期權基礎知識——期權定價PPT課件.ppt

期權定價 北京物資學院證券期貨教研室劉宏 劉宏liuhong393 1 可編輯 主要內(nèi)容 風險中性理論二叉樹定價模型Black Scholes模型三叉樹模型 2 一 風險中性定價原理 例1 某股票當前的市場價格為100元 根據(jù)該股票的風險特征 其必要收益率為10 如果市場上的無風險利率為5 則1年后的股票價格應該是110元還是105元 如果1年后股票的價格為110元 交易中以無風險利率借入資金100元 買入該股票 與遠期買入方約定按110元在1年后賣出 1年后 無論股票價格漲跌 該交易者均可將持有的股票按110元賣給遠期買入者 然后將105遠歸還資金貸出方 此策略可使交易者獲得5元的無風險套利收益 所以 任何資產(chǎn)的遠期價格應該等于該資產(chǎn)的現(xiàn)值按無風險收益進行投資的終值 或任何資產(chǎn)的現(xiàn)值等于該資產(chǎn)的遠期價格按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值 所以 用遠期價格對資產(chǎn)進行定價時 貼現(xiàn)率為無風險利率 即定價中使用的貼現(xiàn)率與資產(chǎn)的風險無關 風險中性定價原理 風險中性定價原理 風險中性定價原理是指在對資產(chǎn)進行定價時 資產(chǎn)的風險與其價格無關 或定價過程中不考慮資產(chǎn)的風險 劉宏liuhong393 3 二 一 二叉樹模型的基本方法 1 標的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看漲期權的定價 C c 已知標的資產(chǎn)的現(xiàn)價為S和t時間后上升和下跌的價格Su和Sd 如圖1所示 期權價格關系如圖2所示 無風險利率為r 求t時期到期 行權價格為K的該標的的資產(chǎn)看漲期權的價格以及上漲概率 上漲和下跌因子u和d 或稱上升系數(shù)和下跌系數(shù)為 cu max Su k 0 cd max Sd k 0 T t 年后的遠期價格應該等于每一種遠期價格可能性的加權平均 即期價格等于遠期價格按無風險利率進行貼現(xiàn)的現(xiàn)值 劉宏liuhong393 4 標的資產(chǎn)和期權價格上漲的概率P和看漲期權的價格 一 二 二叉樹模型的基本方法 1 標的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看跌期權的價格 pu max k Su 0 pd max k Sd 0 U d Su sd 等指標的計算與看漲期權相同 看跌期權的價格計算如下 劉宏liuhong393 5 二 三 二叉樹模型的基本方法 1 標的資產(chǎn)支付紅利的歐式看漲期權的定價 C c 當標的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利時 在風險中性條件下 證券價格的增長率應該為r q 劉宏liuhong393 6 三 一 二叉樹模型的基本方法 2 標的資產(chǎn)不支付紅利的歐式看漲和看跌期權的定價 策略A 購買一張價格等于c的看漲期權 初始持倉頭寸C 策略B 借入無風險資產(chǎn)L 購買 股價格等于S的股票 初始持倉頭寸為L S 到期時 無論價格漲跌 兩種策略的持倉應該等價 否則存在套利機會 T t 年后期權到期時 股票價格上漲至Su或下跌至Sd 交易者的持倉頭寸分別為 L 1 r T t Su Cu 1 L 1 r T t Sd Cd 2 或者是構建一個由一單位看漲期權空頭和 單位標的股票多頭以及金額為L的無風險負債的組合 該組合的初始投資為0 有 L S c 0 同樣的 如果不存在套利機會的話 期末時該組合應滿足 1 和 2 式 劉宏liuhong393 7 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su 1 r T t 或L Cd Sd 1 r T t 將 和L值帶入看公式C L S中 即可得到看漲期權的價格 看跌期權的分析和計算于此相同 劉宏liuhong393 8 三 二 使用二叉樹基本方法 2 對支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的看漲期權定價 當標的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利 t時期后期權到期時 股票價格上漲至Su或下跌至Sd 交易者的持倉頭寸分別為 Le r q T t Su Cu 1 Le r q T t Sd Cd 2 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su e r q T t 或L Cd Sd e r q T t 看漲期權的價格C L S 劉宏liuhong393 9 假設一年期無風險利率為r 3 某公司股票的當前價格是每股S 80元 一年后其價格有且僅有兩種可能的走勢 或者上漲至S u 120元 或者是下跌至S d 80元 現(xiàn)有以此股票為標的的歐式看漲期權 執(zhí)行價格K為75元 一年后到期 請計算一年以后該股票價格上漲至120元和下跌至80元的概率以及該歐式看漲期權的價格 例2 使用二叉樹模型對看漲期權進行定價 首先 1年后Cu 120 75 45元 Cd 80 75 5元 劉宏liuhong393 10 使用方法 1 C S L 100 72 8155 27 1845 使用方法 2 L 5 80 1 3 72 8155 劉宏liuhong393 11 假設目前的無風險利率為2 股票的價格是30元 一個時期 假設是1年 后 股票不支付紅利 股票要么上升到45元 要么下跌到20元 概率分別是p和 1 p 如果標的股票的歐式看漲期權的執(zhí)行價格是40元 計算該期權的價格 例3 使用二叉樹模型對看漲期權進行定價 U 45 30 1 5 d 20 30 2 3 1年后Cu 45 40 5元 Cd為20 40或0中的最大值 所以Cd 0 使用方法 1 C S L 30 5 3 9216 2 0784 使用方法 2 L 5 45 5 1 2 3 9216 劉宏liuhong393 12 一年期無風險利率為r 3 股票的當前價格是每股S 90元 一年后其價格有且僅有兩種可能的走勢 或者上漲至120元 或者下跌至80元 請計算1年后到期的執(zhí)行價格為100元的該股票歐式看漲和看跌期權的價格 例4 使用二叉樹模型對看漲和看跌期權進行定價 U 120 90 1 3333 d 80 90 0 8889 使用方法 1 劉宏liuhong393 13 使用方法 2 對例4中看漲和看跌期權的價格 C S c Lc 90 0 5 38 835 6 615 p S p Lp 90 0 5 58 2524 13 2524 劉宏liuhong393 14 四 證券價格的樹型結構 例5 已知樹的各節(jié)點數(shù)值 無風險利率為5 求各支點的概率 劉宏liuhong393 15 由公式 劉宏liuhong393 16 2020 1 15 17 例5中各節(jié)點概率如下 劉宏liuhong393 18 證券價格的樹型結構 劉宏liuhong393 19 得到每個結點的資產(chǎn)價格之后 求出各時期上漲和下跌的概率 就可以在二叉樹模型中采用倒推法 從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推 便可據(jù)此為期權定價 如果是美式期權 就要在樹型結構的每一個結點上 比較在本時刻提前執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有到下一個時刻再執(zhí)行期權 選擇其中較大者作為本結點的期權價值 劉宏liuhong393 20 五 證券的收益率E r 和方差 2 Er E r s pu 1 p d s s p u d d 1 2 E r P u P u d d 1 2 1 P d P u d d 1 2 P 1 p u d 1 2 1 P 1 P u d 2 p 1 P u d 2 如果按年計算的方差為 2 T t 時間段的方差為 2 T t 標準差為 T t 0 5 u 1 T t 0 5d 1 T t 0 5 連續(xù)復利表達式如下 證券價格未來有兩種可能的情況下 收益率和方差的表達式如下 劉宏liuhong393 21 例6 某股票當前價格為100美元 該股票歷史年波動率經(jīng)測算為20 年無風險利率是5 該股票無股息 六個月以后到期 執(zhí)行價格為102美元的該股票的歐式看跌期權 請用二叉樹模型對該期權進行定價 以復利計算 Su 100 1 1519 115 19 Sd 100 0 8681 86 81 pu 0 pd 102 86 81 15 19 使用方法 1 C S L 100 0 5352 60 1257 6 61 使用方法 2 L pu Su et rf 0 0 5352 115 19 1 0253 60 1257 劉宏liuhong393 22 例7 將例6按兩步二叉樹模型對期權進行定價 以復利計算 Su1 100 1 1052 110 52 Sd1 100 0 9048 90 48 兩步二叉樹涵蓋六個月的時間 因此每個步進是涵蓋三個月時間 首先計算股票每個步進 三個月 上升系數(shù)和下降系數(shù) Su1u2 110 52 1 1052 122 15 Su1d2 110 53 0 9048 100 Sd1d2 90 48 0 9048 81 87 在以上數(shù)據(jù)的基礎上 先計算最后一個步進期權的價格 然后逐級計算 最終計算出起點期權的價格 即期權的現(xiàn)價 由于波動率和時間間隔不變 所以各步進的u d 相同 劉宏liuhong393 23 pd1d2 102 81 87 20 13 各步進期權價格 pu1d2 pd1u2 102 100 2 根據(jù)第一步進的期權價格和概率 得 P 5 16 pu1u2 0 劉宏liuhong393 24 例8 如果例6的期權為美式期權 請將按兩步二叉樹模型對該期權進行定價 以復利計算 前面的計算相同 計算各節(jié)點期權價格后 比較行權還是繼續(xù)持有期權哪種策略更為有利 按有利的情形確定期權價格 劉宏liuhong393 25 例8 假設標的資產(chǎn)為不付紅利股票 其當前市場價為50元 波動率為每年40 無風險連續(xù)復利年利率為10 該股票5個月期的美式看跌期權協(xié)議價格為50元 求該期權的價值 Su 50 1 2946 64 73 Sd 50 0 7724 38 62 Cu 64 73 50 14 73 Cd 38 62 50 0 0 使用方法 1 C Su L 50 0 5642 20 901 7 31 使用方法 2 L Cu Su e T t r 14 73 64 73 0 5642 1 043 20 901 劉宏liuhong393 26 例8的另一種解法 為了構造二叉樹 我們把期權有效期分為五段 每段一個月 等于0 0833年 可以算出 1 p 0 4924 劉宏liuhong393 27 股票價格與看漲期權二叉樹結構圖 劉宏liuhong393 28 Su1 S u 50 1 1224 56 12 Sd1 S d 50 0 8909 44 55 Su1u2 Su1 u 56 12 1 1224 62 99 Sd1d2 Sd1 d 44 55 0 8909 39 36 Su1d2 Sd1u2 Su1 d 56 12 0 8909 44 55 1 1224 50 Su1u2u3 Su1u2 u 62 99 1 1224 70 7 Su1u2d3 Su1d2u3 Su1u2 d 62 99 0 8909 56 12 Su1d2d3 Su1d2 d Sd1d2u3 39 69 0 1224 49 9