河北省暉中學高中數(shù)學 1.1 正弦定理和余弦定理學案 新人教B版必修5(1).doc

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1幾何法證正弦定理設bd為abc外接圓o的直徑，則bd2r，下面按a為直角、銳角、鈍角三種情況加以證明(1)若a為直角，如圖，則bc經(jīng)過圓心o，bc為圓o的直徑，bc2r，bc2r.(2)若a為銳角，如圖，連結(jié)cd，則bacbdc，在rtbcd中，bd2r，2r.即2r.(3)若a為鈍角，如圖，連結(jié)cd，則baccdb，所以sinbacsincdb，在rtbcd中，bd2r，又，2r，即2r.可證得：2r.同理可證：2r，2r.所以，不論abc是銳角三角形，直角三角形，還是鈍角三角形，都有：2r(其中r為abc的外接圓的半徑)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于其外接圓的直徑2坐標法證余弦定理如圖所示，以abc的頂點a為原點，射線ac為x軸的正半軸，建立直角坐標系，這時頂點b可作角a終邊的一個點，它到原點的距離rc.設點b的坐標為(x，y)，由三角函數(shù)的定義可得：xccos a，ycsin a，即點b為(ccos a，csin a)，又點c的坐標是(b,0)由兩點間的距離公式，可得：abc.兩邊平方得：a2(bccos a)2(csin a)2b2c22bccos a.以abc的頂點b或頂點c為原點，建立直角坐標系，同樣可證b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦值的積的2倍. 余弦定理的第二種形式是：cos a，cos b，cos c.易知：a為銳角b2c2a20；a為直角b2c2a20；a為鈍角b2c2a20.由此可見：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例一、解三角形的常見類型及解法方法鏈接：在三角形的邊、角六個元素中，只要知道三個，其中至少一個元素為邊，即可求解該三角形，按已知條件可分為以下幾種情況：已知條件應用定理一般解法一邊和兩角(如a，b，c)正弦定理由abc180，求角a；由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解兩邊和夾角(如a，b，c)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由abc180求出另一角在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角a、b；再利用abc180，求出角c.在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如a，b，a)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角b；由abc180，求出角c；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解，一解或無解.在解題過程中，也可以先利用正弦定理求解，再利用“三角形內(nèi)角和定理”和“大邊對大角”來檢驗例1如圖所示，在四邊形abcd中，已知adcd，ad10，ab14，bda60，bcd135.求bc的長解在abd中，設bdx，則ba2bd2ad22bdadcosbda，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去)由正弦定理：，bcsin 308.二、三角形解的個數(shù)判斷方法鏈接：已知三角形的兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，也可用余弦定理解三角形如已知a，b，a，可先由余弦定理求出邊c，即列關(guān)于c的方程a2b2c22bccos a，解出c后要注意驗證c值是否與a，b能構(gòu)成三角形符合題意的c值有幾個，對應的三角形就有幾解若采用正弦定理解三角形，可以結(jié)合下表先判斷解的情況，再解三角形.a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin aabbsin a ababab解個數(shù)一解一解兩解無解一解無解例2已知abc中，b3，c3，b30，求a的值解方法一利用余弦定理求解先將b3，c3，b30代入b2a2c22accos b，有32a2(3)22a3cos 30.整理，得a29a180.所以a6或a3，經(jīng)檢驗6和3均符合題意所以a的值為6或3.方法二利用正弦定理求解csin b，cbcsin babc有兩解6，sin c.c60或c120.當c60時，a180bc90.由6，解得：a6.當c120時，a180bc30.由6，解得a3.所以a的值為6或3.三、三角形的面積公式及應用方法鏈接：三角形面積的常用計算公式(1)saha(ha表示a邊上的高)；(2)sabsin cacsin bbcsin a；(3)sr(abc) (r為三角形內(nèi)切圓半徑)；(4)s (可由正弦定理推得)；(5)s2r2sin asin bsin c (r是三角形外接圓半徑)；(6)s (p是三角形的半周長)例3在abc中，已知b60，面積為10，外接圓半徑為r，求三邊a，b，c.解b2rsin b27，sabcacsin b，10ac，ac40，由b2a2c22accos b，得a2c289.由解得.或.所以abc的三邊長為a8，b7，c5或a5，b7，c8.四、利用正、余弦定理求三角形外接圓半徑方法鏈接：利用正弦定理2r，(其中r是abc的外接圓半徑)可以推得以下結(jié)論：(1)r；(2)r；(3)r(其中s為abc的面積)；(4)r (其中p為(abc)，即abc的半周長)有了這些結(jié)論，我們可以容易解決涉及三角形外接圓的問題例4如圖所示，已知poq60，m是poq內(nèi)的一點，它到兩邊的距離分別為ma2，mb11，求om的長解如圖所示，連接ab，由已知o，a，m，b四點都在以om為直徑的圓上這個圓就是abm的外接圓poq60，amb120.在abm中，ab2ma2mb22mambcos 120.ab2221122211147ab7.由正弦定理得om14.五、利用正、余弦定理判斷三角形形狀方法鏈接：(1)判斷三角形的形狀，主要有以下兩種途徑：利用正、余弦定理，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，然后通過因式分解，配方等方法，得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；利用正、余弦定理，把已知條件轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，然后通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)判斷三角形的形狀時，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，以免漏解(3)常見的三角形有：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形例5在abc中，acos abcos bccos c，試判斷三角形的形狀解方法一由正弦定理，設k0，aksin a，bksin b，cksin c，代入已知條件得ksin acos aksin bcos bksin ccos c，即sin acos asin bcos bsin ccos c.根據(jù)二倍角公式得sin 2asin 2bsin 2c，即sin(ab)(ab)sin(ab)(ab)2sin ccos c，2sin(ab)cos(ab)2sin ccos c.abc，abc，sin(ab)sin c0，cos(ab)cos c，又cos(ab)cos c，cos(ab)cos (ab)0，2cos acos b0，cos a0或cos b0，即a90或b90，abc是直角三角形方法二由余弦定理知cos a，cos b，cos c，代入已知條件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展開整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根據(jù)勾股定理知abc是直角三角形六、利用正、余弦定理證明三角形中的恒等式方法鏈接：證明三角恒等式有三種方向：一種是從等式某一側(cè)證到另一側(cè)；一種是將式子的兩側(cè)同時整理化簡得到相同的結(jié)果；最后一種是將要證的恒等式進行適當?shù)牡葍r變形，證明等價變形后的式子成立即可不論哪種方向都應遵循“從繁化簡”的原則例6在abc中，a，b，c的對邊分別為a，b，c，求證：0.分析利用正弦定理把邊角統(tǒng)一為角的代數(shù)式，再結(jié)合三角公式求證證明由正弦定理2r.a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.4r2(cos bcos a)；同理4r2(cos ccos b)；4r2(cos acos c)左邊4r2(cos bcos a)4r2(cos ccos b)4r2(cos acos c)4r2(cos bcos acos ccos bcos acos c)0.左邊右邊即0成立1忽視構(gòu)成三角形的條件而致錯例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍錯解cba且abc為鈍角三角形，c為鈍角由余弦定理得cos c0.k24k120，解得2k0.綜上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且abc為鈍角三角形，c為鈍角由余弦定理得cos c0.k24k120，解得2kk4，k2，綜上所述，k的取值范圍為2k180，故b135不適合題意，是個增解這個增解產(chǎn)生的根源是忽視了ab這一條件，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，角b應小于角a，故b135應舍去正解在abc中，由正弦定理可得sin b，因為ab，所以ab，所以b45.3忽視角之間的關(guān)系而致錯例3在abc中，試判斷三角形的形狀錯解，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b，ab.abc是等腰三角形點撥上述錯解忽視了滿足sin 2asin 2b的另一個角之間的關(guān)系：2a2b180.正解，sin acos asin bcos bsin 2asin 2b2a2b或2a2b.ab或ab.abc是等腰三角形或直角三角形例已知abc中，ab1，bc2，則角c的取值范圍是()a0c b0cc.c d.c分析數(shù)學中的許多問題可以從不同角度去考慮例如本題可以從正弦定理、余弦定理、構(gòu)造圖形等角度去考慮解析方法一(應用正弦定理)，sin csin a，0sin a1，0sin c.abbc，ca，c為銳角，0c.方法二(應用數(shù)形結(jié)合)如圖所示，以b為圓心，以1為半徑畫圓，則圓上除了直線bc上的點外，都可作為a點從點c向圓b作切線，設切點為a1和a2，當a與a1、a2重合時，角c最大，易知此時：bc2，ab1，acab，c，0c.答案a1已知abc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，設向量m(a，b)，n(sin b，sin a)，p(b2，a2)(1)若mn，求證：abc為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角c，求abc的面積(1)證明mn，asin absin b，即ab，其中r是abc外接圓半徑，a2b2，ab.abc為等腰三角形(2)解由題意知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去ab1)，sabcabsin c4sin.賞析在正、余弦