二次函數(shù)各種題型匯總.doc

二次函數(shù)各種題型匯總 一、利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解題 （一）用對(duì)稱(chēng)比較大小 例1、已知二次函數(shù)y=x2-3x-4，若x2-3/23/2-x10，比較y1與y2的大小 解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=3/2，且3/2-x10，x2-3/20，所以x1在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，x2在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)， 由已知條件x2-3/23/2-x10，得：x2到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于x1到對(duì)稱(chēng)軸的距離，所以y2y1 （二）用對(duì)稱(chēng)求解析式 例1、已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求此拋物線(xiàn)的解析式。解：因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），所以對(duì)稱(chēng)軸為x=1，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的距離為6，所以?xún)山稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：x1=13=4，x2=1+3=2則兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）、（2，0）； 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為頂點(diǎn)式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=4/9。 所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y=4/9（x+1）2+4 （三）用對(duì)稱(chēng)性解題 例1：關(guān)于x的方程x2+px+1=0（p0）的兩根之差為1，則p等于（） A.2B.4C.D. 解：設(shè)方程x2+px+1=0（p0）的兩根為x1、x2，則拋物線(xiàn)y=x2+px+1與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0）。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=p/2，所以x1=p/21/2，x2=p/2+1/2，因?yàn)閤1x2=1。所以(p/21/2)(p/2+1/2=1，p2=5 因?yàn)閜0，所以p= 例2、如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2 +bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，點(diǎn)A，B均在拋物線(xiàn)上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（） A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3） 解：由點(diǎn)A，B均在拋物線(xiàn)上，且AB與x軸平行可知，點(diǎn)A，B關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)。設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）， 所以，（0+xB）/2=2，xB=4 B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）例2（2010，山東日照）如圖2是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是多少解析：由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線(xiàn)與軸的另一交點(diǎn)為（1，0），ax2+bx+c0的解集就是拋物線(xiàn)落在x軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3例3、（2010，浙江金華）若二次函數(shù)y=x2+2x+k的部分圖象如圖3所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0的一個(gè)解x1=3，另一個(gè)解x2是多少； 解：依題意得二次函數(shù)y=-x2+2x+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）， 拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1-（3-1）=-1，交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解為x1=3或x2=1故填空答案：x1=-1例4：如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a0）的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），則ab+c的值為（ ） A.0 B.1 C.1 D.2解法1：將P代入得：9a+3b+c=0由對(duì)稱(chēng)軸得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0 即a+2a+c=0 則 a-b+c=0解法2：由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸:x=1，及點(diǎn)P（3，0），可求出拋物線(xiàn)上點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（-1，0），由于Q在拋物線(xiàn)上，有（-1，0）滿(mǎn)足關(guān)系式，因?yàn)辄c(diǎn)p，Q在x軸上所以a-b+c=0，故選A例5、拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），則該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為-8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：由點(diǎn)A（-2,7），B（6,7）的縱坐標(biāo)相同，可知A、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且對(duì)稱(chēng)軸方程為x=（-2+6）/2=2，于是設(shè)該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2,-8)，則有2=（3+x2）/2，從而得x2=1，故答案為(1,-8). 例6、已知拋物線(xiàn)上有不同的兩點(diǎn)E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)求拋物線(xiàn)的解析式 分析：關(guān)鍵是確定一次項(xiàng)系數(shù)b觀(guān)察拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)縱坐標(biāo)相同，因此判斷得點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng) 解：的對(duì)稱(chēng)軸為x=-b（-1/22）=b 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上不同的兩點(diǎn)E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則b=（k+3)+(-k-1)2=1，拋物線(xiàn)的解析式為y=1/2x2+x+4-+例7（2010，山東聊城）如圖5，已知拋物線(xiàn)yax2+bx+c（a0）的對(duì)稱(chēng)軸為x1，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B （1）求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；分析：（1）由點(diǎn)C（0，3）知c3，只需求得a、b兩個(gè)未知的系數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A（1,0）和對(duì)稱(chēng)軸x=1，利用待定系數(shù)法可求解；（2）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，直線(xiàn)x=1是AB的垂直平分線(xiàn)，因此MAMB，要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小，所以點(diǎn)M就是直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)解：（1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）c3，yax2+bx-3。又拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以a-b-3=0 b/2a=1 解得 a=1 b=-2拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為yx22x-3由B（3，0），C（0，3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.當(dāng)點(diǎn)M（1，-2）時(shí)，M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最?。?）點(diǎn)A（1,0），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，點(diǎn)B（3，0）連接BC,交對(duì)稱(chēng)軸x=1于點(diǎn)M.點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上，MA=MB,直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x=1的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由B（3，0），C（0，3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.當(dāng)點(diǎn)M（1，-2）時(shí)，M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小例8、二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A（-3，1）、B（1，1）、C（-1，3）三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。 分析：由觀(guān)察可知點(diǎn)A（-3，1）、B（1，1）是拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)。根據(jù)結(jié)論2，可知直線(xiàn)是此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，所以點(diǎn)C（-1，3）恰為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為（頂點(diǎn)式），所以。從而可確定二次函數(shù)的解析式為。 例9. 已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，-5），且。試求拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)除A點(diǎn)以外的另一定點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：按照常規(guī)思維寫(xiě)出解析式，再確定某一常數(shù)點(diǎn)，思維受阻?？紤]到，從而可知對(duì)稱(chēng)軸為。根據(jù)結(jié)論3，A（-3，-5）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A一定在拋物線(xiàn)上，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-5）。因而另一定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-5）。例10、已知，拋物線(xiàn)（、是常數(shù)且不等于零）的頂點(diǎn)是A，如圖所示，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是B。（1）判斷點(diǎn)A是否在拋物線(xiàn)上，為什么？（2）如果拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求的值；這條拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)A能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：（1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A（，），而當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上。（2）頂點(diǎn)B（1，0），；設(shè)拋物線(xiàn)與軸的另一交點(diǎn)為C，B（1，0），C（，0），由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，ABC為等腰直角三角形，過(guò)A作AD軸于D，則ADBD。當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí)，解得或（舍）；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)，解得或（舍）。故。例11. 如圖2所示，圓O的直徑為2，AB、EF為互相垂直的兩條直徑，以AB所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)A作x軸，建立直角坐標(biāo)系。 （1）寫(xiě)出E、F的坐標(biāo)； （2）經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)從左至右交x軸于C、D兩點(diǎn)，若，試判定拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是否在圓內(nèi)。 （3）若經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)恰好在圓O上，試求拋物線(xiàn)的解析式。 分析：（1）E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）； （2）根據(jù)結(jié)論2可知，E、F關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，從而可知對(duì)稱(chēng)軸為。C、D是拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)結(jié)論1，易知C點(diǎn)坐標(biāo)為。設(shè)解析式為，建立方程組 可得解析式為。易知頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上。因?yàn)?，故知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓內(nèi)。 （3）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)只能為B點(diǎn)或A點(diǎn)，現(xiàn)分兩種情況討論。（1）當(dāng)B點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)解析式為（頂點(diǎn)式），所以。解得，所以解析式為。（2）當(dāng)A點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)解析式為，所以。解得，所以解析式為。 注意：求拋物線(xiàn)的解析式的過(guò)程中，為避免方程組中出現(xiàn)相同的方程，對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)中，只用其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)列方程。 二、二次函數(shù)a、b、c之間的關(guān)系題型及字母求值的題型1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論： b24ac0； 2a+b0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以abc= -123.解答：選D 2、如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（） a0 2a+b=0 a+b+c0 當(dāng)1x3時(shí)，y0 A1 B2 C3 D 解：圖象開(kāi)口向下，能得到a0；對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，x=1，則有=1，即2a+b=0； 當(dāng)x=1時(shí)，y0，則a+b+c0； 由圖可知，當(dāng)1x3時(shí)，y0 故選C 3、已知:M、N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，點(diǎn)N在直線(xiàn)y=x+3上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,b），則二次函數(shù)y= abx2+(a+b)x A. 有最大值，最大值為 B. 有最大值，最大值為 C. 有最小值，最小值為 D. 有最小值，最小值為 【解析】M(a,b)，則N(a,b)，M在雙曲線(xiàn)上，ab=；N在直線(xiàn)上，b=a+3,即a+b=3； 二次函數(shù)y= abx2+(a+b)x= x2+3x= (x3)2+，有最大值，最大值為，【答案】B 4、在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線(xiàn)向上（下）或向左（右）平移了個(gè)單位，使平移后的拋物線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則的最小值為（ B） A1 B2 C3 D6 【解析】因?yàn)槭亲蠡蛴移揭?，所以由求出拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)（3,0），（-2,0）將拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位，恰好使得拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且移動(dòng)距離最小 5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，其圖像的一部分如圖所示，對(duì)于下列說(shuō)法：abc0；a-b+c0； 3a+c0； 當(dāng)-1x0其中正確的是_(把正確說(shuō)法的序號(hào)都填上) 【解析】由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷 拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，a0， 與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上，c0， 對(duì)稱(chēng)軸為x=1，得2a=b，a、b異號(hào)，即b0， 又c0，abc0，故正確； 拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)可以看出， 當(dāng)x=1時(shí)，y0，ab+c0，故正確； 當(dāng)x=1時(shí)，y0， 而此時(shí)ab+c =3a+c，即3a+c0；故正確； 觀(guān)察圖形，顯然不正確【答案】 6、對(duì)于二次函數(shù)，有下列說(shuō)法：其中正確的說(shuō)法是 它的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)； 如果當(dāng)1時(shí)隨的增大而減小，則； 如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則； 如果當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等， 則當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為 【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系解答；4m24（3）4m2120，它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確； 找到二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再判斷函數(shù)的增減性；當(dāng)x1時(shí)y隨x的增大而減?。ㄗ⒁鈞的取值包含1，一般情況下，二次函數(shù)的增減性是以對(duì)稱(chēng)軸為界限，但不包含對(duì)稱(chēng)軸，即x的取值不能包含對(duì)稱(chēng)軸的值，）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=m，在直線(xiàn)x1的右側(cè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 將m1代入解析式，求出和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；將m1代入解析式，得yx22x3，當(dāng)y0時(shí)，得x22x30，即（x1）（x3）0，解得，x11，x23，將圖象向左平移3個(gè)單位后不過(guò)原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 根據(jù)坐標(biāo)的對(duì)稱(chēng)性，求出m的值，得到函數(shù)解析式，將m2013代入解析式；當(dāng)x4時(shí)的函數(shù)值與x2008時(shí)的函數(shù)值相等，對(duì)稱(chēng)軸為x1006，則1006，即m1006，原函數(shù)可化為yx22013x3，當(dāng)x2013時(shí)，y201322013201333，故本選項(xiàng)正確【答案】（多填、少填或錯(cuò)填均不給分） 7、（2013年廣西玉林市，11，3）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1,有如下結(jié)論：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，則正確的結(jié)論是（）A B C D 解：由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)位置得到：c1，選項(xiàng)錯(cuò)誤； 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=- =1，2a+b=0，選項(xiàng)正確； 由拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得到b2-4ac0，即b24ac，選項(xiàng)錯(cuò)誤；令拋物線(xiàn)解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，方程的兩根為x1，x2，且- =1，及- =2， x1+x2=- =2，選項(xiàng)正確，綜上，正確的結(jié)論有故選C 8、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，則一定有（A ）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)根 C.沒(méi)有實(shí)根 D.無(wú)法確定因?yàn)閍0，可知x=-1時(shí) ，函數(shù)值y0，所以方程兩個(gè)根分別位于-1兩側(cè),顯然這兩個(gè)根不相等。9、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，則一定有（ A ） A 、b2-4ac0 B 、b2-4ac=0 C 、b2-4ac0 D 、b2-4ac0 解：a0 拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下 a-b+c0 當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c0 拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) b2-4ac010、已知：abc，且a+b+c=0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是下列圖象中的（）A B C DA、由圖知a0，-b/2a=1，c0，即b0，已知abc，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由圖知a0，而已知abc，且a+b+c=0，必須a0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖C中條件滿(mǎn)足abc，且a+b+c=0，故本選項(xiàng)正確； D、a+b+c=0，即當(dāng)x=1時(shí)a+b+c=0，與圖中與x軸的交點(diǎn)不符，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選C11、二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么、，a+b+c，a-b+c這幾個(gè)代數(shù)式中，值為正的有（ A ） A、6個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)解：由圖知a0,對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a0,知b0,拋物線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸，c0, 所以abc0,因?yàn)閳D像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b-4ac0,由對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a1.a0知-b2a,即2a+b0由圖知當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c0.由圖知當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c0.由圖知當(dāng)x=-2時(shí),y=4a-2b+c012、二次函數(shù)的圖像如圖所示，OAOC，則下列結(jié)論： 0； ； ； ； 。其中正確的有（ ） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè) 解：由函數(shù)圖象可以得到以下信息：a0，b0，c0，則abc0,錯(cuò)誤；（開(kāi)口朝上，a0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，x=-b/2a0，b0，拋物線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸，c0）拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),b2-4ac0,正確；OA=OC, A點(diǎn)橫坐標(biāo)等于c, 則ac2+bc+c=0, 則ac+b+1=0, ac+b=-1，故ac-b=-1,不正確；對(duì)稱(chēng)軸x=-b/2a1,2a+b0,正確；OAOB=|xAxB|=- c/a,故正確；當(dāng)x=-2時(shí),4a-2b+c0,錯(cuò)誤；故選B13、若拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)在軸上，則的值為 2 。解：根據(jù)題型，函數(shù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，且開(kāi)口朝上，m-10，再根據(jù)頂點(diǎn)的y坐標(biāo)為零即可求得。 三、二次函數(shù)的平移 1、拋物線(xiàn)y=（x+2）2-3可以由拋物線(xiàn)y=x2平移得到，則下列平移過(guò)程中正確的是（ ）A. 先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 B. 先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C. 先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位 D. 先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位 解析：拋物線(xiàn)y=x2向左平移2個(gè)單位可得到拋物線(xiàn)y=（x+2）2，拋物線(xiàn)y=（x+2）2，再向下平移3個(gè)單位即可得到拋物線(xiàn)y=（x+2）2-3故平移過(guò)程為：先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位故選B答案：B2、已知下列函數(shù)：y=x2， y= -x2， y=(x-1)2+2.其中，圖像通過(guò)平移可以得到函數(shù)y= -x2+2x-3的圖像有 .解析：只要二次項(xiàng)的系數(shù)相同，這類(lèi)二次函數(shù)圖像均可以通過(guò)平移得到. 答案：.3、已知，0，把拋物線(xiàn)向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位所得到的新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（2，0），求原拋物線(xiàn)的解析式。分析：由可知：原拋物線(xiàn)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）；新拋物線(xiàn)向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即得原拋物線(xiàn)。解：可設(shè)新拋物線(xiàn)的解析式為，則原拋物線(xiàn)的解析式為。又因?yàn)?，易知原拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，0），解得 原拋物線(xiàn)的解析式為：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)發(fā)生了怎樣的移動(dòng)，常見(jiàn)的幾種變動(dòng)方式有：開(kāi)口反向（或旋轉(zhuǎn)1800），此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是反號(hào)；兩拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，反號(hào)；兩拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； 4、二次函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，則與分別等于（ c ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、14 5、已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（0，3），圖像向左平移2個(gè)單位后的對(duì)稱(chēng)軸是軸，向下平移1個(gè)單位后與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則此二次函數(shù)的解析式為 。 解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），說(shuō)明這是該函數(shù)和y軸的交點(diǎn)，圖象向左平移2個(gè)單位后以Y軸為對(duì)稱(chēng)軸，說(shuō)明該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為X=2的一條直線(xiàn)，圖像向下平移1個(gè)單位后與X軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，說(shuō)明頂點(diǎn)是（2,1），設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖像的解析式為y=a（x-2)2+1把點(diǎn)（0，3）代入得a（x-2)2+1=3 解得a=1/2，所以y=1/2（x-2）2+1=1/2x2-2x+3所以二次函數(shù)圖像的解析式為y=1/2x2-2x+3 6、已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），圖象向左平移2個(gè)單位以后y軸為對(duì)稱(chēng)軸，圖象向下平移1個(gè)單位后與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為（） A. y=1/2x2-2x+1 B. y=1/2x2+1 C. y=1/2x2+2x+3 D. y=1/2x2-2x+3 二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），各選項(xiàng)中c=3的只有C，D兩個(gè)選項(xiàng) 向左平移2個(gè)單位以后y軸為對(duì)稱(chēng)軸，說(shuō)明原函數(shù)解析式的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右邊，而只有D選項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右邊故選D四、交點(diǎn)個(gè)數(shù)與字母的取值例1、已知函數(shù)y=(x-1)2-1(x3), y=(x-5)2-1(x3),則使y=k成立的x值恰好有三個(gè),則k的值為（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3畫(huà)出圖像,易知當(dāng)根據(jù)圖象知道當(dāng)y=k=3時(shí)，對(duì)應(yīng)成立的x有恰好有三個(gè)，例2、已知函數(shù)y=|x2-2x|,若使y=k成立的x值恰好有兩個(gè)，則k的值為( ) A. -1 B.0 C.1 D 以上均正確方法一，你把A,B,C的答案帶進(jìn)去。其實(shí)，A、D答案可以首先排掉，因?yàn)閥=0.將C答案帶進(jìn)去X的值有3個(gè)。所以選B。方法二，畫(huà)出y=|x2-2x|的圖像，再用y=k這條直線(xiàn)去截。只有當(dāng)k=0時(shí)交點(diǎn)有2個(gè)。k=-1時(shí)無(wú)交點(diǎn)。k=1時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)。交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即成立的x值的個(gè)數(shù)。例3、函數(shù)y=|x2-1|和函數(shù)y=x+k的圖像恰有三個(gè)交點(diǎn)，則k的值是（1或5/4）解：1.先畫(huà)y=x2-1圖象.然后把x軸下方圖象翻到上面.得y=|x2-1|圖象.2.y=x+k是一個(gè)平行直線(xiàn)系.特點(diǎn)是斜率不變(不同直線(xiàn)系特點(diǎn)不同,還有的恒過(guò)某一定點(diǎn)).縱軸截距隨k的變化而變化.3.平移直線(xiàn).從下往上試.比如說(shuō)與y=|x2-1|交于(1,0),正好是一個(gè)交點(diǎn).然后繼續(xù)往上平移,可以得到兩個(gè)交點(diǎn).不久就發(fā)現(xiàn)了,當(dāng)與y=|x2-1|交于(-1,0)時(shí),恰有3個(gè)交點(diǎn).得k=1.然后繼續(xù)向上平移一點(diǎn),得到4個(gè)交點(diǎn).在平移一點(diǎn),當(dāng)與y=|x2-1|中間突起部分相切時(shí),也是恰好個(gè)交點(diǎn).下面通過(guò)運(yùn)算求這個(gè)切點(diǎn).只考慮突起這部分函數(shù).是y=-x2+1.讓它與y=x+k聯(lián)立,消去y得-x2+1=x+k.即x2+x+k-1=0.只有一個(gè)交點(diǎn),判別式為0.即1-4*(k-1)=0.得k=5/4. 例4、已知二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a（a0） （1）求此二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)A、B（A在B的左邊）的坐標(biāo)； （1）令ax2-2ax-3a=0（1分）解得x1=-1，x2=3（2分） 所以A（-1，0），B（3，0）（1分） 例5、已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖像與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍因?yàn)槎魏瘮?shù)y=kx2-7x-7的圖像與x軸有交點(diǎn)，所以0。即（-7）2-4k(-7)0, k-7/4.且k0。例6、已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的圖象與x軸總有交點(diǎn),(1)求m的取值范圍 (2)當(dāng)函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)倒數(shù)和等于-4時(shí)，求m值（1） =4(m-1)-4（m+1）（m+6）0，（2） 得到m-5/9。 （2）x1+x2=-b/a=-2（m-1）/(m+6)， x1x2=c/a=(m+1)/(m+6）, 1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-2m+2)/(m+1)=-4, 得到m=-3例7、拋物線(xiàn) 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A3B2C1D0方法1：拋物線(xiàn)解析式，令x=0，解得：y=4，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為（0，4），令y=0，得到，即，分解因式得： ，解得： , :。方法2：拋物線(xiàn)解析式，令x=0，解得：y=4，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為（0，4），判斷0，則拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)分別為（，0），（1，0），綜上，拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3【答案】選A五、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)。 1、二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大。則當(dāng)時(shí)，的值是 7 。 2、已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，且它的最高點(diǎn)在直線(xiàn)上，則它的頂點(diǎn)為 ， 。六、函數(shù)與幾何圖形1、如圖，已知ABC中，BC8，BC邊上的高，D為BC上一點(diǎn)，EFBC交AB于E，交AC于F（EF不過(guò)A、B），設(shè)E到BC的距離為，DEF的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（ ） 解：過(guò)點(diǎn)A向BC作AHBC于點(diǎn)H，所以根據(jù)相似比可知：EF/BC=(4-X)/4，即EF/8=(4-X)/4解得：EF=2（4-x），所以DEF的面積為：y=1/22（4-x）x= -x2+4x 因此選D2、若拋物線(xiàn)與四條直線(xiàn)，圍成的正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A、1 B、2 C、1 D、2解：根據(jù)題意得，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，a0，a越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小，它與正方形的臨界關(guān)系有兩種種，第一經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，第二經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，其中經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)的時(shí)候a取最大值，帶入得a=2；其中經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)的時(shí)候a取最小值，帶入得a=1/4，所以得到1/4a23、如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像是（ C ） A B C D4、如圖，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)的大致圖像是（ C ） A B C D七、解決實(shí)際問(wèn)題：1、已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（1，15），設(shè)其圖像與軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在圖像上，且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。2、某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程。下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售時(shí)間（月）之間的關(guān)系（即前個(gè)月的利潤(rùn)總和S與之間的關(guān)系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與時(shí)間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？ 3、拋物線(xiàn)，和直線(xiàn)（0）分別交于A、B兩點(diǎn)，已知AOB900。（1）求過(guò)原點(diǎn)O，把AOB面積兩等分的直線(xiàn)解析式；（2）為使直線(xiàn)與線(xiàn)段AB相交，那么值應(yīng)是怎樣的范圍才適合？4、如圖，拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）。（1）求拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）D是拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，C是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線(xiàn)的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到軸、軸的距離的比為52的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線(xiàn)上，且它與點(diǎn)A在此拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)。問(wèn)：在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使APE的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）10月；（3）5.5萬(wàn)元 3、（1）；（2）304、（1）B（3，0）；（2）或； （3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（2，），使APE的周長(zhǎng)最小。八、函數(shù)與一元二次方程【例1】已拋物線(xiàn)（為實(shí)數(shù)）。（1）為何值時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)？（2）如果拋物線(xiàn)與軸相交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且ABC的面積為2，求該拋物線(xiàn)的解析式。分析：拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根應(yīng)滿(mǎn)足的條件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1） 又 或或 【例2】已知拋物線(xiàn)。（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)都在軸的正半軸上；（2）設(shè)拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)A，與軸交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)ABC的面積為48平方單位時(shí)，求的值。（3）在（2）的條件下，以BC為直徑作M，問(wèn)M是否經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P？解析：（1），由，可得證。（2） 又 解得或（舍去） （3），頂點(diǎn)（5，9）， M不經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。評(píng)注：二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，因此，善于促成二次函數(shù)問(wèn)題與二次方程問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問(wèn)題的常用技巧。 探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】如圖，拋物線(xiàn)，其中、分別是ABC的A、B、C的對(duì)邊。（1）求證：該拋物線(xiàn)與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)有直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E、F，與軸交于點(diǎn)M，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)N，若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，MNE與MNF的面積之比為51，求證：ABC是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)P、Q，問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與軸相切的圓？若存在這樣的圓，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：（1）