大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)(韓可芳)習(xí)題參考-第3章(剛體力學(xué)基礎(chǔ))-0425.doc

第三章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)思考題3-1 一個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)著的剛體有非零的角速度和角加速度。剛體中的質(zhì)點(diǎn)A 離轉(zhuǎn)軸的距離是質(zhì)點(diǎn)B的兩倍，對質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B，以下各量的比值是多少？（1）角速率；（2）線速率；（3）角加速度的大小；（4）加速度的切向分量；（5）加速度的法向分量；（6）加速度的大小。3-2 以下說法是否正確？并加以分析：（1）一個(gè)確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，當(dāng)角速度大時(shí)，作用的力矩也大。（3）使一根均勻的鐵棍保持水平，如握住棍子的中點(diǎn)要比握住它的一端容易。（4）一個(gè)有固定軸的剛體，受到兩個(gè)力的作用。當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對軸的合力矩也一定為零；當(dāng)這兩個(gè)力對軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力也一定為零。3-3 指出下弄表達(dá)式哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的，并說明理由。EK、EP、J、分別表示繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能、重力勢能、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角動(dòng)量。式中：M為剛體的質(zhì)量， 為質(zhì)心速度，hc 為質(zhì)心距零勢能面的高度，rc 為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。3-4 已知銀河系中有一天體是均勻球體，現(xiàn)在半徑為R，繞對稱軸自轉(zhuǎn)的周期為T，由于引力凝聚，它的體積不斷收縮。假定一萬年后它的半徑縮小為r ，試問一萬年后此天體繞對稱軸自轉(zhuǎn)的周期比現(xiàn)在大還是??？它的動(dòng)能是增加還是減少？3-5 一圓形平臺(tái)，可繞中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，有一輛玩具汽車相對臺(tái)面由靜止啟動(dòng)，繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)，問平臺(tái)如何運(yùn)動(dòng)？當(dāng)小車突然剎車，平臺(tái)又如何運(yùn)動(dòng)？運(yùn)動(dòng)過程中小車平臺(tái)系統(tǒng)的機(jī)械能、動(dòng)量和角動(dòng)量是否守恒？習(xí)題解答3-1 一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸的車速在12s內(nèi)由每分鐘1200轉(zhuǎn)均勻地增加到每分鐘2700轉(zhuǎn)，求：（1）角加速度；（2）在此時(shí)間內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？3-2 某機(jī)器上的飛輪運(yùn)動(dòng)學(xué)方程程為：q=at+bt2-ct3，求t時(shí)刻的角速度和角加速度。3-3 在邊長為a的正六邊形的頂點(diǎn)上，分別固定六個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)量都為m，設(shè)這正六邊形放在XOY平面內(nèi)，如圖所示，求：（1）對OX、OY、OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）對通過中心C且平行于OY、OZ的兩軸CY、CZ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 3-4 如本題圖所示，有一實(shí)驗(yàn)用擺，勻質(zhì)細(xì)桿的長l =0.92m，質(zhì)量m=0.5kg，勻質(zhì)圓盤的半徑r =0.08m，質(zhì)量為M=2.50kg。求對過懸點(diǎn)O且垂直擺面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3-5 圖中是一塊質(zhì)量為M且均勻的長方形薄板，邊長為a、b，中心O取為原點(diǎn)，坐標(biāo)系OXYZ如圖所示。（1）證明板對OX軸和OY軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分另為：，。（2）求薄板對OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）證明：在長方形薄板上取一平行于X軸的橫條形質(zhì)元，它到轉(zhuǎn)軸OX的距離為y，長度為a，高度為dy，該質(zhì)元的質(zhì)量為同理，可以長方形薄板上取一平行于Y軸的豎條形質(zhì)元，到轉(zhuǎn)軸OY的距離為x，高度為b，寬度為dx，該質(zhì)元的質(zhì)量為（2）根據(jù)垂直軸定理， 3-6 在如圖所示的裝置中，物體的質(zhì)量m1、m2，定滑輪的M1、M2，半徑R1、R2都已知，且m1m2。設(shè)繩子長度不變，質(zhì)量不計(jì)，繩子與滑輪間不打滑，而滑輪則質(zhì)量均勻分布，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按均勻圓盤計(jì)算，滑輪軸承處光滑無摩擦阻力，試求出物體m2的加速度和繩的張力T1、T2、T3。解：m1和m2的加速度數(shù)值相等，方向相反。分別對m1和m2應(yīng)用牛頓第二定律，有：兩滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 和 ，其角速度分別為和。對兩滑輪分別應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：聯(lián)立以上四式，解得：3-7 如圖所示，已知定滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。彈簧的勁度系數(shù)為k。問質(zhì)量為m的物體下落h時(shí)的速率是多大？設(shè)開始時(shí)物體靜止且彈簧無伸長。解：取彈簧，重物，滑輪及地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，彈簧右端受力及滑輪軸的力均不作功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取各物開始位置為對應(yīng)勢能零點(diǎn)。有：又，代入得:3-8 質(zhì)量為m1和m2的兩物體分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分另為R與r，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，輪與繩間無滑動(dòng)，軸承間的摩擦略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩的張力。 解：m1, m2 及定滑輪切向受力如圖，設(shè)滑輪順時(shí)間方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向。取m1向下運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)正向。(1)(2)(3)又：(4)(5)共有5式，求解5個(gè)變量。(4)式分別代入(1)、(2)式，得：，代入(3)式，得：然后求得：教材p264提供的答案中，分母有一個(gè)印刷錯(cuò)誤3-9 如本題圖所示，飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為每分鐘1000轉(zhuǎn)。現(xiàn)用閘瓦制動(dòng)使其在5s內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，求制動(dòng)力。設(shè)閘瓦與飛輪之間的動(dòng)摩擦系數(shù)m =0.4，并設(shè)飛輪的質(zhì)量全部分布在輪緣上。解：受力分析：制動(dòng)力F作用于制動(dòng)桿右端，則由杠桿原理，閘瓦作用于飛輪上的力為。閘瓦與飛輪之間的動(dòng)摩擦力使飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)。則有。取飛輪順時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎ＤΣ亮Φ牧貫?，是恒力矩。做?見教材p85又由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：飛輪視作細(xì)圓環(huán)，。用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解：代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)，得：3-10 質(zhì)量為0.50kg，長為0.40m的均勻細(xì)棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如將此棒放在水平位置，然后任其落下，求：（1）在開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）下落到鉛直位置時(shí)的動(dòng)能；（3）下落到鉛直位置時(shí)的角速度和角加速度。解：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，合外力矩（2）由動(dòng)能定理，只有重力做功，。（3）角速度此時(shí)外力矩為，角加速度3-11 一輕繩繞于半徑r =0.2m的飛輪緣，現(xiàn)在恒力F =98N拉繩的端，使飛輪由殂止開始加速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖(a)所示。已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kgm2，飛輪與軸承之間的摩擦不計(jì)。求：（1）飛輪的角加速度；（2）繩子拉下5m時(shí)飛輪獲得的動(dòng)能；（3）如以重量P =98N的物體m掛在繩端，如圖(b)所示，試再計(jì)算飛輪的角加速度和繩子拉下5m時(shí)飛輪獲得的動(dòng)能。 解：（1）由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得（2）由動(dòng)能定理得：（3）設(shè)物體向下加速度為a ，對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律， 且 ，得：對滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理得：對物體，則動(dòng)能定理得：，且3-12 長l=0.4m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.0kg，可繞水平軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒自然地懸垂?，F(xiàn)有m=8g的子彈，以v=2000ms-1的速率沿水平方向從A點(diǎn)射入棒中（見圖）。假定A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為，求：（1）棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：把子彈和桿作為一個(gè)系統(tǒng), 碰撞中分兩個(gè)階段：子彈射入棒內(nèi)，子彈和棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）子彈入射瞬間，沒有使棒擺動(dòng)（無重力矩），則系統(tǒng)所受外力矩為零, 角動(dòng)量守恒 結(jié)果計(jì)算不正確！ 答案是8.88rad/s（2）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。設(shè)最大偏轉(zhuǎn)角為a，取豎直棒最低為零勢能點(diǎn)，則有：代入數(shù)值解得： 需要代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算！3-13 一質(zhì)量為1.12kg、長為1.0m的均勻細(xì)棒，支點(diǎn)在棒的上端點(diǎn)，開始時(shí)棒垂直懸掛?，F(xiàn)在100N的力沿水平方向打擊它的下端點(diǎn)，打擊時(shí)間為1/50s，試求：（1）棒所獲得的角動(dòng)量；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：（1）在打擊過程中，由角動(dòng)量定理，有：又：，得：（2）方法一以棒為研究對象。在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有重力力矩做功。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，有：又 計(jì)算結(jié)果為72.56度。結(jié)果是88度38分。結(jié)果不正確！方法二以棒和地球?yàn)檠芯繉ο蟆Ｔ谵D(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有作為內(nèi)力的重力力矩做功。機(jī)械能守恒。而 ， 結(jié)果未計(jì)算。3-14 一水平圓盤繞鉛直軸旋轉(zhuǎn)，角速度為w1，它對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1?，F(xiàn)在其上有一轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，并以角速度w2轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，這圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，兩圓盤的平面平行，圓心同在一鉛直線上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。（1）求兩盤合成一體后系統(tǒng)的角速度w ；（2）上圓盤落下后，兩盤的總動(dòng)能改變了多少？（3）兩圓盤總動(dòng)能的改變應(yīng)怎樣解釋？解：以兩個(gè)盤作為研究系統(tǒng)。則在此過程中系統(tǒng)不受外力矩的作用，故角動(dòng)量守恒。（2）（3）兩盤之間摩擦力做負(fù)功，總動(dòng)能減少。3-15 質(zhì)量為200kg的圓盤狀平臺(tái)可以繞通過圓盤中心的豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在平臺(tái)邊緣處站著一個(gè)質(zhì)量為50kg的人，平臺(tái)和人一起以1.24 rads-1的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)人從平臺(tái)邊緣走到臺(tái)中心時(shí)，平臺(tái)的角速度為多少？解：以平臺(tái)和人為研究系統(tǒng)。在此過程中系統(tǒng)合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。，其中3-16 一質(zhì)量為M、半徑為R的均勻圓盤，通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)。若在某時(shí)刻，一質(zhì)量為m的小塊從盤邊緣裂