數(shù)學分析(2)期末試題集(計算題第二部分).doc

廣義積分問題 1. 計算. 解 被積函數(shù)有奇點,因而問題屬暇積分,但易知,該暇積分收斂2. 求的最大、最小值.解 因為為偶函數(shù),故只需求函數(shù)在上的最大、最小值.令,得為唯一駐點,且當時,當時,.因此為極大值點,即最大值點,函數(shù)的最大值為,又,因此最小值為0. 3. 討論的收斂性(為常數(shù)) 解 當時, ,發(fā)散. 當時, ,所以,當時,廣義積分收斂;當時,廣義積分發(fā)散(極限不存在).4. 討論廣義積分的收斂性.解 因為為暇點,于是,廣義積分是混合型,應(yīng)分別進行討論.由于,而收斂,故收斂,由于,而收斂,故收斂,所以廣義積分收斂.5. 設(shè)為任意實數(shù),討論的收斂性.解 因為為暇點,該廣義積分為混合型, .對于第一個積分,當時,與為同階無窮大量,因此,當時,收斂(注意:當時,此積分為普通定積分)對于第二個積分,取比較對象.考慮極限,該極限只有在時才存在(等于零或),因此,當,即時,第二個積分收斂,而時,第二個積分顯然發(fā)散.綜上分析,原廣義積分在時收斂,當或時發(fā)散.6. 計算廣義積分.解 該廣義積分為混合型積分,需分成兩個積分進行計算.7. 計算.解,所以,原積分.8.計算.解 因為所以原式.9. 求.解 令,所以,故10. 求.解 令,則原式.11.求.解 .12. 求.解 ,令,則,所以,令,則.13. 判別下列反常積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根據(jù),即可知,反常積分收斂;(2) 注意當適當大時有,所以,反常積分收斂;(3) 注意到,可知,被積函數(shù)在可延拓成為連續(xù)函數(shù).而,所以,反常積分收斂;(4) 只需注意到,可知反常積分收斂;(5) 因為,故反常積分收斂;(6) 因為,故,反常積分發(fā)散;(7) 注意到,以及,所以,因而,當時,反常積分收斂,而當時,反常積分發(fā)散;14. 判別下列積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二項對應(yīng)的反常積分是絕對收斂的,第一項在是收斂的,故收斂;(2) 因為被積函數(shù)是負值,所以,只需看反常積分的收斂性,而從而,即當時,反常積分收斂,時發(fā)散.(3) 取,則,由Cauchy收斂準則知,反常積分發(fā)散.15. 計算下列反常積分:(1); (2) . (3). ; (4) ; (5) .解 (1)因為所以原式.(2) 令,所以,故(3)令,則原式.(4) .(5) ,令,則,所以,令,則.16. 判別下列反常積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ; (7) .解 (1) 根據(jù),即可知,反常積分收斂;(2) 注意當適當大時有,所以,反常積分收斂;(3) 注意到,可知,被積函數(shù)在可延拓成為連續(xù)函數(shù).而,所以,反常積分收斂;(4) 只需注意到,可知反常積分收斂;(5)因為,故反常積分收斂;(6)因為,故,反常積分發(fā)散;(7)注意到,以及,所以,因而,當時,反常積分收斂,而當時,反常積分發(fā)散;17. 判別下列積分的收斂性:(1) ; (2) ; (3) .解 (1) 由于,所以.注意到上式中的第二項對應(yīng)的反常積分是絕對收斂的,第一項在是收斂的,故收斂;(2) 因為被積函數(shù)是負值,所以,只需看反常積分的收斂性,而從而,即當時,反常積分收斂,時發(fā)散.(3) 取,則,由Cauchy收斂準則知,反常積分發(fā)散.18. 試判別下列積分的絕對收斂性:(1); (2) ;(3) ; (4) 解 (1) 注意到不等式,根據(jù)比較判別法知,絕對收斂.(2) 由,根據(jù)比較判別法知,絕對收斂.(3) 應(yīng)用變量替換以及分部積分法,可得,注意到是絕對收斂的(用比較判別法易知),故絕對收斂.(4) 因為,所以絕對收斂.19. 試判別下列積分的收斂性:(1) . (2) .(3) . (4) . (5) .解 (1)應(yīng)用Dirichlet判別法,因為的原函數(shù)有界,而在上單調(diào)遞減趨于零,故收斂.(2) 因為的原函數(shù)是為有界函數(shù),而在上單調(diào)遞減趨于零,故收斂.(3) 令,則,我們有,而在上單調(diào)遞減趨于零,且由,故的原函數(shù)是有界的,從而收斂. (4) 用Taylor公式把被積函數(shù)寫成 根據(jù)Dirichlet判別法,積分,都收斂,而積分在即時是收斂的;在是發(fā)散的.綜上所述,反常積分在時收斂,在時發(fā)散. (5) 對用Taylor公式,得注意到,而且及的原函數(shù)是有界的,因此積分都收斂,而是絕對收斂的,故反常積分收斂.數(shù)項級數(shù)問題1. 設(shè),判斷級數(shù)的收斂性.解 (1) 當時,記,且,因此,當時,原級數(shù)絕對收斂,當時,原級數(shù)發(fā)散.當時,因為序列為單調(diào)遞增趨于,所以,于是,所以,原級數(shù)必然發(fā)散.當時,原級數(shù)顯然絕對收斂.綜上分析,當時,原級數(shù)絕對收斂,當時,原級數(shù)發(fā)散.2. 設(shè)參數(shù),討論級數(shù)的收斂性.解 因為,所以,當,即為整數(shù))時,級數(shù)絕對收斂;當,即時,級數(shù)發(fā)散;當,即時,級數(shù)條件收斂.3. 設(shè)單調(diào)遞減,且發(fā)散,試問是否收斂?解 因為數(shù)列非負單調(diào)遞減,所以極限存在,記,由極限的保序性,則.由于交錯級數(shù)發(fā)散,根據(jù)萊布尼茨判斂法知,故.由極限的性質(zhì),存在正整數(shù),使當時,有,故當時,有,由于幾何級數(shù)收斂,由比較判別法知,級數(shù)收斂.4. 討論級數(shù)的收斂性.解 記級數(shù)的一般項且,極限故原級數(shù)收斂.(注:比值判別法因極限不存在,故失效)5. 討論級數(shù)的收斂性.解 因為,因此,該級數(shù)收斂.6. 討論級數(shù)的收斂性.解 因為,因此,該級數(shù)發(fā)散.7. 討論級數(shù)的收斂性.解 因為,因此,該級數(shù)收斂.8. 設(shè)參數(shù),且,就參數(shù)的取值情況討論的收斂性.解 因為,因此,只有當時,收斂.9. 設(shè),求.解 因為所以,令,則,所以.10. 設(shè)兩條拋物線和,記它們的交點橫坐標的絕對值為,求(1) 這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積; (2) 級數(shù)的和.解 (1) 交點坐標的絕對值為,因圖形關(guān)于軸對稱,于是. (2) ,.函數(shù)項級數(shù)問題1. 求下列級數(shù)的收斂域.(1); (2) ; (3) ;解 (1)設(shè),它們的公共定義區(qū)域為.()對于,因為,由比式判別法知,級數(shù)絕對收斂.()對于滿足的任意一點,因為,所以,級數(shù)發(fā)散.綜上所述,的收斂區(qū)域是.(2) ()當時,因為,所以,級數(shù)絕對收斂;()因為,所以,令,可知,當,即時,級數(shù)也絕對收斂,而當時,有,因而級數(shù)發(fā)散.綜上所述,的收斂區(qū)域是.(3) ()因為當時,所以,此時發(fā)散;()當時,有,故當時,收斂.綜上所述,的收斂域為.2. 求函數(shù)項級數(shù)的斂散性區(qū)域:解 ()當時,因為,所以在內(nèi)收斂;當時,所以發(fā)散;當時,由比較判別法可知,級數(shù)發(fā)散;當時,用Abel判別法可知,級數(shù)收斂,故的收斂域為.()當時,所以,當時,由比較判別法知,絕對收斂;當時,所以,級數(shù)發(fā)散;當時,由知, 級數(shù)發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為.3. 試判別下列函數(shù)列在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2);(3).解 (1),而,因為,令,得是函數(shù)在上的最大值點,所以 ,從而在上一致收斂于零.(2) ,而,因為,令,得是函數(shù)在上的最大值點,所以 ,從而在上一致收斂于零. (3)令,可知在處達到最大值:,所以,當時,在上一致收斂于零.4. 試判定下列函數(shù)列在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).(5); (6); (7); (8). (9)(注:為了證明,我們可適當放大成為,并保證有即可,本題就是這類題目)解 (1),又因為,所以, ,故在上一致收斂于.(2) ,又因為,所以, ,故在上一致收斂于.(3) ,又因為,所以, ,故在上一致收斂于.(4) ,又因為函數(shù)嚴格單調(diào)遞增有上界,故有不等式,所以, ,故在上一致收斂于. (5), ,所以,故在上一致收斂于.(6), 所以,故在上一致收斂于.(7), 故在上一致收斂于.(8),由于是偶函數(shù),故只討論時的情況.當時,有 ,所以, ,故在上一致收斂.(9)從而有,而且,所以,故在上一致收斂.5. 試判定下列函數(shù)列的一致收斂性:(1); (2); 解 (1) 因為?() 在區(qū)間上,由可知,故在內(nèi)不一致收斂.()而在區(qū)間上,由,可得,從而在上不一致收斂.?(2),() 在區(qū)間上,因為,所以,取,則,故在區(qū)間上不一致收斂.() 在區(qū)間上,因為,即知在區(qū)間上一致收斂.6. 判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2);(3); (4);(5); (6); 解 (1) 因為,所以在上一致收斂.(2) 因為 ,所以在上一致收斂.(3)令,則,令可得是的最大值點,而且,所以,得,即在上一致收斂.另解 因,而級數(shù)收斂,故由M-判別法知,級數(shù)在上一致收斂.又解 因為在區(qū)間上漁場一致收斂的,而對任意的,即是單調(diào)減少的,又,即在上一致有界,由阿貝爾判別法,知級數(shù)一致收斂.(4)令,令,可得是的最大值點,且有,因此,我們有,即在上一致收斂.(5) 令,令,可得是的最大值點,且有,因此,我們有,即在上一致收斂.(6) 令,令,可得是的最大值點,且有,因此,我們有,即在上一致收斂.7. 判別級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性。解(1)令得的最大值點為,所以,故,取,對,都存在,使得,由Cauchy準則知,在區(qū)間上不一致收斂.8. 判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).解 (1)因為在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(2) 因為在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(3) 因為在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.(4) 補充定義,則在閉區(qū)間上連續(xù),且,所以不一致收斂.9. 判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:(1); (2); (3); (4).(5);(6).解 (1)級數(shù)的部分和數(shù)列在閉區(qū)間上一致有界,而且,對,隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(2) 改寫為,則因收斂,所以,其部分和數(shù)列在區(qū)間上一致有界,而且,對,隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(3) 因為,也就是說, 級數(shù)的部分和在閉區(qū)間上一致有界,而數(shù)列隨增大而遞減,且有由Dirichlet判別法,知一致收斂.(4) 因為,也就是說, 級數(shù)的部分和在區(qū)間上一致有界,而數(shù)列單調(diào)遞減,且有由Dirichlet判別法,知一致收斂.(5) ()記,則有,對任意的,存在正整數(shù),當時,有,所以,即是遞減的.()級數(shù)的部分和在上一致有界,而且,對,隨增大而遞減,且有,由Dirichlet判別法,知一致收斂.(6) 因為,而數(shù)列單調(diào)遞減一致趨于零,由Dirichlet判別法,知一致收斂.10. 判別級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性解 對任意給定的,是單調(diào)數(shù)列,且一致有界.又因為,所以在上一致收斂,由Abel判別法知,一致收斂.11. 判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性:(1); (2); (3); (4).解 (1)顯然,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂,而在區(qū)間上連續(xù),故和函數(shù)在上連續(xù).(2) 因為,而對任意給定的,是單調(diào)遞增數(shù)列,且在上一致有界,而級數(shù)和級在區(qū)間上都是一致收斂,有Abel判別法可知,原級數(shù)一致收斂,因此和函數(shù)在上連續(xù).(3) 因為在區(qū)間上有不等式,由M判別法知,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂,而在區(qū)間上連續(xù),故和函數(shù)在上連續(xù).(4) 對,使得,因此,只需證明該級數(shù)在上一致收斂即可.因為,又存在,當時,有,由M判別法知,級數(shù)在上一致收斂,故和函數(shù)在點處連續(xù),又由的任意性,可知在內(nèi)連續(xù).12. 判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性: (1); (2); (3); (4).(5).解 (1) 因為而函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級數(shù)不一致收斂.(2) 因為當時,而函數(shù),故在區(qū)間上不連續(xù),所以級數(shù)不一致收斂.(3) 顯然,又,因而函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級數(shù)不一致收斂.(4) 考察級數(shù)在區(qū)間上的情形,因為因而函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級數(shù)不一致收斂.(5) 因為因而函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù),故級數(shù)不一致收斂.13. 試求下列極限值:(1); (2); (3); (4); (5).解 (1)考察區(qū)間上的情形,顯然是遞減趨于零的數(shù)列,且由可知,此數(shù)列是一致有界的.再注意到的一致收斂性,由Abel判別法,知,原級數(shù)一致收斂,所以在上連續(xù),從而得.(2) 考察區(qū)間上的情形,由,由M判別法知,原級數(shù)一致收斂,所以在上連續(xù),從而得,.(3) 考察區(qū)間上的情形,顯然是遞增且一致有界,且由可知,再注意到的一致收斂性,由Abel判別法,知,原級數(shù)一致收斂,所以從而得.(4) 考察區(qū)間上的情形,顯然,該級數(shù)一致收斂,從而得.(5) 考察區(qū)間上的情形,改寫此級數(shù)為,注意到級數(shù)是一致有界的,而隨的增大而遞減,又,可知,當時, 一致趨于零,由Dirichlet判別法,可知原級數(shù)一致收斂,從而得到. 14. 試討論下列級數(shù)在指定區(qū)域上的可微性: (1); (2);(3) .解 (1)當時,隨遞增而遞減趨于0,所以收斂.又由等式,以及在的鄰域上一致收斂,級數(shù)的部分和一致有界,由Dirichlet判別法知,在上一致收斂,因此在處可微且.(2)()由可知,此級數(shù)在是點收斂的.()當時,因其導數(shù)級數(shù)一致收斂,又,所以,在處可導.()當時,有,從而可知,所以在處不可導.(3) 易知,在上收斂,且慢有,對任意的,可取,使,又存在,使得,從而可得,因而在上一致收斂,即在上可微.15. 試討論下列級數(shù)在給定區(qū)間上的可微性:(1); (2);(3);(4) .解 (1)易知,級數(shù)在上收斂.因為,所以,導數(shù)級數(shù)在上一致收斂,因此,在上可微.(2) ()根據(jù)在上有不等式可知級數(shù)在上一致收斂,故在上連續(xù).()由于,故知導數(shù)級數(shù)在上一致收斂,根據(jù)逐項求導定理可知, .(3) 因為在上一致收斂,而是單調(diào)一致有界的,所以,由Abel判別法知,級數(shù)一致收斂,又由等式可知,該級數(shù)一致收斂,故可微. (4)應(yīng)用最值判別法易知級數(shù)絕對收斂.又由可知,導數(shù)級數(shù)在內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂,故可微. 冪級數(shù)問題1. 求實數(shù),使在內(nèi)發(fā)散,而在處收斂,并指出該級數(shù)的收斂域.解 因為,故收斂半徑.又由不等式(級數(shù)收斂的條件),令,則得,但當時,由,必有收斂點,這與條件矛盾,所以只有成立.該級數(shù)的收斂域為.2. 設(shè)級數(shù)在點處條件收斂,判斷級數(shù)是否收斂,若收斂,說明是條件收斂,還是絕對收斂?解 由冪級數(shù)的收斂性質(zhì),條件收斂點只能處于收斂區(qū)間的端點,而該級數(shù)收斂區(qū)間的中點為,由此得知其收斂半徑.有,又序列單調(diào)增加,因此,所以,而是相應(yīng)于冪級數(shù)在處的數(shù)項級數(shù),且,所以絕對收斂.由正項級數(shù)的比較判別準則可知,級數(shù)絕對收斂.3. 級數(shù)收斂,求其和. 解 .4. 將在處展開成為冪級數(shù),并指明收斂域.解法1 因為 ,兩邊求導得解法2 利用冪函數(shù)的基本展開式,有5. 將函數(shù)展開為的冪級數(shù).解 ,所以,注意到,所以.（注: 上述展開的級數(shù)在處均收斂,但在處無定義,是可去間斷點.從延拓的意義上講,收斂域也可以認為是.）6. 設(shè)將展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.解 因為,所以,當時,級數(shù)均條件收斂,最后得到.于是記上述的級數(shù)的和為,則,因此令,則.7. 將函數(shù)在處展開為冪級數(shù),并寫出收斂域.解 將拆分成部分分式形式,為,所以,收斂域為. 8. 設(shè)的麥克勞林級數(shù)為,又,求的麥克勞林級數(shù).解 由得到,逐次微分一次得,于是.9. 求級數(shù)的和函數(shù),并求的和.解 設(shè),則.因此得到.10. 求級數(shù)的和.解 設(shè),則只需求.又,而,所以故.(注:本題容易出錯的地方是:級數(shù)是從開始求和的).11. 設(shè)滿足為正整數(shù)),且,求函數(shù)項級數(shù)的和.解 求解已知方程得到.由解出,于是,收斂域為,記,當時,因此,當時,故當時,.12. 求級數(shù)之和.解 利用級數(shù)的運算法則,只需求下列級數(shù)的和,對第一個級數(shù),考慮下列冪級數(shù)求二次導數(shù):令,于是,令,得.另外有,所以.13. 求級數(shù)的和.解 所以.14. 求在處的冪級數(shù)展開式,指明收斂域.解 因為,所以.15 將展開為的冪級數(shù).解 因為,當時,有16. 設(shè)參