2第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2014).pdf

2 2 線性系統(tǒng)的輸入線性系統(tǒng)的輸入 輸出傳遞函數(shù)輸出傳遞函數(shù)描述描述 2 3 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 2 4 典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 第二章第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2 1 線性系統(tǒng)的輸入線性系統(tǒng)的輸入 輸出時間函數(shù)描述輸出時間函數(shù)描述 2 5 建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)方法簡介建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)方法簡介 2 6 框圖及其化簡方法框圖及其化簡方法 2 7 信號流程圖信號流程圖 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng)輸入 輸出變量以及內(nèi)部各變量描述系統(tǒng)輸入 輸出變量以及內(nèi)部各變量 之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 有了數(shù)學(xué)模型 就可以應(yīng)用一定的數(shù)學(xué)方有了數(shù)學(xué)模型 就可以應(yīng)用一定的數(shù)學(xué)方 法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算 乃法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算 乃 至對系統(tǒng)進(jìn)行綜合和校正 至對系統(tǒng)進(jìn)行綜合和校正 對線性定常系統(tǒng) 微分方程是最基本的數(shù)對線性定常系統(tǒng) 微分方程是最基本的數(shù) 學(xué)模型 最常用的數(shù)學(xué)模型是在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)換學(xué)模型 最常用的數(shù)學(xué)模型是在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)換 來的傳遞函數(shù)和動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 來的傳遞函數(shù)和動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 建立數(shù)學(xué)模型的方法有機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的方法有機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn) 辨識法兩種 辨識法兩種 2 2 1 1 線性系統(tǒng)的輸入線性系統(tǒng)的輸入 輸出時間函數(shù)描述輸出時間函數(shù)描述 線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟 線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟 1 1 確定系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量 選確定系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量 選 取必要的中間變量 取必要的中間變量 2 2 從輸入端開始 根據(jù)決定各變量之間相從輸入端開始 根據(jù)決定各變量之間相 互關(guān)系的物理 化學(xué)等定律 一一寫出相關(guān)變互關(guān)系的物理 化學(xué)等定律 一一寫出相關(guān)變 量的微分 或代數(shù) 方程式 量的微分 或代數(shù) 方程式 3 3 消去中間變量 寫出只含有系統(tǒng)輸入和消去中間變量 寫出只含有系統(tǒng)輸入和 輸出變量的微分方程 輸出變量的微分方程 4 4 將結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)化 即含輸出量的項(xiàng)寫在等將結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)化 即含輸出量的項(xiàng)寫在等 式左邊 含輸入量的項(xiàng)寫在等式右邊 且都按式左邊 含輸入量的項(xiàng)寫在等式右邊 且都按 微分的高階到低階排列 其形式為 微分的高階到低階排列 其形式為 11 011 1 1 1 1 nn mm nn ddd c tac tac ta c t nn dt dtdt mm ddd br tbr tbr tb r t mm dt dtdt 解解 畫出小車受力圖 畫出小車受力圖 求求彈簧彈簧 阻尼阻尼 質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程 質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程 K K為彈為彈 簧的彈性系數(shù) 簧的彈性系數(shù) f f為阻尼器的阻尼系數(shù) 忽略小車與地為阻尼器的阻尼系數(shù) 忽略小車與地 面的摩擦 試寫出以外力面的摩擦 試寫出以外力F F為輸入 以位移為輸入 以位移y y為輸出的系為輸出的系 統(tǒng)微分方程 統(tǒng)微分方程 阻尼器阻力為阻尼器阻力為 dt dy f 由牛頓運(yùn)動定律 有由牛頓運(yùn)動定律 有 Ky彈簧力為彈簧力為 y td d my dt d fKyF 2 2 該系統(tǒng)微分方程為 該系統(tǒng)微分方程為 FKyy dt d fy td d m 2 2 例例1 1 彈簧 彈簧 阻尼阻尼 質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng) 把 代入 并進(jìn)行整理得 把 代入 并進(jìn)行整理得 解 解 1 1 確定輸入輸出量確定輸入輸出量 iu 輸入輸入 ou 輸出輸出 iu ou LR C i 例例2 2 RLCRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路 這是一個線性定常二階微分方程 這是一個線性定常二階微分方程 2 2 列寫微分方程列寫微分方程 iuidt C Ri dt di L 1 dt du Ci o 3 3 消去中間變量消去中間變量 iooo uuu t d d RCu t d d LC 2 2 微分方程是描述線性系統(tǒng)的一種基本的微分方程是描述線性系統(tǒng)的一種基本的 數(shù)學(xué)模型 在確定的初始條件和輸入信號作數(shù)學(xué)模型 在確定的初始條件和輸入信號作 用下 通過對微分方程的求解 便可得到系用下 通過對微分方程的求解 便可得到系 統(tǒng)的輸出響應(yīng) 從而分析評價(jià)系統(tǒng)的性能 統(tǒng)的輸出響應(yīng) 從而分析評價(jià)系統(tǒng)的性能 研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對性能的影響 研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對性能的影響 但是高階微分方程的求解是比較困難的 但是高階微分方程的求解是比較困難的 而且分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響也十分而且分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響也十分 不便 所以對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時 通常采不便 所以對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時 通常采 用另外一種數(shù)學(xué)模型用另外一種數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2 2 2 2 線性系統(tǒng)的輸入線性系統(tǒng)的輸入 輸出傳遞函數(shù)描述輸出傳遞函數(shù)描述 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué) 模型之一 利用傳遞函數(shù) 可以 模型之一 利用傳遞函數(shù) 可以 不必求解微分方程就可以研究零初始條件不必求解微分方程就可以研究零初始條件 系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程 系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)動態(tài)過程了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)動態(tài)過程 的影響的影響 分析分析 可以把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函可以把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函 數(shù)的要求數(shù)的要求 綜合綜合 1 1 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是在零初始條件下 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是在零初始條件下 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 記為 記為 sR sC sG 一 一 傳遞函數(shù)的概念傳遞函數(shù)的概念 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為 1 1 1 1 110 11 trbtr td d btr m td m d btr m td m d b tcatc td d atc n td n d atc n td n d mm nn 1 0 ij a b in jm 式中式中 r t r t 輸入 輸入 c t c t 輸出 輸出 為常系數(shù) 取決于系統(tǒng)為常系數(shù) 取決于系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 對于實(shí)際系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 對于實(shí)際系統(tǒng) n n m m n 1 1 1 m1 1 1 as a s a s bsb sbsb sR sC sG n n n m m m 0 在零初始條件下 對上式進(jìn)行拉氏變換得 在零初始條件下 對上式進(jìn)行拉氏變換得 1 11 1 011 nn nn mm mm sa sasa C s b sbsbsbR s 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 只要把微分方程中的微分算子只要把微分方程中的微分算子用復(fù)用復(fù) dt d 變量變量s表示 把表示 把c t 和和r t 換成相應(yīng)的象函換成相應(yīng)的象函 數(shù)數(shù)C s 和和R s 即可方便的求得系統(tǒng)的傳 即可方便的求得系統(tǒng)的傳 遞函數(shù) 反之亦然 遞函數(shù) 反之亦然 1 011 mm mm M sb sbsbsb 極點(diǎn)極點(diǎn) 傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的根傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的根 1 11 nn nn D ssa sasa 零點(diǎn)零點(diǎn) 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根 C sM s G s R sD s 表示成零點(diǎn) 極點(diǎn)形式 表示成零點(diǎn) 極點(diǎn)形式 1 0 1 m i i n j j sz C sQ s G sbK R sP s sp i z j p 式中 式中 稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn) 稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn) 0 Kb 零極點(diǎn)增益零極點(diǎn)增益 稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 也稱為系統(tǒng)的特征根 稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 也稱為系統(tǒng)的特征根 將傳遞函數(shù)的分子 分母多項(xiàng)式變?yōu)槭滓欢囗?xiàng)將傳遞函數(shù)的分子 分母多項(xiàng)式變?yōu)槭滓欢囗?xiàng) 式 然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解 得 式 然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解 得 2 2 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì) 傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng) 它與傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng) 它與 線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng) 線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng) 傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān) 與系統(tǒng)傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān) 與系統(tǒng) 的輸入無關(guān) 的輸入無關(guān) 傳遞函數(shù)僅描述系統(tǒng)在零初始條件下輸入和輸傳遞函數(shù)僅描述系統(tǒng)在零初始條件下輸入和輸 出之間的關(guān)系 不反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量如何傳出之間的關(guān)系 不反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量如何傳 遞 遞 物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù) 物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù) 而在同一系統(tǒng)中 取不同的物理量作為輸入或輸而在同一系統(tǒng)中 取不同的物理量作為輸入或輸 出時 傳遞函數(shù)是不同的 出時 傳遞函數(shù)是不同的 傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是s的有理分式 的有理分式 分母多項(xiàng)式稱為系統(tǒng)分母多項(xiàng)式稱為系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 一個實(shí)際的即物理上可以實(shí)現(xiàn)的 一個實(shí)際的即物理上可以實(shí)現(xiàn)的 對象 總有分子的階次對象 總有分子的階次m小于或等于分母的階次小于或等于分母的階次 n 此時稱為 此時稱為n階系統(tǒng)階系統(tǒng) di LRiu dt 則傳遞函數(shù)為 則傳遞函數(shù)為 I s G s U s sG U s I s1 LsR U s I s 例例1 1 RLRL電路如圖所示電路如圖所示 依據(jù)電路理論依據(jù)電路理論 u R i LsR I sU s L 1 LsR 1 1 R L s R 3 3 傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法 r u c u R C t i tutRitu cr dt tdu Cti C ti 則微分方程為 則微分方程為 c cr dut RCutut dt 對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得 1 1 c r u s G s u sRCs sG sR sC 1 1 RCs sur suc 例例2 2 RCRC電路如圖所示電路如圖所示 依據(jù)基爾霍夫定律依據(jù)基爾霍夫定律 消去中間變量消去中間變量 3 3 傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法 4 4 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) t t t 0 t 0 0 t 00 t 0 1 tdt 且且 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換 1 tL 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為 t t 時 系統(tǒng)的輸出響時 系統(tǒng)的輸出響 應(yīng)稱為脈沖響應(yīng) 用應(yīng)稱為脈沖響應(yīng) 用g t 表示 表示 t 0 t 4 4 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 1 tLsR 可見 可見 脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)g t 的拉氏變換就是傳的拉氏變換就是傳 遞函數(shù) 遞函數(shù) sGsRsGsC 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) 11 sGLsCLtctg 即 即 tgLsG 所以 線性定常系統(tǒng)的所以 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈傳遞函數(shù)和脈 沖響應(yīng)函數(shù)包含了關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相沖響應(yīng)函數(shù)包含了關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相 同信息 同信息 通過用脈沖輸入信號激勵系統(tǒng)并測量通過用脈沖輸入信號激勵系統(tǒng)并測量 系統(tǒng)的響應(yīng) 能夠獲得有關(guān)系統(tǒng)動態(tài)特性系統(tǒng)的響應(yīng) 能夠獲得有關(guān)系統(tǒng)動態(tài)特性 的全部信息 的全部信息 即脈沖響應(yīng)也可作為系統(tǒng)的即脈沖響應(yīng)也可作為系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型 實(shí)際上 與數(shù)值較大的系統(tǒng)時間常數(shù)實(shí)際上 與數(shù)值較大的系統(tǒng)時間常數(shù) 相比 持續(xù)時間很短的脈動輸入信號可以相比 持續(xù)時間很短的脈動輸入信號可以 看作脈沖輸入信號 看作脈沖輸入信號 通常接觸到的自動控制系統(tǒng)都可以看成由這通常接觸到的自動控制系統(tǒng)都可以看成由這 些典型環(huán)節(jié)組合而成 些典型環(huán)節(jié)組合而成 2 2 4 4 典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 從每個元件或設(shè)備的動態(tài)特性或數(shù)學(xué)模型來從每個元件或設(shè)備的動態(tài)特性或數(shù)學(xué)模型來 看 可以分成為數(shù)不多的幾種基本類型 稱它們看 可以分成為數(shù)不多的幾種基本類型 稱它們 為典型環(huán)節(jié) 為典型環(huán)節(jié) 不管元件是機(jī)械式的 電氣式的 熱力式的 不管元件是機(jī)械式的 電氣式的 熱力式的 氣力式的 液力式的或其他形式的 只要它們的氣力式的 液力式的或其他形式的 只要它們的 數(shù)學(xué)模型一樣 就認(rèn)為它們是同一種基本環(huán)節(jié) 數(shù)學(xué)模型一樣 就認(rèn)為它們是同一種基本環(huán)節(jié) 特點(diǎn) 輸出不失真 不延遲 成比例地復(fù)現(xiàn)輸特點(diǎn) 輸出不失真 不延遲 成比例地復(fù)現(xiàn)輸 入信號的變化 入信號的變化 微分方程 微分方程 框圖 框圖 tKrtc 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) KsG K R s C s 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) c t K 1 0 t r t K K 放大系數(shù) 又稱增益放大系數(shù) 又稱增益 1 1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 實(shí)例 實(shí)例 R1 i u o u R2 利用利用 虛短虛短 虛虛 斷斷 的概念 可得 的概念 可得 另外 分壓器 齒輪減速器等都是自控系統(tǒng)另外 分壓器 齒輪減速器等都是自控系統(tǒng) 中常見的比例環(huán)節(jié) 中常見的比例環(huán)節(jié) 21 R u R u oi 進(jìn)行拉氏變換 進(jìn)行拉氏變換 21 R sU R sU oi 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 1 2 R R sU sU sG i o 特點(diǎn) 輸出量延緩地反應(yīng)輸入量的變化規(guī)律 特點(diǎn) 輸出量延緩地反應(yīng)輸入量的變化規(guī)律 當(dāng)輸入信號為階躍函數(shù)時 輸出響應(yīng)按當(dāng)輸入信號為階躍函數(shù)時 輸出響應(yīng)按 指數(shù)曲線上升 指數(shù)曲線上升 微分方程 微分方程 框圖 框圖 d c tc tKr t dt 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 1 K G s s 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) 1 t 0 c t 2 2 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) R s C s 1 K s 慣性時間常數(shù)慣性時間常數(shù) 1 1 1 1 RCs Cs R Cs sU sU sG i o R R C C i u o u Cs sU Cs R sU oi 1 1 利用運(yùn)算阻抗的概念及電路定律 利用運(yùn)算阻抗的概念及電路定律 R1 i u o u R2 C 特點(diǎn) 輸出量與輸入量對時間的積分成正比 特點(diǎn) 輸出量與輸入量對時間的積分成正比 微分方程 微分方程 框圖 框圖 trtc td d T 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) Ts sG 1 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) T T 積分時間常數(shù)積分時間常數(shù) 3 3 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) R s C s Ts 1 1 t 0 c t r t c t 實(shí)例 實(shí)例 利用運(yùn)算阻抗的概念 利用運(yùn)算阻抗的概念 21 Z sU Z sU oi 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) RCsZ Z sU sU sG i o 1 1 2 R i u o u C 利用利用 虛短虛短 虛斷虛斷 的的 概念 可得 概念 可得 RZ 1 Cs Z 1 2 特點(diǎn) 輸出量與輸入量對時間的微分成正比 特點(diǎn) 輸出量與輸入量對時間的微分成正比 微分方程 微分方程 框圖 框圖 tr td d tc 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) ssG 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) 微分時間常數(shù)微分時間常數(shù) 4 4 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 1 1 理想微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié) R s C s s 1 t 0 c t r t c t 該環(huán)節(jié)可視為理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)該環(huán)節(jié)可視為理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié) 的串聯(lián)組合 的串聯(lián)組合 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 1 Ts s sG T T 均為時間常數(shù)均為時間常數(shù) 2 2 實(shí)用微分環(huán)節(jié) 實(shí)用微分環(huán)節(jié) 當(dāng)當(dāng)T T遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于1 1時 上式可近似為時 上式可近似為G s G s s s 11 RCs RCs Cs R R sU sU sG i o R R C C i u o u R sU Cs R sU oi 1 利用運(yùn)算阻抗的概念及電路定律 利用運(yùn)算阻抗的概念及電路定律 實(shí)例 實(shí)例 該系統(tǒng)微分方程為 該系統(tǒng)微分方程為 FKyy dt d fy td d m 2 2 5 5 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 2 1 Y s G s F smsfsK 5 5 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) r u 輸入輸入 c u 輸出輸出 ru cu LR C i rccc uuu t d d RCu t d d LC 2 2 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 2 1 1 c r Us G s UsLCsRCs 2 1 cr LCsRCsUsUs 微分方程 微分方程 2 2 2 2 dd c tc tc tKr t dtdt 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 22 21 K G s ss 5 5 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 令令 1 n 則則 2 22 2 n nn K G s ss 無阻尼自然振蕩頻率 無阻尼自然振蕩頻率 阻尼比 阻尼比 n 特點(diǎn) 當(dāng)輸入為階躍信號時 輸出量可能呈現(xiàn)特點(diǎn) 當(dāng)輸入為階躍信號時 輸出量可能呈現(xiàn) 振蕩特性 振蕩特性 時 時 10 mI eR 0 n 2 1 n j 2 1 n j 極點(diǎn)分布圖極點(diǎn)分布圖 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) c t t 01 1 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 0 微分方程 微分方程 框圖 框圖 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù) 階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) c t 1 0 t r t 6 6 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 純滯后環(huán)節(jié) 遲滯環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié) 遲滯環(huán)節(jié) trtc s esG 延遲時間延遲時間 R s C s s e 特點(diǎn) 輸出量是輸入量在一定時間特點(diǎn) 輸出量是輸入量在一定時間后的復(fù)現(xiàn)后的復(fù)現(xiàn) c t 在實(shí)際的控制工程中 有許多系統(tǒng)具在實(shí)際的控制工程中 有許多系統(tǒng)具 有傳遞滯后的特征 特別是液壓 氣動和有傳遞滯后的特征 特別是液壓 氣動和 機(jī)械傳動系統(tǒng) 機(jī)械傳動系統(tǒng) 對于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 由于計(jì)算機(jī)進(jìn)對于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 由于計(jì)算機(jī)進(jìn) 行數(shù)學(xué)運(yùn)算需要一定時間 因此這類系統(tǒng)行數(shù)學(xué)運(yùn)算需要一定時間 因此這類系統(tǒng) 也有控制滯后的特征 也有控制滯后的特征 上述六種典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的特征上述六種典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的特征 來劃分的 因此 它們與系統(tǒng)中的部件不一來劃分的 因此 它們與系統(tǒng)中的部件不一 定能完全相對應(yīng) 定能完全相對應(yīng) 一個部件的傳遞函數(shù)可以由若干個典一個部件的傳遞函數(shù)可以由若干個典 型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)所組成 反之 若干個部型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)所組成 反之 若干個部 件傳遞函數(shù)的組合 有可能用一個典型環(huán)節(jié)件傳遞函數(shù)的組合 有可能用一個典型環(huán)節(jié) 的傳遞函數(shù)來表示 的傳遞函數(shù)來表示 通常自動控制系統(tǒng)均可看成各種典型環(huán)通常自動控制系統(tǒng)均可看成各種典型環(huán) 節(jié)的組合 節(jié)的組合 作作業(yè)業(yè) 2 2 6 6 框圖及其化簡方法框圖及其化簡方法 對于控制系統(tǒng)中的每個元件 環(huán)節(jié) 可以對于控制系統(tǒng)中的每個元件 環(huán)節(jié) 可以 用框圖來表示它的功能和信號流向用框圖來表示它的功能和信號流向 方框表示系方框表示系 統(tǒng)或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 指向方框的箭頭表示輸統(tǒng)或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 指向方框的箭頭表示輸 入 從方框出來的箭頭表示輸出 入 從方框出來的箭頭表示輸出 按照信號傳遞關(guān)系 從輸入量到輸出量依按照信號傳遞關(guān)系 從輸入量到輸出量依 次把各個元件 環(huán)節(jié) 的方框連接起來 就組次把各個元件 環(huán)節(jié) 的方框連接起來 就組 成了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 框圖 成了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 框圖 一 框圖的概念 方塊圖 結(jié)構(gòu)圖 一 框圖的概念 方塊圖 結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)或環(huán)節(jié)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)G s R s C s 參考輸入?yún)⒖驾斎?r t 輸出輸出 c t 框圖是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型 框圖是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型 框圖不僅直觀地表示了系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間框圖不僅直觀地表示了系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間 的關(guān)系和信號的傳遞過程 而且通過變的關(guān)系和信號的傳遞過程 而且通過變 換的方法可以比較方便地求出系統(tǒng)的傳換的方法可以比較方便地求出系統(tǒng)的傳 遞函數(shù) 遞函數(shù) 1 1 綜合點(diǎn) 相加點(diǎn) 匯綜合點(diǎn) 相加點(diǎn) 匯 合點(diǎn) 合點(diǎn) 2 2 引出點(diǎn) 分支點(diǎn) 引出點(diǎn) 分支點(diǎn) 在框圖中會用到以下兩個概念 在框圖中會用到以下兩個概念 a a b b a a b b 每個箭頭上的每個箭頭上的 表示信號是相加表示信號是相加 還是相減還是相減 進(jìn)行相 進(jìn)行相 加減的量應(yīng)具有相同加減的量應(yīng)具有相同 的量綱 的量綱 a a a a a a 引出點(diǎn)引出信號后 引出點(diǎn)引出信號后 不改變原來的信號 不改變原來的信號 二 二 框圖的等效變換和化簡框圖的等效變換和化簡 框圖等效變換的基本原則 框圖等效變換的基本原則 變換前后各變量間的變換前后各變量間的 數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變 數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變 系統(tǒng)中的各環(huán)節(jié)有系統(tǒng)中的各環(huán)節(jié)有串聯(lián) 串聯(lián) 并聯(lián)和反饋并聯(lián)和反饋三種基本的連接方三種基本的連接方 法 法 一 環(huán)節(jié)組合的等效變換 一 環(huán)節(jié)組合的等效變換 1 1 環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián) 1 sGsG i n i 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 2 sU 依此類推 可得 依此類推 可得 n n個環(huán)節(jié)串聯(lián) 等效傳遞個環(huán)節(jié)串聯(lián) 等效傳遞 函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積 即 函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積 即 sR sC G s 321 sGsGsG 2 2 環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)的并聯(lián) 依此類推 可得 依此類推 可得 n n個環(huán)節(jié)并聯(lián) 等效傳遞個環(huán)節(jié)并聯(lián) 等效傳遞 函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和 即 函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和 即 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 3 sU 2 sU 1 sGsG i n i sR sC G s 321 sGsGsG 3 3 反饋連接反饋連接 sH sR sC sG sE sB 前向通道傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù) 打開反饋后 輸出打開反饋后 輸出C s 與與R s 之比 等價(jià)之比 等價(jià) 于于C s 與誤差與誤差E s 之比之比 反饋通道傳遞函數(shù)反饋通道傳遞函數(shù) 主反饋信號主反饋信號B s 與輸出信號與輸出信號C s 之比之比 B s H s C s 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) Open loop Transfer Function 主反饋信號主反饋信號B s 與誤差信號與誤差信號E s 之比之比 B s G s H s E s C s G s E s 負(fù)反饋連接時負(fù)反饋連接時 E s R s B s 閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) s sR sC sEsGsC sH sR sC sG sE sB 推導(dǎo) 推導(dǎo) sCsHsB sBsRsE sCsHsRsGsC 等效傳遞函數(shù) 等效傳遞函數(shù) 1 sHsG sG sR sC s 如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡 如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡 則要考慮移動某些信號的綜合點(diǎn)和引出點(diǎn) 則要考慮移動某些信號的綜合點(diǎn)和引出點(diǎn) 二 綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動 二 綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動 等效變換的原則 等效變換的原則 1 1 變換前后引出的信號不變 變換前后引出的信號不變 2 2 變換前后綜合后的信號不變 變換前后綜合后的信號不變 G s 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 前移 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 前移 sG 1 sX sY sY 1 sX sG sN sY sY N s 1 sYsGsX sGsN 1 sYsNsX 1 1 引出點(diǎn)的移動 引出點(diǎn)的移動 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 后移 引出點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 后移 1 sG sN 11 sXsNsGsX sG 1 sX 1 sX sY sG 1 sX sY sN 1 sX N s 1 G s 把綜合點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 前移 把綜合點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端 前移 sG 1 sX 2 sX sY sG sN sY 1 sX 2 sX N s 21 sXsGsXsY 21 sGsNsXsGsXsY 1 sG sN 2 2 綜合點(diǎn)的移動 綜合點(diǎn)的移動 1 G s 把綜合點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 后移 把綜合點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端 后移 1 sX sG 2 sX sY 1 sX sN sG 2 sX sY 1 sX N s sG 2 sX sY 21 sGsXsXsY 21 sNsXsGsXsY 又 sGsN G s 注意注意 相鄰的信號綜合點(diǎn)位置可以互換相鄰的信號綜合點(diǎn)位置可以互換 1 sX 2 sX 3 sX sY 1 sX 3 sX 2 sX sY 同一信號的引出點(diǎn)位置可以互換同一信號的引出點(diǎn)位置可以互換 sG sX sY 1 sX 2 sX sG sX sY 2 sX 1 sX 綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)在一般情況下 不能互換 綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)在一般情況下 不能互換 所以 一般情況下 綜合點(diǎn)向綜合點(diǎn)移動 所以 一般情況下 綜合點(diǎn)向綜合點(diǎn)移動 引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動 引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動 sG 2 sX 3 sX sX sG 2 sX 3 sX sX 例例2 2 6 6 2 2 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 6 G 解 首先通過移動綜合點(diǎn)消除交錯 解 首先通過移動綜合點(diǎn)消除交錯 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 然后按反饋連接的法則從內(nèi)層到外層依次求解 然后按反饋連接的法則從內(nèi)層到外層依次求解 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 1 G sR sC 2 G 3 236 1 G G G G 4 G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236 1 G G G G G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236345 1 G G G G GG G G 7 G 1234 23634512347 1 GG G GC s s R sG G GG G GGG G G G sR sC 7 G 1234 236345 1 GG G G G G GG G G sR sC s 例例2 2 6 6 3 3 閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 求系統(tǒng) 閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 求系統(tǒng) 的輸出的輸出C s C s 1 sG 2 sG sH sR sN sC sE 圖中 圖中 為參考輸入量 為參考輸入量 為擾動輸入量 同時作為擾動輸入量 同時作 用于系統(tǒng) 產(chǎn)生輸出用于系統(tǒng) 產(chǎn)生輸出 sR sN sC 由于由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理線性系統(tǒng)滿足疊加原理 因此我們可以先求出 因此我們可以先求出 和和分別作用時系統(tǒng)的輸出 然后再進(jìn)行疊加得出它們共分別作用時系統(tǒng)的輸出 然后再進(jìn)行疊加得出它們共 同作用時的輸出同作用時的輸出 sR sN sC 1 1 給定輸入單獨(dú)作用下 給定輸入單獨(dú)作用下 1 sG 2 sG sH sR sC R sE sB HGG GG sR sC s R R 21 21 1 輸出量為 輸出量為 1 21 21 sR HGG GG sC R 0 sN令令 則有 則有 2 2 擾動輸入單獨(dú)作用下 擾動輸入單獨(dú)作用下 輸出對擾動的傳遞函數(shù)為 輸出對擾動的傳遞函數(shù)為 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 輸出為 輸出為 1 21 2 sN HGG G sC N 1 sG 2 sG sH sC sB sN sE 1 sG 2 sG sC sN sH 令令R s 0 R s 0 結(jié)構(gòu)圖如下 結(jié)構(gòu)圖如下 3 3 給定輸入和擾動輸入同時作用下 給定輸入和擾動輸入同時作用下 輸出 輸出 sNssRssC N 提示提示 各個傳遞函數(shù) 各個傳遞函數(shù)都具有相同都具有相同 的分母多項(xiàng)式 稱為控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 的分母多項(xiàng)式 稱為控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 ss N HGG GG sR sC s R 21 21 1 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 根據(jù)線性疊加原理 根據(jù)線性疊加原理 作作業(yè)業(yè) 信號流圖信號流圖和框圖類似和框圖類似 都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和 信號傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系信號傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系 因而因而信號流圖也是數(shù)學(xué)信號流圖也是數(shù)學(xué) 模型一種表示模型一種表示 框圖及其等效變換雖然對分析系統(tǒng)很有效框圖及其等效變換雖然對分析系統(tǒng)很有效 但是但是 對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)對于比較復(fù)雜的系統(tǒng) 方框圖的變換和化簡過程往往方框圖的變換和化簡過程往往 顯得繁瑣顯得繁瑣 費(fèi)時費(fèi)時 并易于出錯并易于出錯 如采用信號流圖如采用信號流圖 則則 可利用梅遜公式可利用梅遜公式 不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何 兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系 2 2 7 7 信號流程圖信號流程圖 信號流圖起源于梅遜 信號流圖起源于梅遜 S J MASONS J MASON 利用圖示法來 利用圖示法來 描述線性代數(shù)方程 是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò) 描述線性代數(shù)方程 是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 表示變量或信號 其值等于表示變量或信號 其值等于 所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號之和 所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號之和 支路支路連接兩個節(jié)點(diǎn)的定向線段 用連接兩個節(jié)點(diǎn)的定向線段 用 支路增益 傳遞函數(shù) 表示方支路增益 傳遞函數(shù) 表示方 程式中兩個變量的因果關(guān)系 程式中兩個變量的因果關(guān)系 支路相當(dāng)于乘法器 信號在支支路相當(dāng)于乘法器 信號在支 路上沿箭頭單向傳遞 路上沿箭頭單向傳遞 一 信號流圖的組成要素及其術(shù)語一 信號流圖的組成要素及其術(shù)語 輸入節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn) 源節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn) 只有輸出的節(jié)點(diǎn) 代表系統(tǒng)的輸入變量 只有輸出的節(jié)點(diǎn) 代表系統(tǒng)的輸入變量 輸出節(jié)點(diǎn)輸出節(jié)點(diǎn) 阱點(diǎn)阱點(diǎn) 只有輸入的節(jié)點(diǎn) 代表系統(tǒng)的輸出變量 只有輸入的節(jié)點(diǎn) 代表系統(tǒng)的輸出變量 輸出節(jié)點(diǎn)輸出節(jié)點(diǎn) 輸入節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn) 混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn) 既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn) 若從混合節(jié)點(diǎn)引出既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn) 若從混合節(jié)點(diǎn)引出 一條具有單位增益的支路 引出信號為輸出節(jié)點(diǎn) 一條具有單位增益的支路 引出信號為輸出節(jié)點(diǎn) 前向通道前向通道 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上通過任何節(jié)點(diǎn)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上通過任何節(jié)點(diǎn) 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸 通道通道 沿支路箭頭所指方向經(jīng)過多個節(jié)點(diǎn)的路徑沿支路箭頭所指方向經(jīng)過多個節(jié)點(diǎn)的路徑 開通道開通道 如果通道從某節(jié)點(diǎn)開始 終止在另一節(jié)點(diǎn)上 如果通道從某節(jié)點(diǎn)開始 終止在另一節(jié)點(diǎn)上 且通道中每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次 則該通道稱且通道中每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次 則該通道稱 為開通道 為開通道 回路回路 閉通道閉通道 如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn) 而與任何其它節(jié)點(diǎn)如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn) 而與任何其它節(jié)點(diǎn) 相交次數(shù)不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環(huán)等 相交次數(shù)不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環(huán)等 如果從一個節(jié)點(diǎn)開始 只經(jīng)過一條支路又回到該節(jié)點(diǎn)如果從一個節(jié)點(diǎn)開始 只經(jīng)過一條支路又回到該節(jié)點(diǎn) 的 稱為自回環(huán) 的 稱為自回環(huán) 不接觸回路不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路 ae bf g 回路增益回路增益 回路傳輸回路傳輸 回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益 回路傳輸回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益 回路傳輸 前向通道前向通道 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上通過任何節(jié)點(diǎn)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上通過任何節(jié)點(diǎn) 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸 回路回路 閉通道閉通道 如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn) 而與任何其它節(jié)點(diǎn)如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn) 而與任何其它節(jié)點(diǎn) 相交次數(shù)不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環(huán)等 相交次數(shù)不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環(huán)等 如果從一個節(jié)點(diǎn)開始 只經(jīng)過一條支路又回到該節(jié)點(diǎn)如果從一個節(jié)點(diǎn)開始 只經(jīng)過一條支路又回到該節(jié)點(diǎn) 的 稱為自回環(huán) 的 稱為自回環(huán) 不接觸回路不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路 x0為源節(jié)點(diǎn) 為源節(jié)點(diǎn) x6為阱點(diǎn) 為阱點(diǎn) x1 x2 x3 x4和和x5為混合為混合 節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn) abcdej是一條前向通道 而是一條前向通道 而abcde和和fghi是普通的通是普通的通 道 道 ai不是通道不是通道 因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致 因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致 abi也不也不 是通道 因?yàn)閮纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)是通道 因?yàn)閮纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x1 bi是一個閉通道 回環(huán) 而是一個閉通道 回環(huán) 而bchi不是一個閉通道 不是一個閉通道 因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x2 圖中共有四個回環(huán) 即圖中共有四個回環(huán) 即bi ch dg和和ef 兩個互不接觸 兩個互不接觸 的回環(huán)有三種組合 即的回環(huán)有三種組合 即bi ef bi dg和和ch ef 本系統(tǒng) 本系統(tǒng) 沒有三個及三個以上互不接觸的回環(huán) 沒有三個及三個以上互不接觸的回環(huán) 二二 信號流圖的基本性質(zhì)信號流圖的基本性質(zhì) 1 1 以節(jié)點(diǎn)代表變量 源點(diǎn)代表輸入量 阱點(diǎn)代表輸出量 以節(jié)點(diǎn)代表變量 源點(diǎn)代表輸入量 阱點(diǎn)代表輸出量 用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號的匯合 在混合節(jié)點(diǎn)處 出支用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號的匯合 在混合節(jié)點(diǎn)處 出支 路的信號等于各支路信號的疊加 路的信號等于各支路信號的疊加 2 2 以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程 信