江蘇省南京市高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試蘇教版.doc

南京市2015屆高三年級第三次模擬考試數(shù) 學(xué) 注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、班級、學(xué)校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi錐體的體積公式：vsh，其中s為錐體的底面積，h為錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上1已知復(fù)數(shù)z1，其中i為虛數(shù)單位，則z的模為 2經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下：排隊人數(shù)012345概率0.10.160.30.30.10.04則該營業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時，至少有2人排隊的概率是 3若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值是 ns40開始k1kk1s0y輸出k結(jié)束ss2k（第4題圖）4右圖是一個算法流程圖，則輸出k的值是 5如圖是甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次訓(xùn)練成績（單位：環(huán)）的莖葉圖，則 甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9789（第5題圖）成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑倪\(yùn)動員是 6記不等式x2x60的解集為集合a，函數(shù)ylg(xa)的定義域為集合b若“xa”是“xb”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為 7在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過雙曲線c：x21的右焦點(diǎn)f作x軸的垂線l，則l與雙曲線c的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是 8已知正六棱錐pabcdef的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，則此六棱錐的體積為 9在abc中， abc120，ba2，bc3，d，e是線段ac的三等分點(diǎn)，則的值為 10記等差數(shù)列an的前n項和為sn若sk18，sk0，sk110，則正整數(shù)k 11若將函數(shù)f(x)sin(wx)(w0)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù) ，則實數(shù)w的最小值是 12已知x，y為正實數(shù)，則的最大值為 13在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓c的方程為(x1)2(y1)29，直線l：ykx3與圓c相交于a，b兩點(diǎn)，m為弦ab上一動點(diǎn)，以m為圓心，2為半徑的圓與圓c總有公共點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍為 14已知a，t為正實數(shù)，函數(shù)f(x)x22xa，且對任意的x0，t，都有f(x)a，a若對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g(a)，則函數(shù)g(a)的值域為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c已知acoscccosa2bcosa（1）求角a的值；（2）求sinbsinc的取值范圍16（本小題滿分14分）在四棱錐pabcd中，bcad，papd，ad2bc，abpb， e為pa的中點(diǎn) （第16題圖）pabcde （1）求證：be平面pcd； （2）求證：平面pab平面pcd17（本小題滿分14分）如圖，摩天輪的半徑oa為50m，它的最低點(diǎn)a距地面的高度忽略不計地面上有一長度為240m的景觀帶mn，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且am60m點(diǎn)p從最低點(diǎn)a處按逆時針方向轉(zhuǎn)動到最高點(diǎn)b處，記aopq，q (0，)（1）當(dāng)q 時，求點(diǎn)p距地面的高度pq；（2）試確定q 的值，使得mpn取得最大值（第17題圖）amnbopqq18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓c的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，右準(zhǔn)線l：xm1與x軸的交點(diǎn)為b，bf2m （1）已知點(diǎn)(，1)在橢圓c上，求實數(shù)m的值；（2）已知定點(diǎn)a(2，0)若橢圓c上存在點(diǎn)t，使得，求橢圓c的離心率的取值范圍；當(dāng)m1時，記m為橢圓c上的動點(diǎn)，直線am，bm分別與橢圓c交于另一點(diǎn)p，q，xyaobmpq（第18題圖）f2f1l若 ，m，求證：m為定值19(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)x2xt，t0，g(x)lnx（1）令h(x)f(x)g(x)，求證：h(x)是增函數(shù)；（2）直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切對于確定的正實數(shù)t，討論直線l的條數(shù)，并說明理由20（本小題滿分16分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項的和為sn，且對任意的m，nn*，都有(smns1)24a2ma2n （1）求的值；（2）求證：an為等比數(shù)列；（3）已知數(shù)列cn，dn滿足|cn|dn|an，p(p3)是給定的正整數(shù)，數(shù)列cn，dn的前p項的和分別為tp，rp，且tprp，求證：對任意正整數(shù)k(1kp)，ckdk南京市2015屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2015.05注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、學(xué)校寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在a、b、c、d四小題中只要選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修41：幾何證明選講如圖，ab，ac是o的切線，ade是o的割線，求證：be cdbd ceadbceo（第21a題圖）b選修42：矩陣與變換已知矩陣a，直線l：xy40在矩陣a對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xy2a0（1）求實數(shù)a的值；（2）求a2c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓c：r4 cosq 與直線l：q (rr)交于a，b兩點(diǎn)，求以ab為直徑的圓的極坐標(biāo)方程d選修45：不等式選講已知實數(shù)x，y滿足xy，求證：2x 2y3【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）pabcd如圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，adbc，abad，bc，ab1，bdpa2（1）求異面直線bd與pc所成角的余弦值；（2）求二面角apdc的余弦值23（本小題滿分10分）已知集合a是集合pn1，2，3，n (n3，nn*)的子集，且a中恰有3個元素，同時這3個元素的和是3的倍數(shù)記符合上述條件的集合a的個數(shù)為f(n)（1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n的式子表示）南京市2015屆高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.05說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1 20.74 34 46 5甲6(，3 74 812 9 109 11 12 13，) 14(0，1)2二、解答題：本大題共6小題，共90分15解：（1）因為acoscccosa2bcosa，所以sinacoscsinccosa2sinbcosa，即sin(ac)2sinbcosa因為abc，所以sin(ac)sinb從而sinb2sinbcosa 4分因為sinb0，所以cosa因為0a，所以a 7分（2）sinbsincsinbsin(b)sinbsincosbcossinbsinbcosbsin(b) 11分因為0b，所以b所以sinbsinc的取值范圍為(， 14分16證明：（1）取pd的中點(diǎn)f，連接ef，cfpabcdef（第16題圖）因為e為pa的中點(diǎn)，所以efad，efad因為bcad，bcad，所以efbc，efbc所以四邊形bcfe為平行四邊形所以becf 4分因為be平面pcd，cf平面pcd，所以be平面pcd 6分（2）因為abpb，e為pa的中點(diǎn)，所以pabe因為becf，所以pacf 9分因為papd，pd平面pcd，cf平面pcd，pdcff，所以pa平面pcd 12分因為pa平面pab，所以平面pab平面pcd 14分17解：（1）由題意，得pq5050cosq 從而，當(dāng)q 時，pq5050cos75即點(diǎn)p距地面的高度為75m 4分（2）（方法一）由題意，得aq50sinq ，從而mq6050sinq ，nq30050sinq 又pq5050cosq ，所以tannpq ，tanmpq 6分從而tanmpntan(npqmpq) 9分令g(q ) ，q (0，)，則g(q) ，q (0，)由g(q)0，得sinq cosq 10，解得q 11分當(dāng)q (0，)時，g(q )0，g(q )為增函數(shù)；當(dāng)q (，p)時，g(q )0，g(q )為減函數(shù)，所以，當(dāng)q 時，g(q )有極大值，也為最大值因為0mpqnpq，所以0mpn，從而當(dāng)g(q )tanmpn取得最大值時，mpn取得最大值即當(dāng)q 時，mpn取得最大值 14分（方法二）以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，am為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則圓o的方程為 x2(y50)2502，即x2y2100y0，點(diǎn)m(60，0)，n(300，0)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (x0，y0)，所以q (x0，0)，且x02y02100y00從而tannpq ，tanmpq 6分從而tanmpntan(npqmpq) 由題意知，x050sinq ，y05050cosq ，所以tanmpn 9分（下同方法一）18解：（1）設(shè)橢圓c的方程為 1(ab0)由題意，得 解得 所以橢圓方程為1 因為橢圓c過點(diǎn)(，1)，所以1，解得m2或m (舍去）所以m2 4分（2）設(shè)點(diǎn)t(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 6分由 得y2m2m因此0m2mm，解得1m2所以橢圓c的離心率e， 10分（方法一）設(shè)m(x0，y0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)則(x02，y0)，(x12，y1)由l， 得 從而 12分因為y021，所以(ly1)21即l2(y12)2l(l1)x12(l1)210因為 y121，代入得2l (l1)x13l24l10由題意知，l1，故x1，所以x0 同理可得x0 14分因此，所以lm6 16分（方法二）設(shè)m(x0，y0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)直線am的方程為y(x2)將y(x2)代入y21，得(x02)2y)x24yx4y(x02)2 0(*)因為y021，所以（*）可化為(2x03)x24yx3x4x00因為x0x1，所以x1同理x2 14分因為l，m，所以lm6即m為定值6 16分19解：（1）由h(x)f(x)g(x)x2xtlnx，得h (x)2x1，x0因為2x22，所以h (x)0， 從而函數(shù)h(x)是增函數(shù) 3分（2）記直線l分別切f(x)，g(x)的圖象于點(diǎn)(x1，x12x1t)，(x2，lnx2)，由f(x)2x1，得l的方程為y(x12x1t)(2x11)(xx1)，即y(2x11)xx12t由g(x)，得l的方程為ylnx2(xx2)，即y xlnx21所以(*) 消去x1得lnx2(t1)0 (*) 7分令f(x)lnx(t1)，則f(x)，x0由f(x)0，解得x1當(dāng)0x1時，f(x)0，當(dāng)x1時，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，從而f(x)minf(1)t 9分當(dāng)t0時，方程(*)只有唯一正數(shù)解，從而方程組(*)有唯一一組解，即存在唯一一條滿足題意的直線； 11分當(dāng)t0時，f(1)0，由于f(et1)ln(et1)(t1)0，故方程(*)在(1，)上存在唯一解； 13分令k(x)lnx1(x1)，由于k (x)0，故k (x)在(0，1上單調(diào)遞減，故當(dāng)0x1時，k (x)k (1)0，即lnx1，從而lnx (t1)()2t所以f()()2t0，又01，故方程(*)在(0，1)上存在唯一解所以當(dāng)t0時，方程(*)有兩個不同的正數(shù)解，方程組(*)有兩組解即存在兩條滿足題意的直線綜上，當(dāng)t0時，與兩個函數(shù)圖象同時相切的直線的條數(shù)為1；當(dāng)t0時，與兩個函數(shù)圖象同時相切的直線的條數(shù)為2 16分20解：（1）由(smns1)24a2na2m，得(s2s1)24a，即(a22a1)24a因為a10，a20，所以a22a1a2，即2 3分證明：（2）（方法一）令m1，n2，得(s3s1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得s4s12a4，即2a1a2a3a4所以a44a28a1又因為2，所以a34a1 6分由(smns1)24a2na2m，得(sn1s1)24a2na2，(sn2s1)24a2na4兩式相除，得，所以2即sn2s12(sn1s1)，從而sn3s12(sn2s1)所以an32an2，故當(dāng)n3時，an是公比為2的等比數(shù)列又因為a32a24a1，從而ana12 n1，nn*顯然，ana12 n1滿足題設(shè)，因此an是首項為a1，公比為2的等比數(shù)列 10分（方法二）在(smns1)24a2na2m中，令mn，得s2ns12a2n 令mn1，得s2n1s12 ， 在中，用n1代n得，s2n2s12a2n2 ，得a2n122a2n2()， ，得a2n22a2n222()， 由得a2n1 8分代入，得a2n12a2n；代入得a2n22a2n1，所以2又2，從而ana12 n1，nn*顯然，ana12 n1滿足題設(shè)，因此an是首項為a1，公比為2的等比數(shù)列 10分（3）由（2）知，ana12 n1因為|cp|dp|a12p1，所以cpdp或cpdp若cpdp，不妨設(shè)cp0，dp0，則tpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10rpa12p1(a12p2a12p3a1)a12p1a1(2p11)a10這與tprp矛盾，所以cpdp從而tp1rp1由上證明，同理可得cp1dp1如此下去，可得cp2dp2，cp3dp3，c1d1即對任意正整數(shù)k(1kp)，ckdk 16分南京市2015屆高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2015.0521【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分 a選修41：幾何證明選講證明：因為ab是o的切線，所以abdaeb又因為badeab，所以badeab所以 5分同理，. 因為ab，ac是o的切線，所以abac因此，即be cdbd ce 10分b選修42：矩陣與變換解：（1）設(shè)直線l上一點(diǎn)m0(x0，y0)在矩陣a對應(yīng)的變換作用下變?yōu)閘 上點(diǎn)m(x，y)，則， 所以 3分代入l 方程得(ax0y0)(x0ay0)2a0，即(a1)x0(a1)y02a0因為(x0，y0)滿足x0y040，所以4，解得a2 6分（2）由a，得a2 10分c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解： 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓c的直角坐標(biāo)方程 x2y24x0，直線l的直角坐標(biāo)方程 yx 4分由 解得或 所以a(0，0)，b(2，2)從而以ab為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22，即x2y22x2y 7分將其化為極坐標(biāo)方程為：r22r(cosqsinq)0，即r2(cosqsinq) 10分d選修45：不等式選講證明：因為xy，所以xy0，從而左邊(xy)(xy)2y32y2y3右邊 即原不等式成立 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分22解：（1）因為pa平面abc