數(shù)學(xué)物理方程公式總結(jié).pdf

無限長(zhǎng)弦的一般強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題 2 0 0 0 ttxx t tt ua uf x txR t ux ux 解 0 111 222 x attx a t x atx a t u x txatxatdfdd aa 三維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題 2222 2 2222 00 01 t t uuu ax y txyz ux y z u x y z t 0zt 在球坐標(biāo)變換 sincos sinsin 0 02 0 cos xr yrr zr 2 1 1 44 MM atr SS M u M tdSdS a trar M r at 22 1 1 44 MM atat SS MM u M tdSdS attat 無界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式 sincos sinsin 02 0 cos xxat yyat zzat 2 sindSatd d 二維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題 222 2 222 00 tt uuu ax y txy u ux yx y t 0t 22 2 222 220000 1 cos sin 1 cos sin 22 atat xryrxryr u x y trdrdrdrd ata a tra tr 傅立葉變換 1 2 i x f xfe d i x ff x edx 基本性質(zhì) 121 FffF fF f 2 1212 F ffF f F f 1212 1 2 F f fF fF f F fi F f kk F fiF f d F fFixf d 1 d ixfFf d 0 0 i x F f xxeF f x 0 0 ix F ef xf 1 x FfdF f x i 0 i xi x x Fxxedxe 1 i xi Fxxedxe 1 F f axf aa 若 F f xg 則 2 F g xf 12 F 2 2 2 4 2 ax a F ee cos 2 sin 2 iaia iaia ee a ee a i a a cossin cossin ia ia eai eai 2 x edx 拉普拉斯變換 0 sx f sf x e dx ReRe ax c L cepa pa 2 1 L x s 2 1 x L ex s 22 sin k Lkt sk 22 cos s Lkt sk 22 2 axax eea L shaxL sa ReResa 22 2 axax ees L chaxL sa ReResa 基本性質(zhì) 121 LffL fL f 2 1 2 11 121 LffLfLf 0 s L f xeL f x 0 Re ax L ef xf sasa 1 0 s L f cxfc cc 12 1 0 0 0 nnnnn L fs L fsfsff 0 1 x LfdL f x s n n n d L fLxf ds p f x f sdsL x 1212 L ffL f F f 0 1 sx Lxx edx 三個(gè)格林公式 高斯公式 設(shè)空間區(qū)域 V 是由分片光滑的閉曲面 S 所圍成 函數(shù) P Q R 在 V 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則 VS PQR dVPdydzQdzdxRdxdy xyz 或 cos cos cos VS PQR dVPn xQn yRn zd xyz S 第一格林公式 設(shè)u x y z V x y z 在S SV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo) 則 SVV u v dSuvdVu vdV 第二格林公式 設(shè)u x y z V x y z 在S SV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo) 則 SV u vv udSu vv u dV 第三格林公式 設(shè)M0 M是V中的點(diǎn) v M 1 rMM0 u x y z 滿足第一格林公式條件 則有 000 0 11111 44 MMMMMMSV u u MudSu dV rnn rr 定理 1 泊松方程洛平問題 xxyyzzS SS uuuuf x y zx y zV u ux y zx y z n 連續(xù) 連續(xù) 的解為 0 11111 44 SV u MMMdSf MdV rn rr 推論 1 拉氏方程洛平問題 0 xxyyzzS SS uuuux y zV u ux y zx y z n 連續(xù) 連續(xù) 的解為 0 111 4 S u MMMdS rn r 調(diào)和函數(shù) 1 定義 如果函數(shù) u x y z 滿足 1 在V具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 2 S 0u 稱 u 為 V 上 的調(diào)和函數(shù) 2 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) u x y z 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù) 則有 0 S u dS n 推論 2 拉氏牛曼問題 牛曼問題解不穩(wěn)定沒有得到公式解 0 xxyyzz S uuuu u n 有解的充分必要條件是 0 S dS 性質(zhì) 2 設(shè) u x y z 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù) 則有 0 111 4 S u u MudS rnn r 性質(zhì) 3 設(shè) u x y z 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù) 則在球心的值等于它在球面上的算術(shù)平均值 即 0 2 1 4 R S u Mu M dS R 其中SR是以M0為球心 R為半徑的球面 三維空間中狄氏問題格林函數(shù) 泊松方程狄氏問題為 xxyyzz S uuuuf x y zx y zV ux y z 連續(xù) S 0 00 SV G M Mu u MG M MudSG M MfdV nn 0 其中 0 0 1 4 MM G M Mv x y z r 如果G M M0 滿足 0 0 S G M M 則可得泊松方程狄氏解定理 定理 泊松方程狄氏解為 0 00 SV G M M u MMdSG M Mf M dV n 其中G M M0 滿足 00 0 0 0 S S G M MMM M MV G M M 0 0 MM 1 G M M 4 r 推論 拉氏方程狄氏解為 0 0 S G M M u MMdS n 平面中的三個(gè)格林公式 首先證明一個(gè)定理 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成 且 f x y 在 D 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) n 為曲線的外法線方 向 則 22 22 DL fff dxdyds xyn 1 第一格林公式 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成 且 u x y v x y 在 D 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) n 為曲線的 外法線方向 則 DL v uvu v dxdyuds n i 2 第二格林公式 l D u vv u dSu vv u dxdy i 3 第三格林公式 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成 且 u x y 在 D 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) n 為曲線的外法線 方向 令 0 11 ln 2 MM v x y r 00 0 111111 lnlnln 222 MMMMLD u u MudSud rnnrr 定理 平面泊松方程洛平問題 LL uf x yx yD u ux yx n y 的解為 00 0 111111 lnlnln 222 MMMMLD u MdSf x y d rnrr 推論 平面拉氏方程洛平問題 0 LL ux yD u ux yx n y 的解為 00 0 1111 lnln 22 MMMML u MdS rnr 定理 平面泊松方程狄氏問題的解為 0 LD G u MdSGf x y d n 推論 平面拉氏方程狄氏解為 0 L G u MdS n 平面狄氏格林函數(shù) 00 0 0 0 S L G M MMM M MD G M M 0 0M 1 G M M lnr 2 M 特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù) 1 球形域內(nèi)狄氏問題格林函數(shù) 00 2222 0 0 0 S G M MMM xyzRMV G M M 格林函數(shù)為 0 001 1111 44 R G M M rrrrr 其中 2 0 1 00 rR r rr i 球域內(nèi)狄式問題的解 0 00 22 0 03 22 2 00 1 4 2cos SV SV G M M u MMdSG M Mf M dV n Rr MdSG M Mf M dV R RrRr i 其中 22 0 3 22 2 00 1 4 2cos SS RrGG nrR RrRr i 球域上狄氏問題的解的球坐標(biāo)表達(dá)式 sincos sinsin 0 02 0 cos xr yrr zr 0 01 012 22 22 00000 111111 44 MMMM G M Muu rr xxyyzzxxyyzz 2 2 0 01 000 333 2 22 00 11 44 MMMM zzzzzGG nzrr xxyyz 0 所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為 0 00 0 0 3 22 22 000 1 2 SV V G M M u MdSG M MfdV n x y z dxdyf x y z G M Mdxdydz xxyyz 上半空間拉氏方程狄氏問題的解為 0 0003 22 22 000 1 2 x y z u xyzdxdy xxyyz 3 上半平面狄氏問題的 Green 函數(shù) 01 0 1111 22 MMM G M MLnLn rr M GG ny 0 0 22 2222 00 0000 1111 2 Ly yG LnLn nyxx xxyyxxyy y 上半平面上泊松方程狄氏解 0 0 22 00 1 LDD yG u MdSGf x y dxdxGf x y d nxxy 上半平面上拉氏方程狄氏解 0 0 22 00 1 y u Mxdx xxy 4 圓域上泊松與拉氏方程狄氏解的 GREEN 函數(shù) 0 222 0 0 L GM M M MD xyR G 1 010 0 0 111111 lnlnlnl 2222 MM M MMMM M r n R G M M rrrr 圓域上泊松與拉氏方程狄氏解 0 22 0 22 00 1 22cos LD LD G u MdSGf x y d n Rr dSGf x y d R RRrr 5 第一象限上狄氏問題的 Green 函數(shù) 012 0 2222 0000 2222 0000 11111111 lnlnlnln 2222 1 ln 4 MMMMMMMM G M M rrr xxyyxxyy xxyyxxyy 3 r z 三種典型方程的基本解問題 1 泊松方程的基本解 方程 ux y 的解稱為泊松方程 uf x y z 的基本解 三維空間泊松方程的基本解 1 0 4 Ur r 平面泊松方程基本解為 11 ln 0 2 Ur r 特解應(yīng)該為基本解與函數(shù) f 的卷積 2 熱傳導(dǎo)方程柯西問題基本解 定解問題 2 0 0 txx t ua uxR t ux 的解 稱為 2 0 0 txx t ua uxR t ux 定解問題的基本解 基本解為 2 2 4 1 2 x a t U x te at 定解為基本解與初始函數(shù) x 的卷積 3 熱傳導(dǎo)方程混合問題基本解 定解問題 2 00 0 0 0 0 xx u a uxxtt t utu l t u x 的解稱為 2 0 0 0 0 0 0 0 txx t ua uf x txl t utu l t u 定解 問題的基本解 222 0 2 0 00 1 2 sinsin na t t L n n xn x U x t x te ll l 定解與基本解的關(guān)系為 000000 00 tL u x tU x t x tf x t dx dt 4 波動(dòng)方程柯西問題基本解 定解問題 2 2 00 2 0 0 0 0 xx t u a uxxttxt t u xu x 0 的解 稱為 2 2 2 0 0 0 0 0 xx t u a uf x tx y zt t u xu x 定解問題的基本解 基本解為 0000 1 21 sin sinsin n n an an x U x t x tttx anlll 定解與基本解的關(guān)系為 000000 00 tL u x tU x t x tf x t dx dt 貝塞爾函數(shù) 222 0 0 0 PPnP P RP 2 0 1 2 y edy 1nn 1 nn n cos sin n n JxJx Y xLim 第二類 Bessel 函數(shù) Bessel 函數(shù)的母函數(shù) 1 2 x z n z n n G x zeJx z 當(dāng) x 為實(shí)數(shù)時(shí)可得 cos 0 1 2 cos ixn n n eJxi Jx n 02 1 cos cos 2 1 cos2 m m m xJxJxm Bessel 函數(shù)的積分表達(dá)式 1 2 1 1 2 x n n C e Jxd i 當(dāng) n 為整數(shù)時(shí) 1 cos sin 0 1 2 2 n Jxxndn 貝塞爾函數(shù)的遞推公式 1 1 nn nn x Jxx Jx 1 2 nn nn xJxxJx 11 2 3 nnn JxJxnJx x 11 4 2 nnn JxJxJx 10 JxJx n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有 1 cos n nn JxJxn Jx n 1 2 2 sinJxx x 1 2 2 cosJxx x 貝塞爾函數(shù)的正交性 貝塞爾函數(shù)系 1 n m n Jr R 22 22 0 11 0 11 22 nn R mk nn nn nmnm mk rJrJr dr RR R JR J mk 定義 定積分 2 0 n R m n rJrdr R 稱為貝塞爾函數(shù) n m n J R r 的模 貝塞爾級(jí)數(shù)展開定理 定理 設(shè) f rfr 在區(qū)間 0 R 上至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn) 則 f x 在 0 R 連續(xù)點(diǎn)處的貝塞爾 級(jí)數(shù)收斂與該點(diǎn)的函數(shù)值 在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值 1 n m mn m f rA J R r 其中 2 0 2 1 1 2 n R m mn n nm Arf r Jr dr RR J 勒讓德方程 考慮球域內(nèi)拉氏方程定解問題 222 222 1 0 1 xxyyzz xyz uuuxyz uf x y z 在球坐標(biāo)系下 2 2 2222 1 111 sin0 sinsin 01 0 02 r uu r rrrrr ufr 2 u 勒讓德方程 22 22 cot 1 0 sin ddm n n dd 令cosx y 取 m 0 時(shí)得 2 2 2 1 2 1 0 d ydy xxn ny dxdx 勒讓德多項(xiàng)式 當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí) 2 2 1 0 22 1 2 2 n mn n m nm yx m nmnm m 當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí) 1 2 2 2 0 22 1 2 2 n mn n m nm yx m nmnm m n 次第一類勒讓德多項(xiàng)式 2 0 22 1 2 2 2 M mnm n n m nmn P xxM m nmnm 0 1P x 1 P xx 2 2 1 31 2 P xx 3 3 1 53 2 P xxx 42 4 1 35303 8 P xxx 53 5 1 637015 8 P xxxx 1 1 n P 1 1 n n P 勒讓德多項(xiàng)式的羅得利克公式 2 1 1 2 n n n nn d P xx n dx 勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式 2 1 1 22 n n nn C n P zd iz 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 2 0 1 1 1 1 2 n n n G x zP x zzx xzz n 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式 重點(diǎn) n 1 2 3 11 1 21 1 nnn nxP xnPxnPx 1 2 nn PxxP xnP x 11 3 nnn P xxPxnPx 1 1 n P 1 1 n n P n