湖北省荊州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.2.2正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案（含解析）新人教版必修5 (2).doc

第一章 第1.2.2節(jié)：正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題，掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用。并結(jié)合三角形的有關(guān)知識解決三角形面積有關(guān)的問題。讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學(xué)生在歸納探究中體驗成功收獲的愉悅。學(xué)習(xí)重點、難點重點：能推導(dǎo)三角形的面積公式并利用面積公式及正弦定理、余弦定理來解決有關(guān)三角形面積的題目。 難點：利用正弦定理、余弦定理解決簡單的面積問題，并能利用三角形的有關(guān)知識及正、余弦定理來證明與三角形邊角有關(guān)的恒等式。 學(xué)法指導(dǎo)教師可放手讓學(xué)生探究，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能夠不拘一格，一題多解。d知識鏈接回顧我們的探究經(jīng)歷，從初中的直角三角形出發(fā)，引入三角形中的某個角，采取將銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的策略，結(jié)果探究出了三角形中的兩個重要定理正弦定理和余弦定理，給我們解決三角形問題帶來了極大的便利，那么我們不禁要問：利用三角形的有關(guān)知識還能推導(dǎo)出什么有用的結(jié)果呢？由此展開新課。e自主學(xué)習(xí)三角形的面積公式提出問題在abc中，若ac3，bc4，c60.問題1：abc的高ad為多少？提示：adacsin c3sin 60.問題2：abc的面積為多少？提示：sabcbcad43.問題3：若acb，bca，你發(fā)現(xiàn)abc的面積s可以直接用a，b，c表示嗎？提示：能sabsin c.導(dǎo)入新知三角形的面積公式(1)saha(ha表示a邊上的高)(2)sabsin cbcsin aacsin b.化解疑難三角形的面積公式sabsin c與原來的面積公式sah(h為a邊上的高)的關(guān)系為：hbsin c，實質(zhì)上bsin c就是abc中a邊上的高f.合作探究三角形的面積計算例1在abc中，已知c120，ab2，ac2，求abc的面積解由正弦定理知，即，所以sin b，由于abac，所以cb，故b30.從而a1801203030.所以abc的面積sabacsin a22sin 30 .類題通法1求三角形面積時，應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計算，還能使計算結(jié)果更加接近真實值2事實上，在眾多公式中，最常用的公式是sabcabsin cbcsin aacsin b，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式活學(xué)活用1(1)在abc中，若a60，b16，sabc64，則c_.(2)在abc中，若a3，b2，c4，則其面積等于_解析：(1)由已知得sabcbcsin a，即6416csin 60，解得c16.(2)由余弦定理得cos a，所以sin a ，于是sabcbcsin a24.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式證明問題例2在abc中，求證：.解法一：左邊右邊，其中r為abc外接圓的半徑.法二：左邊右邊，(cos c0).類題通法解決此類問題，既要用到三角形中特有的恒等變形公式，又要用到任意角三角函數(shù)的恒等變形公式，兩者要結(jié)合，靈活運用三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個定理，因此這類題型都可用不同的途徑求解活學(xué)活用2在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，求證：c.證明：由余弦定理的推論得cos b，cos a，代入等式右邊，得右邊c左邊，c.三角形中的綜合問題例3(2012江西高考)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知3cos(bc)16cos bcos c.(1)求cos a；(2)若a3，abc的面積為2，求b，c.解(1)由3cos(bc)16cos bcos c，得3(cos bcos csin bsin c)1，即cos(bc)，從而cos acos(bc).(2)由于0a，cos a，所以sin a.又sabc2，即bcsin a2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos a，得b2c213，解方程組得或類題通法解決三角形的綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識外，一般還要用到三角函數(shù)、三角恒等變換、方程等知識因此，掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式和性質(zhì)是解題關(guān)鍵活學(xué)活用3在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos，3.(1)求abc的面積；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos a2cos21，sin a.又由3，得bccos a3，bc5，sabcbcsin a2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos a20，a2.典例(12分)如圖，在四邊形abcd中，accdab1，1，sinbcd.(1)求bc邊的長；(2)求四邊形abcd的面積解題流程規(guī)范解答(1)accdab1，cosbac2cosbac1， cosbac，bac60.(3分)在abc中，由余弦定理有：bc2ab2ac22abaccosbac22122213，bc(6分)(2)由(1)知，在abc中有：ab2bc2ac2，abc為直角三角形，且acb90，(7分)sabcbcac1.(8分)又bcdacbacd90acd，sinbcd，cosacd，(9分)從而sinacd，(10分)sacdaccdsinacd11.(11分)s四邊形abcdsabcsacd.(12分)名師批注向量數(shù)量積運算公式易用錯，在abc中，和夾角有時誤認為abc，從而不得分 利用了誘導(dǎo)公式求cosacd，求解時對取正負號不把握活學(xué)活用在abc，中，ab2，cos c，d是ac上一點，ad2dc，且cosdbc.求：(1)bda的大?。?2) .解：(1)由已知得cosdbc，cos c，從而sindbc，sin c，cosbdacos(dbcc)，bda.(2)設(shè)dcx，則ad2x，ac3x，設(shè)bca，則在dbc中，由正弦定理得，ax.在abc中，由余弦定理，得4(3x)2(x)223xx.解得x1，3，.cos(c)24.g.課堂小結(jié)由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？有什么收獲？h達標檢測一、選擇題1在abc中，已知ab2，bc5，abc的面積為4，若abc，則cos 是()a. b.c d解析：選csabcabbcsinabc25sin 4.sin .又(0，)，cos .2在abc中，已知a30，a8，b8，則abc的面積為()a32 b.16c32或16 d32或16解析：選d在abc中，由正弦定理，得sin b，又ba，b60或120.當b60時，c180306090，sabc8832；當b120時，c1803012030，sabcabsin c8816.3在abc中，a60，ab2，且abc的面積sabc，則邊bc的邊長為()a. b.3c. d7解析：選asabcabacsin a，ac1由余弦定理可得bc2ab2ac22abaccos a41221cos 603.即bc.4abc的周長為20，面積為10，a60，則bc的邊長等于()a5 b.6c7 d8解析：選c如圖由題意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340a7.5某人從出發(fā)點a向正東走x m后到b，向左轉(zhuǎn)150再向前走3 m到c，測得abc的面積為 m2，則此人這時離開出發(fā)點的距離為()a3 mb. mc2 md. m解析：選d在abc中，sabbcsin b，x3sin 30，x.由余弦定理，得ac (m)二、填空題6abc的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為_解析：不妨設(shè)b2，c2，cos a，則a2b2c22bccos a9，a3.又sin a ，外接圓半徑為r.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過 h，該船實際航程為_解析：如圖所示，在acd中，ac2，cd4，acd60，ad2124822436，ad6，即該船實際航程為6 km.答案：6 km8在abc中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，則三邊長為_解析：由題意知a邊最大sin a，a120，a2b2c22bccos a.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答題9在abc中，若c4，b7，bc邊上的中線ad的長為，求邊長a.解：ad是bc邊上的中線，可設(shè)cddbx，則cba2x.c4，b7，ad，在acd中，有cos c，在abc中，有cos c.解得x.a2x9.10(2010浙江高考)在abc中，角a，b，c所對的邊