微積分對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供的指導(dǎo)作用.doc

學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELORS THESIS編號 -微積分對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 系 部： 專 業(yè)： 年 級： 指導(dǎo)教師： 完成日期： 年 月 日 中文摘要初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 二者有著本質(zhì)的聯(lián)系。把微積分的知識(shí)應(yīng)用于解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題上, 能起到以簡馭繁的作用,尤其是在不等式與恒等式的證明、求函數(shù)極值與切線及單調(diào)區(qū)間、方程根的討論、研究函數(shù)的性態(tài)與作圖以及解決實(shí)際問題等方面,不僅可以簡化解法, 而且能使問題的研究更為深入、全面。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹， 那么初等數(shù)學(xué)是根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。不論是高等數(shù)學(xué)還是初等數(shù)學(xué)，其基本方法都是相通的，那么，高等數(shù)學(xué)微積分方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著怎樣的指導(dǎo)作用呢？關(guān)鍵詞:微積分 中學(xué)數(shù)學(xué) 應(yīng)用AbstractFor middle school mathematics teaching of calculus of instruction function The primary mathematics is the base of higher mathematics , there is the essential relations. Calculus is the foundation of higher mathematics and the core. high school mathematics, such as the Roots of many issues to discuss, proof of identity, proof of inequality, geometric aspects of the application can use calculus to simplify and make the problem solution to deepen and expand.Keywords: Calculus primary mathematics applications. 目錄中文摘要IAbstractI引言11 微積分為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供簡便方法11.1求函數(shù)的極值、最值11.2求函數(shù)單調(diào)區(qū)間31.3因式分解、代數(shù)式化簡41.4不等式與恒等式的證明51.5 方程根的討論61.6 函數(shù)的變化性態(tài)及作圖71.7 實(shí)際應(yīng)用問題91.8求曲邊圖形的面積101.9導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用112微積分對中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容提供理論依據(jù)112.1有理數(shù)定義112.2冪級數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用122.21的推導(dǎo)122.22數(shù)的值132.3中學(xué)數(shù)學(xué)面積體積公式的推導(dǎo)152.31橢圓面積公式的推導(dǎo)152.32球體體積公式的推導(dǎo)16結(jié)論16參考文獻(xiàn)17致謝1820 引言中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識(shí)，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中許多概念和理論的原型和特例所在。因此在高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與中學(xué)數(shù)學(xué)里的相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來。這樣就不僅能夠加深對高等數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確地把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵?？傊?，要力求將高等數(shù)學(xué)思想方法全面滲入中學(xué)數(shù)學(xué)，尋找高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)。這樣有利于提高數(shù)學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。拓展學(xué)生的解題思路，提高解題能力。1 微積分為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供簡便方法1.1求函數(shù)的極值、最值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的最大最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復(fù)雜問題變得簡單化. （1）極值定義：設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域有定義，若對該鄰域中任一點(diǎn),有,則稱 為的一個(gè)極大值點(diǎn)；若有,則稱為的一個(gè)極小值點(diǎn)，極值點(diǎn)的函數(shù)值稱為極值；（2）用極值的第一充分條件來求極值：如果是的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在點(diǎn)，若在 的兩側(cè)同號，則不是極值點(diǎn).若在的兩側(cè)異號，則為極值點(diǎn).若 在點(diǎn)的左為正右為負(fù)，則為極大值點(diǎn)；若左為負(fù)右為正，則為極小值點(diǎn).而用極值的第二充分條件求極值：則只要在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在的二階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)即在點(diǎn)取得極值.(3) 最值的求法：將閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法推廣為開區(qū)間、半開區(qū)間（包括無窮區(qū)間）即任意區(qū)間的連續(xù)函數(shù)最值的判定和求法。其方法就是把函數(shù)的駐點(diǎn)(又稱穩(wěn)定點(diǎn))、不可導(dǎo)的點(diǎn)、閉端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大（最小）值與左開端點(diǎn)的右極限值或右開端點(diǎn)的左極限值比較，達(dá)到最大（最小），就是函數(shù)的最大（最小）值；否則函數(shù)就沒有最大（最?。┲?例1 已知，試判斷 是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由. 解： 當(dāng)時(shí) 函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值例2 求函數(shù)在上的最大值和最小值.解： 令得駐點(diǎn)為 ，它們?yōu)榈目赡艿臉O值點(diǎn)，算出這些點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：，將它們加以比較，可知在上函數(shù)的最大值為，最小值為.012000極小值增極大值2減拐點(diǎn)減極小值增凹凸性凹凸1.2求函數(shù)單調(diào)區(qū)間在高中階段，運(yùn)用單調(diào)性的定義、以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解方法，可以解決一些比較簡單基本函數(shù)經(jīng)過幾次基本運(yùn)算后所得函數(shù)的單調(diào)性。但是對于一元三次（或更高次）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，用單調(diào)性的定義就顯得力不從心，甚至不能求解。想反，用導(dǎo)數(shù)這一工具，卻顯得得心應(yīng)手。求單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）已知,求出；（2）求出的點(diǎn)；（3）令的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，故函數(shù)在此區(qū)間是增函數(shù)；（4）令的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間，故函數(shù)在此區(qū)間是減函數(shù)；例 已知函數(shù)時(shí)都取得極值.求 的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解： 由 得 ,令，可解得 在是增函數(shù),在是減函數(shù).由此可見，導(dǎo)數(shù)在求階型如的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，比普通方法要優(yōu)越很多！1.3因式分解、代數(shù)式化簡用定積分進(jìn)行因式分解，常可使解法簡便,巧妙. 我們熟知對于一元多項(xiàng)式函數(shù)有:,那么同樣針對多元多項(xiàng)式函數(shù)，對于某個(gè)都有：，而多項(xiàng)式比不含有項(xiàng)，因此只要多項(xiàng)式與多項(xiàng)式有公因式，就可以對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，這是基于以下一個(gè)引理：設(shè)為元多項(xiàng)式，若存在某個(gè)，使得與有公因式，則 與有公因式. 該引理對于定積分在因式分解中的應(yīng)用的意義在于，針對構(gòu)造的函數(shù)，只要存在某個(gè)點(diǎn)，使得與有公因式，則可判斷,可以進(jìn)行因式分解.例1 分解因式解：把看作變量，與看作常量（參數(shù)）.令求對導(dǎo)數(shù)得， 對上式取不定積分，得 其中C為常數(shù)，此處C是含有變量y和z的代數(shù)式，從而得恒等式上式中令于是 .例2 化簡解：把看作變量與看作常量，令 對求導(dǎo)得 上式兩端取不定積分得 由，得 由式，令x=0，得 .故 原式.1.4不等式與恒等式的證明不等式與恒等式的證明方法多種多樣，沒有較為統(tǒng)一的方法，往往需要較高的技巧。利用微積分的知識(shí)與方法，例如微分中值定理、函數(shù)增減性、極值判定法等來證明，可簡化證明，降低技巧性.利用微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理等證明不等式： ，是利用在內(nèi)的特點(diǎn)證明不等式.利用函數(shù)增減性證明不等式：函數(shù) 在區(qū)間 可微, 則 在 嚴(yán)格遞增(遞減) 充要條件: 或).證明不等式的具體步驟：（1）令不等式的形式為;(2)不妨;(3)求,并判斷出,若即可判斷在定義區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，既而原函數(shù),即可判斷出原不等式的大小.反之同理可得.證明恒等式的方法：即證明原等式的一階導(dǎo)數(shù)為零即可，則可推出原等式必然成立.假設(shè)原等式為，若證明原等式成立，即證，所以可推出，當(dāng)時(shí)，即可得.例1 證明不等式: .證明:設(shè) 則 所以遞 增,又故 設(shè) 則 由上面已證得的結(jié)果: 且因, 即知 .例 2 試證當(dāng) 時(shí), 有.證明當(dāng)時(shí),等式顯然成立，當(dāng)時(shí),對等式左邊求導(dǎo),得到 .所以 常數(shù), 當(dāng)時(shí),.故 .1.5 方程根的討論不妨設(shè)原方程一般形式為.設(shè)在為二階可導(dǎo)函數(shù),且滿足 ； 設(shè)當(dāng)（1）,從而有，則原方程必與軸有個(gè)交點(diǎn)，即為原方程的解.同理可得：（2）當(dāng)，這時(shí)有. （3）當(dāng)，這時(shí)有.(4)當(dāng)，這時(shí)有.也可判斷出原方程必與軸相交,即為原方程的解.例1 試證:當(dāng) 時(shí),方程有唯一解,.證明設(shè),則當(dāng) 時(shí),因?yàn)?,所以 由連續(xù)函數(shù)中值定理知, 上有解, 即此外, 因?yàn)?,所以 上單調(diào)遞減,故 方程上只有一個(gè)根. 由結(jié)論可知,當(dāng)?shù)膱D像與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。關(guān)于函數(shù)的圖像與直線是否有交點(diǎn)的問題,可通過對方程根的討論得到完滿的解答。注：本題用初等數(shù)學(xué)的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個(gè)相異實(shí)根，再利用求根公式求出方程的根，這樣做有一定的運(yùn)算量，顯得麻煩.現(xiàn)采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡便.1.6 函數(shù)的變化性態(tài)及作圖函數(shù)的圖像以其直觀性有著別的工具不可替代的作用,特別是在說明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特征的時(shí)候,其作用尤為明顯,這就要求我們能正確地做出函數(shù)的圖像。中學(xué)教材在介紹二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等函數(shù)時(shí),通常用描點(diǎn)法，做出函數(shù)的圖像。這種圖像一般是粗糙的,不一定能準(zhǔn)確地反映曲線在一些點(diǎn)和區(qū)間上的性態(tài)。利用導(dǎo)數(shù)作為工具,可有效地對函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)做出準(zhǔn)確的判斷,從而比較準(zhǔn)確地做出函數(shù)的圖像。一般來說,描繪函數(shù)的圖像可以按以下步驟進(jìn)行:(1) 求出函數(shù)的定義域, 確定圖像范圍。(2) 判別函數(shù)是否具有奇偶性或周期性,縮小描繪圖的范圍。(3) 求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn),并討論函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)的左、右變化情況, 可能存在極限, 也可能趨向無窮(此時(shí)有垂直漸近線) 。如果函數(shù)定義域是無限區(qū)間, 則要討論當(dāng)無限增加時(shí), 的變化趨勢,若存在極限,則有水平漸近線;若趨于無窮,應(yīng)考慮是否有斜漸近線。(4) 計(jì)算函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù), 并求解 ,討論 的單調(diào)性、局部極值、凹凸性與拐點(diǎn),列表。(5) 計(jì)算曲線的穩(wěn)定點(diǎn)、局部極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的坐標(biāo)以及曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。(6) 在直角坐標(biāo)系中,標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo), 畫出漸近線 ,再按討論的性態(tài)逐段描繪例1 作函數(shù)的圖形。解：定義域?yàn)? 曲線與y 軸的交點(diǎn)為. 利用連續(xù)函數(shù)的零值定理可知, 在區(qū)間內(nèi)曲線與x 軸有交點(diǎn).令 得駐點(diǎn) 令 1.7 實(shí)際應(yīng)用問題例1 如圖221 平地上有一條水溝,溝沿是兩條長100m 的平行線段,溝寬為2m , 與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線, 拋物線的頂點(diǎn)為O, 對稱軸與地面垂直,溝深1.5m ,溝中水深1m.(1) 求水面寬;(2) 現(xiàn)在要把這條水溝改挖成截面為等腰梯形的溝,溝的底面與地面平行,兩腰分別與拋物線相切 , 改挖后的溝底寬為多少米時(shí),所挖的土最少?解(1) 設(shè)拋物線方程為, 則由拋物線過點(diǎn) , 可得.于是拋物線方程為 .當(dāng) 由此可以得到, 水面寬為2 ( m)(2) 設(shè)切點(diǎn)為 是拋物線弧OB 上的一點(diǎn), 過點(diǎn)P 作拋物線的切線, 得直角梯形OCD E.由于 y = x ,故切線CD 的方程為;即.于是 .設(shè)梯形OCD E 的面積為 ,則由于,故 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立。于是 當(dāng)時(shí), 取最小值, 此時(shí)所挖的土最少。當(dāng)時(shí),可求得 點(diǎn)的坐標(biāo)為,因此,要使所挖掉的土最少,改挖后的溝底的寬必須為m.1.8求曲邊圖形的面積在幾何問題中，面積始終占有重要的角色。但在初中，面積計(jì)算只限于那些規(guī)則圖形或者可以分割成規(guī)則圖形三角形、平行四邊形、梯形。在高中，當(dāng)學(xué)生學(xué)過海倫公式、解三角形的知識(shí)后，我們求面積的方法就更加多樣，平面基本圖形也更加一般化，但無論怎樣一般化，我們所求的面積都有一個(gè)共同的特點(diǎn)直邊。一旦需要計(jì)算曲邊圖形的面積，我們就需要化曲為直。例如：求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積.解 解方程組得兩曲線的交點(diǎn).選取橫坐標(biāo)為微積分變量，則所圍成的曲邊圖形的面積應(yīng)該是兩部分面積之和，即： .積分知識(shí)在高中教材的出現(xiàn)，使得求曲邊圖形的面積成為可能。而我們上一道例題面積相等的原因也需要利用定積分的知識(shí)才能給出了令人信服的數(shù)字解答1.9導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用根據(jù)微分與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系，先對和式積分，利用已知數(shù)列的和式得到積分和，再求導(dǎo)即可.例 求數(shù)列的和.（其中）分析這道題在中學(xué)可用錯(cuò)位相減法求和，但若用導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)算會(huì)使問題更加明。解： 注意到是的導(dǎo)數(shù)，即，可先求數(shù)列的前n項(xiàng)和.當(dāng)，設(shè)然后等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，有 . 隨著微積分等高等數(shù)學(xué)知識(shí)再次現(xiàn)身中學(xué)數(shù)學(xué)教材, 中學(xué)數(shù)學(xué)教師除應(yīng)熟練掌握各種題型的初等解法外, 還應(yīng)善于運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題.2微積分對中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容提供理論依據(jù)2.1有理數(shù)定義有理數(shù)的定義：凡是可以表示成形式的數(shù)都稱作有理數(shù).有理數(shù)可以用分?jǐn)?shù)（m,n為整數(shù)，）表示，也可以用十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)循環(huán)小數(shù)來表示.為了以下討論的需要，我們把有限小數(shù)（包括整數(shù)）也表示為無限小數(shù)，對此我們作如下規(guī)定對于正有限小數(shù)（包括正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，其中，為非負(fù)數(shù)記:，而當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，記.例如證明：證明： 有理數(shù)定義的依據(jù)是：無窮級數(shù)求和所得，如在上題中令 所以得到上述中學(xué)教學(xué)中的定義.2.2冪級數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用冪級數(shù)的定義：由冪函數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù).冪級數(shù)的近似計(jì)算原理：巧妙地利用函數(shù)冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質(zhì)能夠把一個(gè)復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不容易把握的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，再利用冪級數(shù)展開式取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算其值.所以用它解題往往思路清晰、條理清楚.2.21的推導(dǎo)眾所周知， 圓周率 是平面上圓的周長和直徑之比， 它等于3.141592653.古人計(jì)算圓周率，一般是用割圓法. 近似值的數(shù)學(xué)家是中國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元263 年）它的方法稱為“ 割圓術(shù)” 其實(shí)質(zhì)是用圓的內(nèi)接正多邊形的面積逐步接近圓的面積. 從而獲得的近似值.阿基米德（Archimedes）用正96 邊形得到圓周率小數(shù)點(diǎn)后3 位的精度;另一位中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之公元429 - 527年 推算出從當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平來看, 割圓術(shù)應(yīng)該是一個(gè)最好的選擇, 如果祖沖之也是用割圓術(shù)得到 的上述近似值. 那么他需要計(jì)算圓內(nèi)接正24576 邊形的面積.如此復(fù)雜的計(jì)算不知祖沖之是如何完成的由于割圓術(shù)計(jì)算量大.收斂速度慢, 因此要得到更為精確的的值必須探索新的方法.計(jì)算的近代方法是運(yùn)用初等數(shù)學(xué)的技巧, 把表示為各種形式的反正切函數(shù)值, 然后運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)分析的理論把轉(zhuǎn)化為數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和. 當(dāng)時(shí)取前 項(xiàng)的和作為的近似值, 設(shè)其誤差為.則當(dāng) 時(shí) 取 得 則 這一公式雖然已有一定的實(shí)用價(jià)值, 但收斂速度仍不快, 由估計(jì)式可知, 改進(jìn)的計(jì)算公式的關(guān)鍵在于盡可能取較小的 ， 使得它方便地用 表示在這方面, 馬信（1706） 做出了開創(chuàng)性的工作, 它證明了 此方法提供了一個(gè)把 表示成一個(gè)反正切值的線性組合.2.22數(shù)的值把這個(gè)常數(shù)記作、并對它作了全面深入研究的數(shù)學(xué)家是Euler ( 歐拉) . 從1727 年就開始研究它, 并記之為. 得到了眾多的發(fā)現(xiàn). 在1748 年出版的書5無窮小分析引論6 中, 把自己的發(fā)現(xiàn)作了完整的敘述與總結(jié).同樣把數(shù)e 定義為極限, 并證明了.取了上述公式的20 項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算, 給出了數(shù) 的前18 位,定義了以 為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)( 即自然對數(shù)) . 此外還給出了數(shù)和以 為底的指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式, 以及它們的連分?jǐn)?shù)展開式.最難能可貴的是借助于, 證明了著名公式:,被稱作Euler( 歐拉) 公式.數(shù)是很重要的常數(shù)，它是我們熟知的自然對數(shù)的底，表示數(shù) 有多種不同的方法，冪級數(shù)是表示數(shù) 的一個(gè)理想的工具, 另外，近似計(jì)算數(shù)、冪級數(shù)也是一個(gè)理想的工具, 求的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后三位（誤差不超過）函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是 當(dāng)時(shí)，有 用它的部分和近似代替數(shù),則誤差不超過,即 要使誤差不超過，即 只需，由此可知當(dāng)取項(xiàng)數(shù)為就可滿足題目要求，則有微積分在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，利用定積分的知識(shí)可以在其他推導(dǎo)一些面積和體積公式.2.3中學(xué)數(shù)學(xué)面積體積公式的推導(dǎo)定積分定義：一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：定積分的微元法的步驟：(1)選取某一量（如）為積分變量，并確定其變化范圍（如）；(2)在區(qū)間的任意一個(gè)小區(qū)間上，求出相應(yīng)的部分量的近似值，若與之差是比高階的無窮小，記為，稱為的微元，稱為的微元；(3)以為被積表達(dá)式，在區(qū)間上做定積分.注：此法的關(guān)鍵步驟適當(dāng)選擇連續(xù)函數(shù)，以近似表達(dá)并使二者之差為的高階無窮小（）；旋轉(zhuǎn)體的體積公式 旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式 2.31橢圓面積公式的推導(dǎo)求的橢圓面積方法：三角代換法橢圓的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸都對稱，所以只算出第一象限上的一部分面積乘以4就可以了，由方程可解出，因而橢圓面積，利用三角代換，設(shè),則，當(dāng)由0變化到時(shí)，由0變到 , 2.32球體體積公式的推導(dǎo)證明半徑為R 的球體體積為證明：（利用定積分證明）把球體看作是坐標(biāo)平面上以原點(diǎn)為圓心、R 為半徑的上半圓：繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體，由定積分理論中旋轉(zhuǎn)體的體積公式得到球體的體積為： 結(jié)論綜上所述，利用高等數(shù)學(xué)的一些思想、觀點(diǎn)、原理和方法，可以改變對一些問題的思維方式，拓展解題思路，不僅可以對初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究有著很大的指導(dǎo)作用，也可以進(jìn)一步加深對高等數(shù)學(xué)中的一些思想、觀點(diǎn)、原理和方法的理解和掌握，達(dá)到一舉兩得.從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，只有用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、觀點(diǎn)和方法，以一種居高臨下的態(tài)勢，審視初等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，才能使初等數(shù)學(xué)的教學(xué)達(dá)到理想的境界，進(jìn)而才能夠不斷地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.對于微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還很多，還值得長期探討和研究，微積分如果進(jìn)入初等數(shù)學(xué)，可以擴(kuò)大初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，初等數(shù)學(xué)的面貌也就會(huì)發(fā)生很大的變化. 微積分作為一種工具存在于中學(xué)數(shù)學(xué)中, 在求有關(guān)曲線切線、函數(shù)單調(diào)性、極值和最值問題時(shí)非常有效, 它在解決某些傳統(tǒng)題型上也顯得簡捷明了，隨著新課程改革的推進(jìn), 對微積分的教學(xué)和考查的要求也將