2019版高考數(shù)學(xué)不等式選講2第2講不等式的證明教案理.docx

第2講不等式的證明1基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立2不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等3數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵使用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式，關(guān)鍵是由nk時不等式成立推證nk1時不等式成立，此步的證明要具有目標(biāo)意識，要注意與最終達(dá)到的解題目標(biāo)進行分析、比較，以便確定解題方向 對于任意的x、yR，求證|x1|x|y1|y1|3.證明：根據(jù)絕對值的幾何意義，可知|x1|x|1，|y1|y1|2，所以|x1|x|y1|y1|123. 若a，b(0，)且ab1，求證：8.證明：因為ab1，所以a22abb21.因為a0，b0，所以1122228. 若x，y，zR，且xyz，求證：.證明：因為xyz，所以xyz0.由分?jǐn)?shù)性質(zhì)得0，y0，所以. 若ab1，證明：ab.證明：aab.由ab1得ab1，ab0，所以0.即a0，所以ab.比較法證明不等式典例引領(lǐng) (2016高考全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|1ab|.【解】(1)f(x)當(dāng)x時，由f(x)2得2x2，解得x1；當(dāng)x時，f(x)2；當(dāng)x時，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.比較法證明不等式的方法與步驟(1)作差比較法：作差、變形、判號、下結(jié)論(2)作商比較法：作商、變形、判斷、下結(jié)論提醒(1)當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法(2)當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法 通關(guān)練習(xí)1若a，bR，證明：(ab)(a5b5)2(a6b6)證明：因為(ab)(a5b5)2(a6b6)a6a5bab5b62a62b6a5bab5a6b6a5(ba)b5(ab)(ab)(b5a5)當(dāng)ab0時，ab0，b5a50，有(ab)(b5a5)a0時，ab0，有(ab)(b5a5)0時，ab0，有(ab)(b5a5)0.綜上可知(ab)(a5b5)2(a6b6)2已知a，b(0，)，求證：abba(ab).證明：abba.當(dāng)ab時，1；當(dāng)ab0時，00，a0時，1，0，0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【證明】法一：(綜合法)(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.法二：(分析法)(1)因為a0，b0，a3b32.要證(ab)(a5b5)4，只需證(ab)(a5b5)(a3b3)2，再證a6ab5a5bb6a62a3b3b6，再證a4b42a2b2，因為(a2b2)20，即a4b42a2b2成立故原不等式成立(2)要證ab2成立，只需證(ab)38，再證a33a2b3ab2b38，再證ab(ab)2，再證ab(ab)a3b3，再證ab(ab)(ab)(a2abb2)，即證aba2abb2顯然成立故原不等式成立分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其實質(zhì)是既充分利用已知條件，又時刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程通關(guān)練習(xí)1設(shè)x1，y1，求證：xyxy.證明：由于x1，y1，要證xyxy，只需證xy(xy)1yx(xy)2.因為yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因為x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立2已知實數(shù)a，b，c滿足a0，b0，c0，且abc1.(1)證明：(1a)(1b)(1c)8；(2)證明：.證明：(1)1a2，1b2，1c2，相乘得：(1a)(1b)(1c)88.(2)abbcac，abbc22，abac22，bcac22，相加得.反證法證明不等式典例引領(lǐng) 設(shè)0a，b，c，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a，又因為0a，b，c1，所以00，abbcca0，abc0，求證：a，b，c0.證明：(1)設(shè)a0，所以bc0，則bca0，所以abbccaa(bc)bc0矛盾，所以必有a0.同理可證：b0，c0.綜上可證a，b，c0.放縮法證明不等式典例引領(lǐng) 若a，bR，求證：.【證明】當(dāng)|ab|0時，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0時，由0|ab|a|b|，所以.綜上，原不等式成立“放”和“縮”的常用技巧在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：(1)變換分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性；(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0a0，則”提醒在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度 設(shè)n是正整數(shù)，求證：n(k1，2，n)，得.當(dāng)k1時，；當(dāng)k2時，；當(dāng)kn時，所以1，x0，nN，n1，則(1x)n1nx.【證明】(1)當(dāng)n2時，因為x0.所以(1x)212xx212x，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時不等式成立，即有(1x)k1kx，則當(dāng)nk1時，由于x1，x0.所以(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以當(dāng)nk1時不等式成立由(1)(2)可知，貝努利不等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時應(yīng)注意以下兩個證題步驟：(1)證明當(dāng)nn0(滿足命題的最小的自然數(shù)的值)時，命題正確(2)在假設(shè)nk(kn0)時命題正確的基礎(chǔ)上，推證當(dāng)nk1時，命題也正確這兩步合為一體才是數(shù)學(xué)歸納法，缺一不可其中第一步是基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù) 證明：對于nN*，不等式|sin n|n|sin |恒成立證明：(1)當(dāng)n1時，上式左邊|sin |右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時不等式成立，即有|sin k|k|sin |.當(dāng)nk1時，|sin(k1)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|cos |cos k|sin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.所以當(dāng)nk1時不等式也成立由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立 證明不等式的常用方法與技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù) 在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要分析每次使用時等號是否成立1(2018安徽省兩校階段性測試)已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求證：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由題意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.當(dāng)x1時，原不等式等價于2x32，即x1；當(dāng)1x2時，原不等式等價于12，即12時，原不等式等價于2x32，即2x.綜上，原不等式的解集為.(2)證明：由題意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立2求證：2.證明：因為，所以1122.3已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)，當(dāng)x1，1時，|f(x)|1.(1)求證：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求實數(shù)a的值解：(1)證明：由題意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1)f(1)因為當(dāng)x1，1時，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.當(dāng)a0時，不滿足題意，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x，即x.因為x1，1時，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4設(shè)a，b，c(0，)，且abc1.(1)求證：2abbcca；(2)求證：2.證明：(1)要證2abbcca，只需證14ab2bc2cac2，即證1(4ab2bc2cac2)0，而1(4ab2bc2cac2)(abc)2(4ab2bc2cac2)a2b22ab(ab)20成立，所以2abbcca.(2)因為，所以abc2a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立)5已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.解：(1)f(x)f(x4)|x1|x3|當(dāng)x1時，由2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x5或x3(2)證明：f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因為|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立1(2018武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)|x2|2x3，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)xM時，證明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)當(dāng)x2時，由f(x)x11，解得x0，此時x0；當(dāng)x2時，由f(x)3x51，解得x，顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0(2)證明：當(dāng)xM時，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x.令g(x)，則函數(shù)g(x)在(，0上是增函數(shù)，所以g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.2(2018沈陽模擬)設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc.(2)()證明：(1)要證abc，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即證a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立)證得所以原不等式成立(2).在(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明，即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca(當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立)所以原不等式成立3已知a，b，c均為正實數(shù)求證：(1)(