guó)中 也有許許多 多的 數(shù)字寶塔 令人感到數(shù)學(xué)的無(wú)窮神奇和無(wú)比巧妙 摘自趣味數(shù)學(xué)百科圖典 數(shù)字寶塔 每層的基本結(jié)構(gòu)相同 既美妙動(dòng)人 又神秘莫測(cè) 不過(guò) 有的能添無(wú)限 層 有的只能添有限層 例如上面第二排的第一個(gè)寶塔已經(jīng)添了兩層 不過(guò)用上負(fù)數(shù)了 已達(dá)到 10 層 算 十全十美 了 其他寶塔可以添嗎 有興趣的同學(xué)不妨試試看 練習(xí) 練習(xí) 1 欣賞數(shù)字寶塔 猜想下面一行是什么 2 請(qǐng)欣賞下面的平方和寶塔 猜一猜下一個(gè)等式是什么 3 觀察右面的數(shù)字寶塔 發(fā)現(xiàn)所加的個(gè)位數(shù)有什么規(guī)律 二 二 數(shù)字黑洞數(shù)字黑洞 黑洞原是天文學(xué)中的概念 表示這樣一種天體 它的引 力場(chǎng)是如此之強(qiáng) 就連光也不能逃脫出來(lái) 數(shù)學(xué)中借用這個(gè) 詞 指的是某種運(yùn)算 這種運(yùn)算一般限定從某些整數(shù)出發(fā) 經(jīng)過(guò)某種規(guī)定的運(yùn)算后 結(jié)果必然落入某個(gè) 數(shù)字黑洞 1 磁力數(shù)與 K 變換 1 磁力數(shù)與 K 變換 請(qǐng)你隨便寫(xiě)出四個(gè)不完全相同的數(shù)碼 按照從大到小的順序組成一個(gè)四位數(shù) 再把 所得之?dāng)?shù)顛倒一下 從小到大的順序 求它們的差 大的減去小的 再對(duì)這個(gè)差數(shù) 把上述的步驟重做一遍 于是可得到一個(gè)新的差數(shù) 結(jié)果一定是 6174 如選中的數(shù)字是 5 4 7 7 則 7754 4577 3177 7731 1377 6354 6543 3456 3087 8730 0738 8352 8532 2358 6174 這是偶然的嗎 我們?cè)匐S便舉一個(gè)數(shù) 1331 按上面的方法連續(xù)去做 3311 1133 2178 8721 1278 7443 7443 3447 3996 9963 3699 6264 6642 2466 4176 7641 1467 6174 好啦 6174 的 幽靈 又出現(xiàn)了 大家不妨試一試 對(duì)于任何一個(gè)數(shù)碼不完全相同 的四位數(shù) 最多運(yùn)算 7 步 必然落入 6174 這個(gè)陷阱中 1955 年 1949 印度數(shù)學(xué)家卡普耶卡 D R Kaprekar 研究了這種變換 發(fā)現(xiàn) 對(duì)任意四位數(shù) 只要四個(gè)數(shù)字不全相同 最多進(jìn)行 7 次上述變換 就會(huì)出現(xiàn)四位數(shù) 6174 這個(gè)數(shù)具有很強(qiáng)的磁性 能夠吸引其它四位數(shù) 故稱這個(gè)數(shù)為磁力數(shù) 這個(gè)數(shù)又好像宇 宙中的黑洞或捕捉獵物的陷阱一樣 任何四位數(shù)掉進(jìn)去就出不來(lái)了 故又稱這類整數(shù)為 黑洞數(shù) 陷阱數(shù) 自我拷貝數(shù) 這種變換稱為 卡普耶卡變換 簡(jiǎn)稱 K 變換 即 前述之 重排求差 操作 四位數(shù) 6174 稱為 卡普耶卡常數(shù) 或 6174 黑洞 四位 數(shù)的核 美國(guó)數(shù)學(xué)家馬丁在 20 世紀(jì) 80 年代曾研究過(guò)此問(wèn)題 因此這項(xiàng)研究在國(guó)際數(shù)學(xué) 界又稱為 馬丁猜想 6174問(wèn)題 現(xiàn)在已經(jīng)用計(jì)算機(jī)C 語(yǔ)言編程序驗(yàn)證了這個(gè)問(wèn)題 2 關(guān)于磁力數(shù)的一般結(jié)論 2 關(guān)于磁力數(shù)的一般結(jié)論 一般地 當(dāng)自然數(shù) n 2 時(shí) 如果從 0 1 2 9 中任取 n 個(gè)不完全相同的數(shù)字 組成一個(gè) n 位十進(jìn)制數(shù) k0 首位或前幾位的數(shù)字可以是 0 然后從 k0開(kāi)始不斷地做 K 變 換 得出 k1 k2 那么結(jié)果會(huì)怎樣呢 現(xiàn)在已經(jīng)知道的是 n 2 只能形成一個(gè)循環(huán) 27 45 09 81 63 n 3 只能形成一個(gè)循環(huán) 495 n 4 只能形成一個(gè)循環(huán) 6174 n 5 只能形成三個(gè)循環(huán) 53955 59994 61974 82962 75933 63954 62964 71973 83952 74943 n 6 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個(gè)循環(huán) 549945 631764 420876 851742 750843 840852 860832 862632 642654 n 7 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)循環(huán) 7509843 9529641 8719722 8649432 7519743 8429652 7619733 8439552 n 8 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)四個(gè)循環(huán) 63317664 97508421 64308654 83208762 86526432 43208766 85317642 75308643 84308652 86308632 86326632 64326654 n 9 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個(gè)循環(huán) 554999445 864197532 753098643 954197541 883098612 976494321 874197522 865296432 763197633 844296552 762098733 964395531 863098632 965296431 873197622 865395432 容易證明 當(dāng)自然數(shù) n 2 時(shí) 對(duì)任意給定的由 n 個(gè)不全相同的數(shù)字組成的整數(shù)連 續(xù)做 K 變換 必定會(huì)形成循環(huán) 這是因?yàn)橛?n 個(gè)數(shù)字組成的數(shù)只有有限個(gè)的緣故 但是 當(dāng) n 較大時(shí) 循環(huán)的個(gè)數(shù)以及循環(huán)的長(zhǎng)度 指每個(gè)循環(huán)中所包含數(shù)的個(gè)數(shù) 尚不清楚 這也是國(guó)內(nèi)一些數(shù)學(xué)愛(ài)好者熱衷研究的一個(gè)課題 3 圣經(jīng)數(shù) 153 3 圣經(jīng)數(shù) 153 奇妙的數(shù) 153 是一位叫科恩的以色列人發(fā)現(xiàn)的 科恩是一 位基督徒 一次 他在讀圣經(jīng) 新約全書(shū) 的 約翰福音 第 21 章 時(shí) 當(dāng)他讀到 耶穌對(duì)他們說(shuō) 把剛才打的魚(yú)拿幾條來(lái) 西門(mén) 彼 得就去把網(wǎng)拉到岸上 那網(wǎng)網(wǎng)滿了大魚(yú) 共 153 條 魚(yú)雖這樣多 網(wǎng)卻沒(méi)有破 數(shù)感極好的科恩無(wú)意中發(fā)現(xiàn) 153 是 3 的倍數(shù) 并且它 的各位數(shù)字的立方和仍然是 153 1 3 53 33 153 無(wú)比興奮之余 他又用另外一些 3 的倍數(shù)來(lái)做同樣的計(jì)算 最后的得數(shù)也都是 153 于是 科恩就把他發(fā)現(xiàn)的這個(gè)數(shù) 153 稱為 圣經(jīng)數(shù) 后來(lái) 英國(guó) 數(shù)學(xué)家?jiàn)W皮亞奈對(duì)此做出了證明 美國(guó)數(shù)學(xué)月刊 對(duì)有關(guān)問(wèn)題還進(jìn)行了深入的探討 任意取一個(gè)是3的倍數(shù)的數(shù) 求出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的立方和 得到一個(gè)新數(shù) 然后再求出這個(gè)新數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的立方和 又得到一個(gè)新數(shù) 如此重復(fù)運(yùn)算下去 最后一定落入數(shù)字黑洞 153 數(shù)字黑洞是一種神秘而饒有興味的現(xiàn)象 它的發(fā)現(xiàn)有一定偶然性 它的計(jì)算過(guò)程很 簡(jiǎn)單 不容置疑 而它的證明卻非常困難 有的至今還沒(méi)有結(jié)果 這也恰恰是數(shù)學(xué)的誘 人之處 練習(xí) 練習(xí) 4 請(qǐng)你找出三位磁力數(shù) 5 角谷猜想角谷猜想 請(qǐng)你任意想一個(gè)正整數(shù) 如果它是奇數(shù) 則對(duì)它乘 3 再加 1 如果它是偶數(shù) 則對(duì)它除以 2 如此循環(huán) 最終結(jié)果是什么 日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫角谷靜夫發(fā)現(xiàn) 三 神奇的 142857 三 神奇的 142857 142857 看似再平凡不過(guò)的六位數(shù)由什么神奇的呢 我們現(xiàn)在做一個(gè)游戲 把這個(gè) 142857 從 1 到 6 按順序乘一下 就會(huì)出現(xiàn)如下 6 組數(shù) 字 142857 1 142857 142857 2 258714 142857 3 428571 142857 4 571428 142857 5 714825 148257 6 857142 同樣的數(shù)字 只是調(diào)換了位置 反復(fù)出現(xiàn) 作了一次循環(huán) 142857 這個(gè)數(shù)字乘上 7 142857 7 999999 把 142857 分解成兩組數(shù)字 142 857 這兩個(gè)數(shù)字之和得出 142 857 999 再把 142857 分解成三組數(shù)字 14 28 57 這三組數(shù)字之和得出 14 28 57 99 關(guān)于 142857 神奇的解答 它發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi) 它說(shuō)明一星期有 7 天 它自我 累加一次 就由它的 6 個(gè)數(shù)字 依順序輪值一次 到了第 7 天 它們就放假 由 999999 去代班 數(shù)字越加越大 每超過(guò)一星期輪回 每個(gè)數(shù)字需要分身一次 你不需要計(jì)算機(jī) 只要知道它的分身方法 就可以知道繼續(xù)累加的答案 它還有更神奇的地方等待你去發(fā) 掘 也許 它就是宇宙的密碼 數(shù)字越加越大 每超過(guò)一星期輪回 每個(gè)數(shù)字需要分身一次 142857 8 1142856 7分身 即分為頭一個(gè)數(shù)字1與尾數(shù)6 數(shù)列內(nèi)少了7 142857 9 1285713 4 分身 142857 10 1428570 1 分身 142857 11 1571427 8 分身 142857 12 1714284 5 分身 142857 13 1857141 2 分身 142857 14 1999998 9 也需要分身變大 原來(lái) 1 7 0 142857 循環(huán) 再求數(shù)字和 1 4 2 8 5 7 27 2 7 9 它們的數(shù)字和都是 9 以上各 個(gè)數(shù)的數(shù)字和都是 9 怪也不怪 這也有規(guī)律 比如 325 13 4225 325 的數(shù)字和為 1 13 的數(shù)字和為 4 4225 的數(shù)字?jǐn)?shù)和為 4 練習(xí) 練習(xí) 6 觀察 21 12 9 2 1 9 53 35 18 5 3 9 82 28 54 8 2 9 再寫(xiě)兩行 找出規(guī)律 7 987654321 與 123456789 是兩個(gè)有趣的數(shù) 請(qǐng)看 123456789 26 3209876514 987654321 18123456789 31 3827160459 987654321 27 26666666667 請(qǐng)你各寫(xiě)出兩個(gè)有相同特點(diǎn)的式子 8 一個(gè)數(shù)恰好等于他的全部真因數(shù)的和 叫做完美數(shù)或完全數(shù) 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 等等 你能找到一個(gè)三位的完美數(shù)嗎 第 章 趣引 第 章 趣引 趣味圖形連連看 趣味圖形連連看 1 顛倒圖形 1 顛倒圖形 如圖 人物頭像是廚 師與害羞少女 倒過(guò)來(lái)看 卻是紳士與阿拉伯老翁 2 隱藏圖形 2 隱藏圖形 如圖 是花瓶還是夫 妻 是少女還是巫婆 3 錯(cuò)視圖形 3 錯(cuò)視圖形 如圖 看起來(lái)線段都 是扭曲的 實(shí)際都是直的 有 7 個(gè)正方形 而右下 圖里 平行四邊形里的兩 條對(duì)角線一樣長(zhǎng)嗎 兩條帶箭頭的線段一樣長(zhǎng)嗎 4 魔術(shù)圖形4 魔術(shù)圖形 如圖 正方形有 8 8 格 長(zhǎng)方形有 13 5 格 實(shí)際上長(zhǎng)方形應(yīng)該多一條縫隙 趣味圖形已經(jīng)出現(xiàn)在生活中 比如 NOW NO SWIMS ON MON 是一句廣告 把紙倒過(guò)來(lái)再看看 相同嗎 一 圖形的變化 一 圖形的變化 1 位置變化 全等變換 1 位置變化 全等變換 平移平移 比如纜車(chē) 電梯 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 比如倒影 蝴蝶 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 比如自行車(chē) 風(fēng)車(chē) 觀察漢字 囍 的結(jié)構(gòu)是 怎樣的呢 2 大小變化 相似 形狀不變 2 大小變化 相似 形狀不變 比如同底照片一定相似 兩個(gè)球 一定相似 還有相似的幾何體嗎 3 著色變化 地圖著色 3 著色變化 地圖著色 四色問(wèn)題 任意一幅地圖 區(qū)分 相鄰區(qū)域 至少需要 4 種顏色 1852 年英國(guó)青年數(shù)學(xué)家格思里首先提出 直到1976年才由美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與 哈肯用計(jì)算機(jī)給出證明 4 形狀變化 拉伸 壓縮等 4 形狀變化 拉伸 壓縮等 變形的動(dòng)畫(huà)都是形狀變化 右圖 的貓作了哪些變化呢 練習(xí) 練習(xí) 1 右圖是改動(dòng)的哈佛大學(xué)的入學(xué)試題 空格處填什么呢 2 如圖的甲樹(shù)經(jīng)過(guò)變換可得到乙樹(shù) 是怎樣變換的 3 將右面方格中的圖形 先向上平移 2 格 再向右平移 3 格 然后畫(huà)出它的倒影 4 右面 6 個(gè)相同的樹(shù)葉圖形中 圖形 a 與其他圖形的位 置關(guān)系是怎樣的 5 已知長(zhǎng)4 寬3的長(zhǎng)方形 若長(zhǎng)與寬都拉伸到原來(lái)的1 5 倍 則面積是原來(lái)的多少倍 若將它的寬拉伸或長(zhǎng)壓縮成正 方形 則面積是原來(lái)的多少倍 6 給下列圖形著色 使相鄰兩塊顏色 不同 分別至少需要幾種顏色 二 圖形的剪拼 二 圖形的剪拼 1 1 正方形的剪拼 正方形的剪拼 只要將兩個(gè)正方形如圖拼在一起 使兩邊在一條直線上 在 CE 上 取 CH DE 沿 BH FH 剪開(kāi) 向上 向左平移 2 個(gè) 即可拼成正方形 聯(lián)想 任意多個(gè)不同的正方形都能剪拼成一個(gè)大正方形 聯(lián)想 任意多個(gè)不同的正方形都能剪拼成一個(gè)大正方形 只要逐步剪拼 n 個(gè)可以拼剪成 n 1 個(gè) 最后 2 個(gè)拼成 1 個(gè) 2 長(zhǎng)方形的剪拼 2 長(zhǎng)方形的剪拼 長(zhǎng)方形可能剪拼成一個(gè)正方形嗎 一般是可以的 如圖將 5 1 的長(zhǎng)方形剪 成 4 塊 就可以拼成一個(gè)正方形 注 當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方形的邊之比是無(wú)理數(shù)時(shí)不可以剪拼成一個(gè)正方形 練習(xí) 練習(xí) 7 用三個(gè)小方格組成的圖形叫做 拐 如圖 于是拼一個(gè)長(zhǎng)方形至少要 用2個(gè)拐 拼一個(gè)正方形至少要用 個(gè)拐 用12個(gè)拐可以拼成 種不 同的長(zhǎng)方形 怎樣的長(zhǎng)方形都能用拐拼成 8 俄羅斯方塊是由 四個(gè)相連的小方格組成的圖形 下圖 單獨(dú)用其中的一種 有 種可以用來(lái)拼成 4 4 的正方形 用其中不同的四種拼成 正方形有 9 將正方形分割成完全相同的四塊 最簡(jiǎn)單的有 如圖三種分割法 你還會(huì)畫(huà)出另 1 種分割法嗎 能不 能畫(huà)出更多的分割法 10 將一個(gè)等邊三角形分割成完全相同的三塊 已經(jīng)畫(huà)出 1 種 再畫(huà)出另 3 種分割法 11 如圖是將 2 2 的正方形分割成相同的四塊 再與 1 1 的正方形一起拼成一個(gè)正方形 勾股法 勾股法 1 能否將邊長(zhǎng)為 4 1 的長(zhǎng)方形剪成相同的四塊 與一個(gè) 1 1 的正方形拼成一個(gè)大正方形 如果長(zhǎng)方 形邊長(zhǎng)為 4 3 呢 6 2 呢 2 想想看 什么樣的長(zhǎng)方形都可以剪成相同的四塊 與一個(gè) 1 1 的正方形拼成一 個(gè)大正方形 再想想看 如果小正方形為 a a 呢 12 你會(huì)將 6 1 7 1 8 1 10 1 的長(zhǎng)方形剪成若干塊 再拼成一個(gè)正方形嗎 三 圖與樹(shù)三 圖與樹(shù) 圖是線段構(gòu)成的特殊圖形 1 迷宮迷宮 最早的迷宮在希臘 我國(guó)諸葛亮的 八卦陣 水滸 里的 盤(pán)陀路 都是迷宮 英國(guó)倫敦附近的漢普頓里有一座 1690 年建造的迷宮 如圖 可以在分叉口與死角編號(hào) 得到一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖 這是最簡(jiǎn)單 而抽象的圖 這方法在 圖論 里有深入的研究 圖里沒(méi)有封閉線路 這圖稱為 樹(shù)樹(shù) 2 七橋問(wèn)題與一筆畫(huà) 2 七橋問(wèn)題與一筆畫(huà) 俄國(guó)加里寧格勒 原哥尼斯堡 有條河 河中有座美麗的小 島 河上有 7 座橋 如圖 每座橋只許走一次 能否把它們都 走遍呢 這是 位置幾何 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把橋看作線段 把 A C 兩岸與 B D 兩島看作點(diǎn) 抽象成下面的圖 轉(zhuǎn)化為一筆畫(huà) 奇點(diǎn)與偶點(diǎn)奇點(diǎn)與偶點(diǎn) 分別有奇數(shù) 偶數(shù)條線段連接 由此可見(jiàn) 七橋問(wèn)題無(wú)解 3 最短郵遞路線問(wèn)題 3 最短郵遞路線問(wèn)題 一個(gè)郵遞員投送信件的街道如圖 圖上的數(shù)表示各段街道的 千米數(shù) 他從 A 點(diǎn)出發(fā) 走遍各街道 回到 A 點(diǎn) 如何走最合理 最短路程是多少 現(xiàn)有 8 個(gè)奇點(diǎn) 有 4 段路要重復(fù)走 即 1 千米的各多走 1 次 共 46 千米 4 貨郎擔(dān)問(wèn)題 4 貨郎擔(dān)問(wèn)題 某貨郎家住 B 鎮(zhèn) 想去 A C D E 四鎮(zhèn)賣(mài)貨 這些小鎮(zhèn)之間的 距離 km 已注在圖上 請(qǐng)你幫他找一條最短路線 不要求每條路都走 用最近鄰法求解 B A C E D B 共 5 8 8 2 6 29km 5 哈密爾頓周游世界問(wèn)題 5 哈密爾頓周游世界問(wèn)題 世界上 20 個(gè)大城市分布在右圖的頂點(diǎn) 能否從某城市出發(fā)周游每 個(gè)城市一次 再回到原地 1859 年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓提出并解決 將圖形分成兩塊 圍繞 其中一塊 A B C D E F 邊界轉(zhuǎn)一圈 練習(xí) 練習(xí) 13 請(qǐng)你在右面的迷宮中上邊進(jìn)下邊出 14 下列圖中的點(diǎn)是奇點(diǎn)還是偶點(diǎn) 各有幾個(gè) 能否一筆畫(huà) 15 如圖是動(dòng)物園的平面示意圖 交點(diǎn)處的小圓是一個(gè)參觀點(diǎn) 為方 便游客不走重復(fù)路 打算開(kāi)出兩個(gè)出入口 請(qǐng)問(wèn)出入口應(yīng)該設(shè)在何處 然后再幫游客設(shè)計(jì)一條參觀路線 可以到達(dá)全部參觀點(diǎn) 16 右圖若是某社區(qū)的街道 長(zhǎng)方形 圖上的數(shù)字表示各段街道的 千米數(shù) 從 A 點(diǎn)出發(fā) 走遍各街道 回到 A 點(diǎn) 最短路程是 若右圖的街道轉(zhuǎn)彎處都有一個(gè)報(bào)亭 從 A 點(diǎn)出發(fā) 將報(bào)紙分發(fā)到每 個(gè)報(bào)亭 回到 A 點(diǎn) 最短路程是 17 某風(fēng)景區(qū)的旅游線路如圖 其中 A 為入口處 B C D 為風(fēng)景 點(diǎn) C E 為三岔路的交匯點(diǎn) 圖中所給的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程 單 位 km 某游客從 A 處出發(fā) 以每小時(shí) 4km 的速度步行游覽 每到一個(gè) 景點(diǎn)逗留時(shí)間為半小時(shí) 1 若該游客沿路線 A D C E A 游覽加回到 A 處時(shí) 共用去 3 5h 則 C E 兩點(diǎn)間的路程為 2 若該游客從 A 處出發(fā) 打算在最短時(shí)間內(nèi)游覽完三個(gè)景點(diǎn)并返 回A處 仍按上述步行速度和在景點(diǎn)的逗留時(shí)間 不考慮其他因素 請(qǐng) 你為他設(shè)計(jì)一條步行路線 并計(jì)算需要時(shí)間 18 牛頓植樹(shù)問(wèn)題 牛頓植樹(shù)問(wèn)題 9 棵數(shù) 栽 10 行 每行 3 棵 怎么栽 如圖給 出 1 種栽法 你能畫(huà)出另外 3 種解嗎 畫(huà)出一種也不錯(cuò)啦 第 章 趣引 第 章 趣引 沒(méi)有正反面的紙 沒(méi)有正反面的紙 1858 年 德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯 根紙條扭轉(zhuǎn) 180 后 兩頭再粘接起來(lái)做成的紙 帶圈 只有一個(gè)面 一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲 面而不必跨過(guò)它的邊緣 這種紙帶被稱為 比烏斯帶 它的奇妙處還在于沿它中線剪開(kāi) 得到的是一個(gè)兩倍長(zhǎng)的紙圈 是雙側(cè)面了 再沿它中線剪開(kāi) 套著的紙圈 自己動(dòng)手做做看 一 趣味立體圖形一 趣味立體圖形 1 1 克萊茵瓶 克萊茵瓶 1882 年德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵 和 外部 之分 里外相通的瓶 但制作很困難 2 變幻的圖形 2 變幻的圖形 數(shù)數(shù)看 右圖有幾個(gè)正方體 以黑色為頂面有 6 個(gè)正方體 底面有 7 個(gè)正方體 3 不可能圖形 3 不可能圖形 荷蘭藝術(shù)家埃舍爾畫(huà)了許多捉弄人的 畫(huà) 它們表現(xiàn)了實(shí)際不可能存在的事物 1958 年英國(guó)數(shù)學(xué)家彭羅斯發(fā)明了實(shí)際造不 出來(lái)的三接棍 4 橡皮幾何圖形 4 橡皮幾何圖形 右面是橡皮泥捏出的圖形 洞的圖形 有兩個(gè)洞的圖形 為它們分別是相同的 是等價(jià)的 何圖形進(jìn)行拓?fù)浞诸?練習(xí) 練習(xí) 1 請(qǐng)把下面 16 個(gè)圖形進(jìn)行拓?fù)浞诸?與 一 字等價(jià)的圖形有 等價(jià)的圖形有 個(gè) 2 可以將兩個(gè)正方體骰子 如圖并排放在一起嗎 二 最簡(jiǎn)單的幾何體 二 最簡(jiǎn)單的幾何體 1 旋轉(zhuǎn)體 1 旋轉(zhuǎn)體 一個(gè)平面圖形圍繞平面內(nèi)一條直 線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體 如 球 半圓圍繞直徑旋轉(zhuǎn) 圓柱 矩形圍繞一邊旋轉(zhuǎn) 莫比烏斯發(fā)現(xiàn) 把一 后 兩頭再粘接起來(lái)做成的紙 一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲 這種紙帶被稱為 莫 的奇妙處還在于沿它中線剪開(kāi) 而不再是單側(cè)面 再沿它中線剪開(kāi) 得到兩個(gè)互相 自己動(dòng)手做做看 克萊茵設(shè)計(jì)發(fā)明了一個(gè)沒(méi)有 內(nèi)部 相通的瓶 但制作很困難 右圖有幾個(gè)正方體 個(gè)正方體 以黑色為 荷蘭藝術(shù)家埃舍爾畫(huà)了許多捉弄人的 它們表現(xiàn)了實(shí)際不可能存在的事物 年英國(guó)數(shù)學(xué)家彭羅斯發(fā)明了實(shí)際造不 右面是橡皮泥捏出的圖形 沒(méi)有洞的圖形 有一個(gè) 從拓?fù)涞慕嵌?可以認(rèn) 是等價(jià)的 于是我們可以對(duì)幾 個(gè)圖形進(jìn)行拓?fù)浞诸?其中 個(gè) 與 回 字 可以將兩個(gè)正方體骰子 一個(gè)平面圖形圍繞平面內(nèi)一條直 如 旋轉(zhuǎn) 圓錐 直角三角形圍繞直角邊旋轉(zhuǎn) 圓臺(tái) 直角梯形圍繞直角腰旋轉(zhuǎn) 或圓錐被平行于底面的平面所截得 2 多面體 2 多面體 表面都是多邊形的幾何體 如 棱柱 一個(gè)平面多邊形平移而得的幾何體 棱錐 棱柱的一個(gè)底面收縮為一點(diǎn)所得 棱臺(tái) 棱錐被一個(gè)平行底面截去頂部所得 棱柱 棱錐 棱臺(tái) 按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱 四棱柱 五棱柱等 比如 流星 焰火 運(yùn)動(dòng)的軌跡構(gòu)成一條曲線 汽車(chē)擋風(fēng)玻璃的刮水器運(yùn)動(dòng)時(shí)掃出一 個(gè)扇形面 你能在在生活中找出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線 線運(yùn)動(dòng)成面 面運(yùn)動(dòng)成體的實(shí)例嗎 3 柱體 錐體與組合體 3 柱體 錐體與組合體 柱體 圓柱與棱柱等的統(tǒng)稱 但柱體不只有圓柱與棱柱 錐體 圓錐與棱錐等的統(tǒng)稱 但錐體不只有圓錐與棱錐 組合體 幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的立體圖形 比如 六角螺母 比如 圓柱與圓錐相交得到圓形 在棱柱中 兩個(gè)側(cè)面 相交得到側(cè)棱 在棱錐中 兩條側(cè)棱相交得到頂點(diǎn) 練習(xí) 練習(xí) 3 汽車(chē)輪胎是旋轉(zhuǎn)體嗎 4 在下列陳述中正確的是 A 半圓圍繞直徑旋轉(zhuǎn)得球 B 矩形圍繞一邊旋轉(zhuǎn)得圓柱 C 直角三角形圍繞一邊旋轉(zhuǎn)得圓錐 D 直角梯形圍繞腰旋轉(zhuǎn)得圓臺(tái) 5 任意三角形圍繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一圈 得到 6 在下列陳述中不正確的是 A 多面體至少四個(gè)面 B 四面體是三棱錐 C 三棱錐是四面體 D 三棱柱是五面體 E 長(zhǎng)方體是六面體 F 六面體是長(zhǎng)方體 G 長(zhǎng)方體是四棱柱 H 四棱柱是長(zhǎng)方體 7 右面圖形中柱體是 8 下列陳述正確的是 A 四棱錐的底面是正方形 B 棱柱的底面平行且相同 C 錐體只有圓錐與棱錐 D 柱體都是多面體 9 已知球的表面積 S 4 2 R 體積 V 3 3 4 R 在 R 時(shí)球的表面積與體積數(shù)量相同 10 已知圓柱的體積公式是 V HR2 圓錐的體積公式是 V HR2 3 1 現(xiàn)有直角梯形的 底長(zhǎng)為 1cm 2cm 直角腰長(zhǎng) 1cm 求圍繞它下底旋轉(zhuǎn)一圈得到的幾何體的體積 11 猜想直棱柱 側(cè)棱垂直底面的棱柱 的體積 表面積怎樣計(jì)算 由圓柱與圓錐體積 的關(guān)系 類比猜想棱錐體積的計(jì)算公式 12 用 6 個(gè)火柴盒 設(shè)長(zhǎng) 4 寬 3 高 2cm 拼成一個(gè)長(zhǎng)方體 有幾種拼法 求最大和最小 表面積 三 正多面體與歐拉公式三 正多面體與歐拉公式 1 觀察 n 棱錐與 n 棱柱 n1 觀察 n 棱錐與 n 棱柱 n 2 2 2 正多面體 柏拉圖體 2 正多面體 柏拉圖體 每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形 每個(gè)頂點(diǎn)都有相同棱 數(shù) 只有五種 如圖 觀察各種多面體頂點(diǎn)數(shù) V 棱數(shù) E 面數(shù) F 之間有什么數(shù)量關(guān)系 3 歐拉公式 3 歐拉公式 瑞士數(shù)學(xué)家 自然科學(xué)家歐 拉 16 歲大學(xué)畢業(yè) 20 歲獲法 國(guó)科學(xué)獎(jiǎng) 29 歲解決天文世界 難題 右眼失明 35 歲擔(dān)任柏 林物理數(shù)學(xué)所長(zhǎng) 60 歲雙目失 明 65 歲時(shí)大火燒去他的著作 他憑記憶 由兒子代筆寫(xiě)下了 886 本書(shū)與論文 共 45 卷 數(shù) 學(xué)上很多公式與定理都以他的 名字命名 例例 一個(gè)多面體有 20 個(gè)頂點(diǎn) 每個(gè)頂點(diǎn)都引出 3 條棱 各個(gè)面都是 N 邊形 求 N 解 解 V 20 E 20 3 2 30 根據(jù)歐拉公式 F 2 30 20 12 E 12 N 2 30 N 5 練習(xí) 練習(xí) 13 一個(gè)正方體的表面涂滿了顏色 將它切成 27 個(gè)大小相等的小立方塊 設(shè)其中僅 有i個(gè)面 1 2 3 涂有顏色的小立方塊的個(gè)數(shù)為 i x 則 1 x 2 x 3 x之間的關(guān)系為 14 用顏色區(qū)分多面體各個(gè)面 使相鄰兩個(gè)面的顏色不同 那么下列幾何體至少要用 幾種顏色 填表 15 將正方體截割去一塊 可以得到不同的 幾何體 如圖的截面都是三角形 求這些幾何體 的頂點(diǎn)數(shù) V 面數(shù) F 棱數(shù) E 16 觀察下面的幾何體 求它的頂點(diǎn)數(shù) V 面數(shù) F 棱數(shù) E 否滿足歐拉公式 17 某個(gè)玻璃鉓品的外形是簡(jiǎn)單多面體 它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形 拼接而成 且有 24 個(gè)頂點(diǎn) 每個(gè)頂點(diǎn)處都有 3 條棱 設(shè)該多面體外表三角形的個(gè)數(shù)為 x 個(gè) 八邊形的個(gè)數(shù)為 y 個(gè) 求 x y 的值 18 一個(gè)多面體有 6 個(gè)頂點(diǎn) 每個(gè)頂點(diǎn)都引出 4 條棱 各個(gè)面都是 N 邊形 求 N 第 章 趣引 第 章 趣引 斐波那契與兔子數(shù)列 斐波那契與兔子數(shù)列 斐波那契也許是生活在丟番圖之后 費(fèi)馬之前歐洲最杰出的數(shù)學(xué)家 在他最重 要的著作 算盤(pán)書(shū) 記載了一個(gè)問(wèn)題 某 人飼養(yǎng)一對(duì)小兔子 如果它們每個(gè)月生一 對(duì)兔子 且新生的兔子在第二個(gè)月后也是 每個(gè)月生一對(duì)兔子 問(wèn)一年后共有多少對(duì) 兔子 書(shū)中對(duì)此作了分析 設(shè)新出生的一對(duì)小兔子 第一個(gè)月小兔子沒(méi)有繁殖能力 所以 還是一對(duì) 兩個(gè)月后 生下一對(duì)小兔子 共有兩對(duì) 三個(gè)月以后 老兔子又生下一對(duì) 因?yàn)樾⊥米舆€沒(méi)有繁殖能力 所以一共是三對(duì) 依次類推可以列出下表 數(shù)列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 被稱為 兔子數(shù)列 有趣味的是 蜜蜂的繁殖 植物的生長(zhǎng) 花瓣的數(shù)目 薊的果實(shí)旋轉(zhuǎn)的螺旋分別有 13 條 21 條 等大自然現(xiàn)象也都符合這個(gè)規(guī)律 就是生物學(xué)上著名的 魯?shù)戮S格定律 兔子數(shù)列有很多規(guī)律 見(jiàn)沈康身著 歷史數(shù)學(xué)名題賞析 1963 年美國(guó)還創(chuàng)刊 斐 波那契季刊 用來(lái)專門(mén)研究斐波那契數(shù)列 又發(fā)現(xiàn)了與斐波那契數(shù)列的很多奇妙性質(zhì) 一 數(shù)列的規(guī)律 一 數(shù)列的規(guī)律 1 兔子數(shù)列的規(guī)律 1 兔子數(shù)列的規(guī)律 仔細(xì)觀察 不難發(fā)現(xiàn)兔子數(shù)列從第二項(xiàng)起 后項(xiàng)與前面項(xiàng) 有固定的遞推公式遞推公式 如右 如果你任意挑兩個(gè)數(shù)為起始 然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去 此類數(shù)列必然是斐波那契數(shù)列的某項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)的倍數(shù) 而且 將斐波那契數(shù)列前一項(xiàng)與后一項(xiàng)求比 可以發(fā)現(xiàn)越來(lái)越接近黃 金分割數(shù) 0 618 2 等差數(shù)列 2 等差數(shù)列 數(shù)列從第二項(xiàng)起 后項(xiàng) 前項(xiàng) 常數(shù) d 公差 稱為等差數(shù)列等差數(shù)列 例 例 2 5 8 11 14 17 通項(xiàng) an 2 3 n 1 3 等比數(shù)列 3 等比數(shù)列 數(shù)列從第二項(xiàng)起 后項(xiàng) 前項(xiàng) 常數(shù) q 公比 稱為等比數(shù)列等比數(shù)列 例例 1 4 16 64 256 1024 通項(xiàng) an 4 n 1 練習(xí) 練習(xí) 1 填空 然后寫(xiě)出下列數(shù)列的第 n 項(xiàng) 用 n 表示 an n 1 2 3 是正整數(shù) 1 2 7 12 17 22 通項(xiàng) an 2 68 61 54 47 40 通項(xiàng) an 3 1 3 9 27 81 通項(xiàng) an 4 1 2 1 4 1 8 1 通項(xiàng) an 5 0 3 8 15 24 通項(xiàng) an 6 1 3 6 10 15 通項(xiàng) an 2 填空 然后寫(xiě)出下列數(shù)列的后項(xiàng)與前面項(xiàng)的關(guān)系 1 2 3 5 8 12 規(guī)律 2 0 1 3 8 21 規(guī)律 3 觀察數(shù)列 寫(xiě)出指定的項(xiàng) 1 2 3 5 7 11 13 第 10 項(xiàng)是 質(zhì)數(shù)列 質(zhì)數(shù)列 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 第 1000 項(xiàng)是 循環(huán)數(shù)列 循環(huán)數(shù)列 4 瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù) 5 9 12 16 21 25 32 36 中 得到巴爾末公式 從而打開(kāi)了光譜奧妙的大門(mén) 請(qǐng)你按這種規(guī)律寫(xiě)出第 n 個(gè)數(shù)據(jù)是 5 數(shù)字解密 小說(shuō) 達(dá) 芬奇密碼 中從盧浮宮博物館館長(zhǎng)被殺場(chǎng)面開(kāi)始 兇殺在現(xiàn) 場(chǎng)留下了如下的神秘?cái)?shù)字 13 3 2 21 1 1 8 5 請(qǐng)你判斷這是 數(shù)列 6 陽(yáng)陽(yáng)和明明玩上樓梯游戲 規(guī)定一步只能上一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階 他們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)樓梯的 臺(tái)階數(shù)為一級(jí)時(shí)只有 1 種上樓梯的方法 臺(tái)階數(shù)為二級(jí)時(shí)有 2 種上法 臺(tái)階數(shù)為三級(jí)時(shí) 可以從一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階跨上去 共有 3 種上法 那么上十級(jí)臺(tái)階共有 種上法 二 賈憲三角與數(shù)陣二 賈憲三角與數(shù)陣 1 賈憲三角 三角形陣 1 賈憲三角 三角形陣 我國(guó)北宋時(shí)期 數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)作了 平方作法本源圖 如圖 稱為 賈憲三角 遺憾的是他的著作 黃帝九章算法細(xì)草 已經(jīng)失傳 我們所見(jiàn)到的圖是數(shù)學(xué)家楊輝的名 著 詳解九章算法 中保存的 在歐洲 這圖形稱為 帕斯卡三角 一般認(rèn)為這是帕 斯卡 1623 1662 發(fā)明的 其實(shí)德國(guó)人阿批納斯 1495 1552 曾經(jīng)把這個(gè)圖形刻在 1527 年著的一本算術(shù)書(shū)的封面上 賈憲三角的發(fā)現(xiàn) 我國(guó)比歐洲至少要早 500 年 將賈憲三角變換一下形式 可以看作幾個(gè)數(shù)列的組合 橫看成嶺側(cè)成峰 兔子數(shù) 列在其中 例例 1 寫(xiě)出賈憲三角的第 8 行 1 7 21 35 35 21 7 1 2 觀察第幾行的數(shù)全部是奇數(shù) 用n表示你觀察到的規(guī)律 第 2 n 行的數(shù)全部是奇 數(shù) 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 第 32 行 62 行 63 行 行有 32 個(gè)奇數(shù) 至少寫(xiě)出兩行 2 矩陣 長(zhǎng)方形陣 2 矩陣 長(zhǎng)方形陣 矩陣是指縱橫排列的長(zhǎng)方形數(shù)據(jù)表格 這一概念由 19 世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提 出 矩陣概念在數(shù)學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)踐中有著許多應(yīng)用 例例 仔細(xì)觀察如圖表格 如果用 m 行第 n 列的位置 那么 1 位置表示為 6 37 的數(shù)是 2 2000 在這個(gè)表中的位置可以表示為 3 試用 m 與 n 表示第 m 行第 練習(xí) 練習(xí) 7 下表是某月的月歷 1 陰影方框中 9 個(gè)數(shù)與該方框中間數(shù)有什么等量關(guān)系 2 這個(gè)關(guān)系對(duì)其他方框成立嗎 3 這關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的月歷都成立嗎 還能提出哪些問(wèn)題 找到哪些規(guī)律 8 觀察表一 表二 表三 分別為 9 右上邊是一個(gè)有規(guī)律排列的數(shù)表 是 第 n 行第 n 列的數(shù)是 10 如圖三角形陣是由正整數(shù)組成的 序數(shù)對(duì) n m 表示第 n 行 從左到右第 數(shù)對(duì)是 第 10 行的和是 13 則中間列第 10 個(gè)數(shù)是 11 世界上著名的萊布尼茨三角形由分 數(shù)構(gòu)成 如圖 則排在第 10 3 個(gè)位置上的數(shù)是 12 右面是一個(gè)由數(shù)字組成的三角形 據(jù)它的組成規(guī)律 確定其中 是 三 數(shù)的運(yùn)算規(guī)律 三 數(shù)的運(yùn)算規(guī)律 在數(shù)的同類運(yùn)算中 也可以找出運(yùn)算的規(guī)律 推測(cè)同類運(yùn)算中的未知數(shù) 例例 下面表格提供的信息是有規(guī)律的 求 解 解 1 觀察前兩行 1 2 推測(cè)第三行 x 2 3 2 4 1 3 9 5 3 練習(xí) 練習(xí) 13 根據(jù)表格中數(shù)字的規(guī)律 14 填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的 運(yùn)算規(guī)律 根據(jù)此規(guī)律 m 的值是 15 如下表 從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè) 數(shù) 使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等 仔細(xì)觀察如圖表格 如果用 m n 表示一個(gè)數(shù)在表中第 的數(shù)是 2336 在這個(gè)表中的位置可以表示為 5 63 行第 n 列的數(shù) am n 2 m 1 2n 1 個(gè)數(shù)與該方框中間數(shù)有什么等量關(guān)系 這個(gè)關(guān)系對(duì)其他方框成立嗎 說(shuō)明理由 這關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的月歷都成立嗎 為什么 你 找到哪些規(guī)律 表三 表四分別是從表一中截取的一部分 其中 右上邊是一個(gè)有規(guī)律排列的數(shù)表 第 20 行第 21 列的數(shù) 列的數(shù)是 如圖三角形陣是由正整數(shù)組成的 金字塔 式的排列 若有 從左到右第 m 個(gè)數(shù) 則表示 17 的有序?qū)?行的和是 中間一列的數(shù)是 1 5 個(gè)數(shù)是 世界上著名的萊布尼茨三角形由分 10 行從左邊數(shù)第 右面是一個(gè)由數(shù)字組成的三角形 根 確定其中 的值應(yīng)該 同類運(yùn)算中 也可以找出運(yùn)算的規(guī)律 推測(cè)同類運(yùn)算中的未知數(shù) 提供的信息是有規(guī)律的 求 x y 1 2 3 9 3 2 3 15 2 3 2 10 3 4 8 4 2 y 6 y 3 中數(shù)字的規(guī)律 x y 填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的 的值是 從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整 格子中所填整數(shù)之和都相等 其中 a b c 的值 同類運(yùn)算中 也可以找出運(yùn)算的規(guī)律 推測(cè)同類運(yùn)算中的未知數(shù) 則第 2000 個(gè)格子中的數(shù)為 16 先找規(guī)律 再填數(shù) 已知 2 1 1 1 2 1 1 1 12 1 2 1 4 1 3 1 30 1 3 1 6 1 5 1 56 1 4 1 8 1 7 1 則有 2012 1 2011 1 20122011 1 17 已知等式 a b a b 2 1010 a b 為正整數(shù) 則 a b 的值不可能是 A 109 B 218 C 326 D 436 請(qǐng)你根據(jù)等式 3 2 2 3 2 2 2 8 3 3 8 3 3 2 15 4 4 15 4 4 2 24 5 5 24 5 5 2 用 n 表 示出第 n 個(gè)等式 18 下邊是由和組成的等式 請(qǐng)你寫(xiě)出下一個(gè)等式 再猜一猜 第 n 個(gè)等式 一 棋盤(pán)上的正方形 一 棋盤(pán)上的正方形 1 從小到大找規(guī)律 1 從小到大找規(guī)律 例例 國(guó)際象棋盤(pán)上的正方形的個(gè)數(shù) 解 解 先數(shù) 2 2 3 3 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 正方形有 1 2 22 32 82 204 個(gè) 一般 n n 的正方形共有正方形的總數(shù)是 1 2 22 32 n2 6 1 n n 1 2n 1 2 由此及彼看聯(lián)系 從數(shù)線段到數(shù)長(zhǎng)方形 2 由此及彼看聯(lián)系 從數(shù)線段到數(shù)長(zhǎng)方形 例例 國(guó)際象棋盤(pán)上的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù) 解解 先數(shù)線段 AB 上如有 1 個(gè)點(diǎn) 共 3 個(gè)點(diǎn) 有 3 條線段 如有 2 個(gè)點(diǎn) 共 4 個(gè) 點(diǎn) 有 6 條線段 國(guó)際象棋盤(pán)上的長(zhǎng)與寬都有 9 個(gè)點(diǎn) 各有 36 條線段 因此長(zhǎng)方 形有 1296 個(gè) 一般地 若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)里有 n 條線段 寬里有 k 條線段 則長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù) nk 練習(xí) 練習(xí) 1 圍棋盤(pán) 18 18 格 上有 個(gè)正方形 2 中國(guó)象棋盤(pán)上有 個(gè)正方形 河界上沒(méi)有線條 3 右圖中共有 個(gè)長(zhǎng)方形 4 類比數(shù)線段方法數(shù)角 過(guò)一個(gè)銳角 AOB 的頂點(diǎn)O在它的內(nèi)部畫(huà)99條射線 構(gòu)成 個(gè) 銳角 一般地 過(guò)一個(gè)銳角的頂點(diǎn)在它的內(nèi)部 畫(huà) n 條射線 構(gòu)成 個(gè)銳角 5 數(shù)三角形 一個(gè) ABC 底邊 BC 上有 2 個(gè)點(diǎn) D E 畫(huà) 1 條與底 邊平行的線段 如圖 構(gòu)成三角形 個(gè) 畫(huà) 99 條與底邊平行的線 段 構(gòu)成三角形 個(gè) 6 火柴的排列 4 根火柴只能構(gòu)成 1 個(gè)單位正方形 邊長(zhǎng)為 1 根火 柴長(zhǎng)的正方形 用 7 根火柴可構(gòu)成 2 個(gè)單位正方形 如圖 1 至少用 根火柴可構(gòu)成 3 個(gè)單位正方形 2 至少用 根火柴可構(gòu)成 4 個(gè)單位正方形 3 至少用 根火柴可構(gòu)成 5 個(gè)單位正方形 4 至少用 根火柴可構(gòu)成 5 個(gè)正方形 5 用 8 根火柴最多可構(gòu)成 個(gè)正方形 6 在空間 用 12 根火柴最多可構(gòu)成 個(gè)單位正方形 二 二 圖形排列的規(guī)律 圖形排列的規(guī)律 1 點(diǎn)列 1 點(diǎn)列 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯用小石子 排列成三角形 正方形等圖形 并研究 其規(guī)律 1 三角形數(shù) 1 三角形數(shù) n 個(gè)正整數(shù)的和 2 正方形數(shù) 2 正方形數(shù) n 個(gè)奇數(shù)的和 3 長(zhǎng)方形數(shù) 3 長(zhǎng)方形數(shù) n 個(gè)偶數(shù)的和 4 圖形數(shù)的關(guān)系 4 圖形數(shù)的關(guān)系 2 個(gè)三角形數(shù)和 長(zhǎng)方形數(shù) 2個(gè)相鄰的三角形數(shù)和 正方形數(shù) 2 平面圖形的排列 2 平面圖形的排列 例例 在下圖中 每個(gè)正方形由邊長(zhǎng)為 1 的小正方形組成 1 觀察圖形 請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下列表格 2 在邊長(zhǎng)為 n n 0 的正方形中 設(shè)黑色小 正方形的個(gè)數(shù)為 P1 白色小正方形的個(gè)數(shù)為 P2 問(wèn)是否存在偶數(shù) n 使 P2 5P1 若存在 請(qǐng)寫(xiě) 出 n 的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解解 2 由 1 可知 n 為偶數(shù)時(shí) P1 2n P2 n 2 2n 由題意得 n2 2n 5 2n 即 n2 12n 0 n 12 n 0 舍 存在偶數(shù) n 12 這時(shí)有 144 個(gè)小正方形 黑的 24 個(gè) 使得 P2 5P1 3 立體圖形的排列 3 立體圖形的排列 例例 三棱錐數(shù) 如圖是棱長(zhǎng)為 1 的小正方體 或球 堆放成的 按照這樣的方法繼續(xù)堆放 由上而下分別叫第一層 第二層 設(shè)第 n 層的小正方體 或球 的個(gè)數(shù)為 k 寫(xiě)出 k 與 n 的關(guān)系式 k 2 1 n n 1 練習(xí) 練習(xí) 7 如圖是五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形 照此 規(guī)律閃爍 下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是 8 根據(jù)圖中箭頭指向的規(guī)律 從 2004 到 2005 再到 2006 箭頭的方向是 9 觀察圖形 按此排列 第 5000 個(gè)圖形是 10 觀察下列圓的排列規(guī)律 從第 1 個(gè)圓起到第 10000 個(gè)圓止共有實(shí)心圓 個(gè) 11 右表中給出了 8 個(gè)圖列 每個(gè)圖列給出了 3 個(gè) 按一定規(guī)律擺放的圖形 根據(jù)問(wèn)題的要求 填空 1 第 n 個(gè)圖形中所有正方形的個(gè)數(shù)是 2 第 n 個(gè)圖形中所有三角形的個(gè)數(shù)是 3 第 n 個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 4 第 n 個(gè)圖形中小圓圈有 個(gè) 5 圖列中 和 的個(gè)數(shù)相等的圖形是 第 個(gè) 6 當(dāng)每邊擺 n 根火柴棒時(shí) 共需擺火柴棒 根 7 第 n 個(gè)圖形中底層小立方體的個(gè)數(shù)是 8 將每個(gè)圖形露出的表面都涂上顏色 底面不涂 色 則第 n 個(gè)圖形中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共 有 個(gè) 12 將長(zhǎng) 寬 高分別為 a b c 的長(zhǎng)方體 a b c 均為正整數(shù) 表面刷上紅漆 再將它分割成邊長(zhǎng) 為 1 的小正方體 求一面 兩面 三面有紅色的小正 方體各有多少個(gè) 三 圖形變化的規(guī)律 三 圖形變化的規(guī)律 1904 年 瑞典數(shù)學(xué)家科克創(chuàng)造了一種用幾何圖形描述雪花的方法 他先畫(huà)一個(gè)正三 角形 然后把每邊三等分 在中間的一段上向外畫(huà)一個(gè)正三角形 生長(zhǎng)一次 如此進(jìn)行 如圖 這樣就畫(huà)出了一個(gè)邊界變得越來(lái)越細(xì)微曲折的美麗的圖形 它被人們稱為雪花 曲線 它有有限的面積但有無(wú)限的周長(zhǎng) 這種變化稱為分形分形 例例 求雪花曲線的周長(zhǎng) 解解 注意觀察正三角形每條邊的 變化 圖形每生長(zhǎng)一次 周長(zhǎng)是原來(lái) 的 3 4 倍 歸納可得 生長(zhǎng) n 次 周長(zhǎng)是原來(lái)的 n 3 4 倍 練習(xí) 練習(xí) 13 如圖 多邊形 是由正三角形分形而來(lái) 邊數(shù) 為 12 中多邊形是由正方形分形而來(lái) 依此類 推 則由正 n 邊形分形而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為 14 如圖 將正方形畫(huà)線分成 4 個(gè)小正方形 得到 5 個(gè)正方形 然后 將其中的一個(gè)正方形再畫(huà)線分成 4 個(gè)正方形 共得到 9 個(gè)正方形 如此 n 次畫(huà)線 可以得到 個(gè)正方形 15 如圖 將一張正方形紙片剪成 4 個(gè)小正方形 然后 將其中的一 個(gè)正方形再剪成 4 個(gè)小正方形 共得到 7 個(gè)小正方形 如此剪了 n 次 共得到 2011 個(gè)小正方形 則 n 16 某中學(xué)課外科技小組們?cè)O(shè)計(jì)制作了一個(gè)電動(dòng)智能玩具 玩具中的 四個(gè)動(dòng)物小魚(yú) 小牛 燕 子和熊貓分別在 1 2 3 4 號(hào)位置上 如圖 玩具 的程序是 讓四個(gè)動(dòng)物按 圖中所示的規(guī)律變換位置 第一次上 下兩排交換位置 第二次是在第一次換位后 再左 右兩列交換位置 第三 次再上 下兩排交換位置 第四次再左 右兩列交換位置 按這種規(guī)律 一直交換下去 那么第 2008 次交換位置后 熊貓所在位置的號(hào)碼是 號(hào) 17 將 ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍 連結(jié)所得端點(diǎn) 得到 DEF 如圖 此時(shí) 我們稱 ABC向外擴(kuò)展了一次 可以發(fā)現(xiàn) 擴(kuò)展一次后得到的 DEF 的面積是原來(lái) ABC面積的 倍 由此探究 如果將 A