數(shù)值分析論文.doc

MATLAB實(shí)現(xiàn)三次樣條差值函數(shù)姓名：屈 昊學(xué)號(hào)：0908020222班級(jí)：研 0 9 0 62009年12月6日【摘要】給出了三次樣條插值函數(shù)的定義以及在三種不同邊界條件下的求解過(guò)程，并總結(jié)了三次樣條插值函數(shù)的實(shí)現(xiàn)流程。此外，簡(jiǎn)要介紹MATLAB軟件的發(fā)展歷史和三次樣條的基本特征，在此基礎(chǔ)上編制第一邊界條件下的三次樣條插值函數(shù)程序，并給出運(yùn)行結(jié)果和線(xiàn)條圖形。【關(guān)鍵詞】三次樣條、插值函數(shù)、MATLAB【ABSTRACT】Cubic spline interpolation function is defined in this issue. The solving processes based on three diffrent boundary conditions are given. And the flow chart is listed, which fulfil cubic spline interpolation. Besides, the softwares phylogeny of matlab is introduced briefly, so as the fundamental character of cubic spline. Based on all of above, cubic spline interpolation function procedure is programmed under the first boundary condition. At the last, the result and figure are given in this issue.【KEYWORDS】cubic spline、interpolation function、MATLAB一、引言 函數(shù)來(lái)表示變量間的數(shù)量關(guān)系廣泛應(yīng)用于各學(xué)科領(lǐng)域。但是在實(shí)際問(wèn)題中，往往是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)以及計(jì)算等方法，得到的是函數(shù)在一些點(diǎn)上的函數(shù)值。如何通過(guò)這些離散的點(diǎn)找出函數(shù)的一個(gè)滿(mǎn)足精度要求且便于計(jì)算的近似表達(dá)式，是非常必要的。其中通過(guò)插值的方法求出函數(shù)的近似表達(dá)式是極常用的求解方法。 分段低次樣條插值雖然計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但只能保證各小段曲線(xiàn)在連接處的連續(xù)性，不能保證整件曲線(xiàn)的光滑性。利用樣條插值，既可保持分段低次插值多項(xiàng)式，又可提高插值函數(shù)光滑性。故給出分段三次樣條插值的構(gòu)造過(guò)程、算法步驟，利用MATLAB軟件編寫(xiě)三次樣條插值函數(shù)通用程序，并通過(guò)數(shù)值算例證明程序的正確性。二、三次樣條函數(shù)的定義 給定區(qū)間a,b上n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0x1xn=b及函數(shù)f(x)在這些點(diǎn)上的函數(shù)值yi，如果函數(shù)S(x)滿(mǎn)足條件： S(xi)=yi，i=0，1，n； S(x)在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上是不超過(guò)3次的多項(xiàng)式；S(x)在a,b內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)；則稱(chēng)S(x)為f(x)關(guān)于剖分a=x0x1xn=b的三次樣條差值函數(shù)，并稱(chēng)為樣調(diào)節(jié)點(diǎn)。根據(jù)定義，S(x)在每個(gè)子區(qū)間xi-1,xi為次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式：Si(x)=aix3+bix2+cix+di，xxi-1,xi在整個(gè)區(qū)間a,b上，S(x)為一分段函數(shù) 由于每一個(gè)三次多項(xiàng)式有四個(gè)待定系數(shù)，需要4個(gè)條件來(lái)確定，則對(duì)S(x)共需要4n個(gè)條件，由插值條件S(xi)=yi，i=0，1，n，得到n+1個(gè)條件；又根據(jù)樣條函數(shù)及其一階導(dǎo)函數(shù)、二階導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性：（i=1，2，n-1）又可以得到3(n-1)個(gè)已知條件，這樣共得到個(gè)已知條件，再附加兩個(gè)條件就可以唯一確定樣條函數(shù)了。兩個(gè)附加的條件往往以下面三種形式的邊界條件給出： 第 1 類(lèi)邊界條件：給定端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，S(x1)y1，S(xn)yn。第 2 類(lèi)邊界條件：給定端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值，S(x1)y1，S(xn)yn。特殊情況y1yn0，稱(chēng)為自然邊界條件。第 3 類(lèi)邊界條件是周期性條件：如果yf(x)是以b-a 為周期的函數(shù)，于是S(x) 在端點(diǎn)處滿(mǎn)足條件S(x10)S(xn-0)，S(x0)S(xn-0)。三、樣條函數(shù)的求解由n+1組數(shù)據(jù)：a = x0x1X(i)&x0X(i+1) L=i;y0=coeff(1)*x03+coeff(2)*x02+coeff(3)*x0+coeff(4);endval=X(i):interval:X(i+1);for k=1:length(val)fval(k)=coeff(1)*val(k)3+coeff(2)*val(k)2+coeff(3)*val(k)+coeff(4); endif mod(i,2)=1 plot(val,fval,r+)else plot(val,fval,b.) endhold onclear val fvalans=sym(coeff,d);ans=poly2sym(ans,t);fprintf(在區(qū)間%f,%f內(nèi)n,X(i),X(i+1);fprintf(三次樣條函數(shù)S(%d)=,i);pretty(ans); endfprintf (x0所在區(qū)間為%f,%fn,X(L),X(L+1);fprintf (函數(shù)在插值點(diǎn)x0=%f的值為n,x0);y02.輸出結(jié)果(部分)在區(qū)間-0.188397,-0.185631內(nèi)三次樣條函數(shù)S(1)= 0.16728107 t3 + 935800. t2 + 174480. t + 10843.在區(qū)間-0.185631,-0.181059內(nèi)三次樣條函數(shù)S(2)= -358650. t3 - 195530. t2 - 35531. t - 2152.3在區(qū)間-0.181059,-0.172073內(nèi)三次樣條函數(shù)S(3)= 44970. t3 + 23707. t2 + 4163.7 t + 243.44在區(qū)間-0.172073,-0.166523內(nèi)三次樣條函數(shù)S(4)= -55778. t3 - 28300. t2 - 4785.4 t - 269.87在區(qū)間-0.166523,-0.159167內(nèi)三次樣條函數(shù)S(5)= 72770. t3 + 35918. t2 + 5908.5 t + 323.73在區(qū)間-0.159167,-0.157624內(nèi)三次樣條函數(shù)S(6)= -701660. t3 - 333870. t2 - 52950.