普通高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用精品學(xué)案.doc

2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一課標(biāo)要求：1平面向量的數(shù)量積通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。二命題走向本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值59分。平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。預(yù)測2013年高考：（1）一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。（2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；三要點(diǎn)精講1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則aa（）叫與的夾角；說明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0q180。c（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=r，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積。（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：；對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個向量，則=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：o，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。2向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。四典例解析題型1：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。點(diǎn)評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零。例2（1）若、為任意向量，mr，則下列等式不一定成立的是（ ）a bcm（）=m+m d（2）設(shè)、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（）（）= | （）（）不與垂直 （3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）a. b. c. d.解析：（1）答案：d；因?yàn)?，而；而方向與方向不一定同向。（2）答案：d平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故假；由向量的減法運(yùn)算可知|、|、|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因?yàn)椋ǎǎ?（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立。故真。點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。題型2：向量的夾角例3（1）已知向量、滿足、，且，則與的夾角為（ ）a b c d（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是 。（3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）a30b60c120d150解析：（1）c；（2）；（3）由題意，且與的夾角為，所以，同理可得。而，設(shè)為與的夾角，則。（4）c；設(shè)所求兩向量的夾角為即：所以點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時(shí)要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握。例4（1）設(shè)平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）a+= b-+=c+-= d+=（2）已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是（ ）a b c d解析：（1）d；（2）b；點(diǎn)評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問題。題型3：向量的模例5（1）已知向量與的夾角為，則等于（ ） a5b4c3d1（2）設(shè)向量滿足,則（ ）a1 b2 c4 d5解析：（1）b；（2）d；點(diǎn)評：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；將變形代入可得：y=；再代回得：。點(diǎn)評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。題型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，則 。解析：，。例8已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例9已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。 證明：設(shè) 則。點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。例10已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長度相等，求。 解析：（1）因?yàn)?所以與互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因?yàn)椋?所以， 有， 因?yàn)?，故?又因?yàn)?，所以。點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例11已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)p（x，y）使得，成公差小于零的等差數(shù)列。（1）求證；（2）若點(diǎn)p的坐標(biāo)為，記與的夾角為，求。解析：（1）略解：，由直接法得（2）當(dāng)p不在x軸上時(shí)，而所以，當(dāng)p在x軸上時(shí)，上式仍成立。圖1點(diǎn)評：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。例12用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，ab是o的直徑，點(diǎn)p是o上任一點(diǎn)（不與a、b重合），求證：apb90。證明：聯(lián)結(jié)op，設(shè)向量，則且，即apb90。點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用例13如圖所示，正六邊形pabcde的邊長為b，有五個力、作用于同一點(diǎn)p，求五個力的合力。解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以pa、pe為邊作平行四邊形paoe，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且o點(diǎn)在pc上，以pb、pd為邊作平行四邊形pbfd，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且f點(diǎn)在pc的延長線上。由正六邊形的性質(zhì)還可求得故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。五思維總結(jié)1兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定；（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若0，且=0，不能推出=。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0；（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c。但是= ；如右圖：= |cosb = |oa|，c = |c|cosa = |oa| =，但 ； (5)在實(shí)數(shù)中，有() = ()，但是() ()，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長；求夾角；判垂直；4注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想方法。由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學(xué)習(xí)過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識?；瘹w轉(zhuǎn)化的思想方法。向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問題也可以運(yùn)用向量知識去解決。分類討論的思想方法。如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)p的位置不同，可以大于零，也可以小于零。5突出向量與其它數(shù)學(xué)知識的交匯“新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其