（系統(tǒng)工程專業(yè)論文）交通流混沌研究初步.pdf

摘要 混沌學(xué)是當(dāng)前非線性科學(xué)的前沿領(lǐng)域。混沌學(xué)是理論研究的基礎(chǔ)學(xué)科，混沌 理論可以成為其他學(xué)科的工具。本文第一章對混沌進行了介紹，闡述了混沌的定 義，基本特征和各種混沌的檢驗方法。 交通系統(tǒng)的不確定性與混沌是緊密聯(lián)系的，本文的第二章敘述了現(xiàn)有的交通 流理論并指出了造成交通流不確定性的幾種因素。借鑒了國內(nèi)外學(xué)者對交通流混 沌的研究成果，分析了既有交通流混沌研究的進展，研究方式和待拓展的方向。 交通流理論模型是理論研究和工程運用的重要工具，如何判斷一種交通流模型的 合理性以為交通流模型的選用提供依據(jù)是一個值得重視的問題。 本論文第三章提出了用混沌作為檢驗交通流模型合理性的判據(jù)的方法。在模 型合理性判斷的研究中，我們選用了最常用的幾類跟馳模型，通過對其仿真交通 流時間序列進行混沌檢驗，進而判斷其合理性。本方法為交通流模型合理性的判 斷提出了一種新的思路。交通系統(tǒng)是一個復(fù)雜的巨系統(tǒng)，交通流中存在混沌。 如何揭示交通流混沌特征和本質(zhì)以便為進一步的工作提供依據(jù)是本文第四 章的主要內(nèi)容。針對這一問題，本論文的研究從不同的角度對不同途徑獲得的交 通流進行了研究。1 利用混沌判據(jù)對天津衛(wèi)津路和紅旗路的實測交通流數(shù)據(jù)分 析。2 利用混沌判據(jù)對軟件仿真交通流仿真數(shù)據(jù)進行分析。3 利用混沌判據(jù)對理 論交通流進行分析。三種交通流分析的結(jié)果都表明交通流中的確存在混沌現(xiàn)象。 進一步的實驗分別對理論交通流，實測交通流和模型交通流的李雅普諾夫指數(shù)和 分維數(shù)進行了比較，結(jié)果表明三者的相關(guān)混沌屬性大體上是一致的，微小的差異 來源于仿真軟件和理論模型對實際交通條件的簡化。 研究交通流混沌的目的正是著眼于實際運用。本論文第五章提出了幾種控制 交通流混沌的方法。在交通控制中，如何保持交通流的穩(wěn)定和有序一直是一個工 程難題。本論文提出的保持交通流穩(wěn)定有序的一種途徑是：通過抑制和削弱交通 流涅沌來達到良好交通控制的目的。就目前控制混沌的方法看，主要有反饋控制 混沌和非反饋控制兩大類。本論文以交通流跟馳模型為對象，對兩類方法在交通 流混沌控制的應(yīng)用都進行了研究。首先通過用反饋方法控制相關(guān)模型變量到達了 消除混沌的方法。同時，在非反饋控制混沌方法方面，提出了參數(shù)控制和噪聲控 制混沌的方法。相比之下，反饋控制混沌的方法具有較高的可實現(xiàn)性，而后兩種 方法的提出，也是控制交通流混沌的有益嘗試。展望未來，隨著相關(guān)理論和技術(shù) 手段的不斷成熟，交通系統(tǒng)的混沌理論必將得到更深入的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：混沌、交通流、交通流仿真、關(guān)聯(lián)維數(shù)、李雅普諾夫指數(shù)、交通控制 a b s t r a c t r e s e a r c hi nc h a o ss t a n d sa tt h ef r o n to fn o n l i n e a rs c i e n c e c h a o s i sab a s i c s u b j e c t ；c h a o st h e o r ya n dc h a o s m e t h o dc a nb eu s e da sat o o lf o rt h eo t h e rs u b j e c t s t h ed e f i n i t i o n ，t h eb a s i cf e a t u r e sa n dv e r i f i c a t i o no f c h a o sa l - ed e t a i l e dp r e s e n t a t e di n c h a p t e r o n e t h eu n c e r t a i n t yo ft r a f f i cs y s t e mi si nc l o s ec o n n e c t i o nw i t hc h a o s i nc h a p t e r t w o ，s e v e r a lf a c t o r sc a u s i n gt h eu n c e r t a i n t yo f t r a f f i cf l o wa r ed i s c u s s e db e s i d e s ，t h e p r e s e n ts t a t ea n dt h ep r o b l e m s i nc h a o sr e s e a r c ha r er e v i e w e db a s e do nt h ea n a l y s i so f t h er e f e r e n c e s i nc h a p t e rt h r e e ，an e wa p p r o a c hf o re v a l u a t i n go fr e a s o n a b i l i t yf o rt h et r a f f i c f l o wm o d e l sh a sb e e np r e s e n t e d t h et i m es e r i a l so ft r 蕊cf l o wa r eg e n e r a t e db y s e v e r a lm o s tc o m m o nu s e dc a r - f o l l o w i n gm o d e l s t h ea p p e a r i n go f c h a o s s t a t ec a nb e t a k e n 黔ac r i t e r i o no f t h er e a s o n a b i l i t yo f t h et r a f f i cm o d e l t h i sa p p r o a c hp r e s e n t sa n e wi d e af o re v a l u a t i n gf o rt r a f f i cf l o wm o d e l s t h em a i nt o p i co f c h a p t e rf o u r i st of i n dt h en a t u r eo fc h a o si nt r a f f i cf l o w t h e r e s e a r c hd e n lw i t hd i f f e r e n t a s p e c t s o ft r a f f i cf l o w g e t f r o md i f i r e r e n t w a y 1 a n a l y s i s i n gt h et r a f f i c f l o wd a t aa tw e i j i nr o a da n dh o n q ir o a di nt i a n j i nw i t h c h a o sc r i t e r i o n 2 a n a l y s i s i n gt h et i m es e r i e sg e n e r a t e db vt r a m cs o f l w a r e w i t hc h a o s c r i t e r i o n 3 a n a l y s i s i n gt h et i m es e r i e sg e n e r a t e db yt r a f f i cf l o wm o d e l sw i t hc h a o s c r i t e r i o n f a r t h e re x p e r i m e n t sc o m p a r e dt h ec h a o ss t a t e so ft h e s et h r e ek i n d so f t y p i c a lt r a f f i cf l o w sb yt h e i rc o r r e l a t i v ed i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n t s r e s u l t s s h o wt h a tt h et h r e ek i n do ft r a f f i cf l o wa r es i m i l a ri nc h a o sn a t u r et h et i n yd i f f e r e n c e b e t w e e nt h er e s u l t so r i g i n a t e sf i - o mt h es i m p l i f y i n go ft h ea c t u a lc i r c u m s t a n c ei n s i m u l a t i o ns o f t w a r ea n dt r a 伍cm o d e l c e r t a i n l y , a c a d e m i cr e s e a r c h e sa r ea i m e d a tp r a c t i c a la p p l i c a t i o ni ne n g i n e e r i n g c h a p t e rf i v ep r e s e n t ss e v e r a la p p r o a c h e sf o rc h a o sc o n t r o l l i n gi nt r a 幣cf l o w h o w t o k e e p t h es t a b i l ea n do r d e r l ys t a t eo f t r a f f i cf l o wi sa ne n g i n e e r i n g p r o b l e m o n eo f t h e e f f e c t i v ew a y sf o rw e l 】t r a f i l ec o n t r 0 1i st ob a t eo rw e a k e nc h a o ss t a t e u pt on o w , t h e r ea r et w ok i n d so f a p p o a c hi nc h a o sc o n t r o l ：o n ei sf e e d b a c kc o n t r 0 1 a n dt h e o t h e ri sn of e e d b a c kc o n t r o l c a r - f o l l o w i n gm o d e l sa r et a k e na ss u b j e c ti nt h er e s e a r c h a st ot h ef i r s tm e t h o d ，b ya d j u s t i n gc o r r e l a t i v em o d e lv a r i a b l e sw i t hf e e d b a c km e t h o d ， c h a o sc a nb ee l i m i n a t e d t h eo t h e rt w on of e e d b a c km e t h o d s ：c o n t r o lt h r o u g h p a r a m e t e r a n dc o n t r o l t h r o u g hd i s t u r b a n t e ，a r ep r e s e n t e d i nt h e p a p e rt o o b y c o m p a r i s o n m e t h o do fc o n t r o lw i t hf e e d b a c ki sp r o n et ob er e a l i z e di ne n g i n e e r h o w e v e r , t h el a s tt w o m e t h o d si sav a l u a b l e a t t e m p t w i t i ld e v e l o p i n g o f c o r r e s p o n d i n gt h e o r ya n dt e c h n o l o g y , c h a o st h e o r yw i l ls e eam o r ef l o u r i n gf u t u r ei n n o tl o n gt i m e k e yw o r d s ：c h a o s ，t r a f f i cf l o w , t r a f f i cf l o ws i m u l a t i o n ，c o r r e l a t i v ed i m e n s i o n l y a p u n o ve x p o n e n t s ，t r a f f i cc o n t r o l 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得墨疊盤堂或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證 書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中 作了明確的說明并表示了謝意。 學(xué)位論文作者簽名：簽字日期：年月日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解苤鲞盤堂一有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 特授權(quán)盤盜盤堂可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢 索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué)校 向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說明) 學(xué)位論文作者簽名：導(dǎo)師簽名： 簽字日期：年月日簽字日期：年 月日 交通流混沌研究初步 第一章混沌簡介 1 1混沌的基本概念與性質(zhì) 混沌現(xiàn)象最早是山美幽科學(xué)家洛倫鰒發(fā)現(xiàn)的，他在選擇數(shù)值天氣預(yù)報方程 時，把一般含有幾千個變量的方程簡化為，二= _ 元方程組，讓計算機進行計算，并轉(zhuǎn) 換成圖琢。結(jié)果得出一幅非常神奇的圖象，在二維空問中的雙重螺旋線，看上左 象一只蝴蝶展丌雙翅。這個圖象表面上混亂不堪，標(biāo)志著純粹的無序，因為沒有 任何個點或一批點組成的圖形會再次出現(xiàn)。但這個圖形有呈現(xiàn)一種新型的秩序 永不重復(fù)、永不相交，卻始終保持耐人尋味的蝴蝶狀的新秩序。它蘊藏著混 沌的全部的豐富內(nèi)容，揭示了隱藏在隨機性中的秩序。這充分說明混沌深處是有 規(guī)律的、有序的。洛倫茲由此得出結(jié)論：一個確定性的系統(tǒng)能夠以最簡單的方式 表現(xiàn)出非周期的形態(tài)。1 9 6 3 年，他在大氣科學(xué)雜志上以“確定性的非周期 流”為題發(fā)表了自己的研究成果。這標(biāo)志著一門新的學(xué)科混沌學(xué)的誕生。自 7 0 年代以來，它越來越多地作為術(shù)語以其新獲得的含義出現(xiàn)在科學(xué)文獻里，而 混沌作為非周期行為的標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語得到廣泛使用是從1 9 7 5 年馬里蘭大學(xué)的t y l i 和j y o r k e 發(fā)表論文周期3 意味著混沌開始的。 許多隨時間而發(fā)生某種變化的過程，如鐘擺的擺動、山石的滾落和岸邊海浪 的破碎，其變化并非隨機卻貌似隨機，科學(xué)家們用混沌這個術(shù)語來泛指這樣的過 程一它們看起來是隨機發(fā)生的而實際上其行為卻由精確的法則決定，其它可以被 認為是混沌的現(xiàn)象包括簡單的日常小事如樹葉掉落或旗l i ! 飄揚，也包括復(fù)雜得多 的過程如氣候起伏或生命過程。 1 1 1 混沌的定義 “混沌”作為非周期行為的一個標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語，現(xiàn)在尚沒有通用的嚴格的定義， 下面給出的定義只是比較有代表性的一種。 動力系統(tǒng)是指隨時間確定性地變化的系統(tǒng)，系統(tǒng)的狀態(tài)可由一個或幾個變量 的數(shù)值來確定。在某些動力系統(tǒng)中，兩個幾乎一致的狀態(tài)經(jīng)過充分長時間后會變 得毫不一致，這種系統(tǒng)被稱作敏感地依賴于初始條件，敏感地依賴于初始條件的 內(nèi)在變化的系統(tǒng)就是混沌系統(tǒng)【ij 。對同一系統(tǒng)內(nèi)變化的對初始條件的敏感的依賴 性就稱為混沌。對初始條件的敏感的依賴性并不僅僅意味著兩個狀態(tài)之差異隨時 交通流混沌研究初步 蚓簡單地增大，舉例來澆，有些確定性系統(tǒng)中，兩狀態(tài)之削個單位的初始差并 會發(fā)展成一百個單位；百分之一甚至百力分之。個單位的初始差異同樣也會發(fā)展 成一卣個單位，只足需要更長時問罷了。而在另一些系統(tǒng)中，初始個單位的差 異會發(fā)展成一百個單位；仞始百分之一個幣位的差異則僅能發(fā)展到一個單位。f j u 面那種系統(tǒng)被視為是混沌的，而后面那種則并不認為能構(gòu)成混沌。 1 1 2 混沌的基本概念2 】 定義1 1 1 分形和分維：分形是”維空問一個點集的一種幾何性質(zhì)，該點集具有無限精細的 結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空j 司維數(shù)” 的非整數(shù)維數(shù)。分維就是用非整數(shù)維分數(shù)維來定量地描述分形的基本性質(zhì)。 定義1 1 2 不動點：又稱平衡點、定態(tài)。不動點是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取的一組值，對于這些值 系統(tǒng)不隨時間變化。在連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)中，相空間中有一個點，若滿足當(dāng)，呻o o 時，軌跡x p ) 哼，則稱z 。為不動點。 定義1 1 3 吸引子：指相空間的這樣的一個點集s ( 或一個子空問) ，對j 鄰域的幾乎任意一 點，當(dāng)，哼o 。時所有軌跡線均趨于j ，吸引子是穩(wěn)定的不動點。 定義1 1 4 奇異吸引子：又稱混沌吸引子，指相空間中有分數(shù)維的吸引子的集合。該吸引集 由永不重復(fù)自身的一系列點組成，并且無論如何也不表現(xiàn)出任何周期性。混沌軌 道就運行在該吸引集中。 定義1 1 5 周期解：對于系統(tǒng)工。= f ( x 。) ，當(dāng)”呻0 0 時，若存在孝= z 。= x 。，則稱該系統(tǒng) 有周期f 解f 。不動點可以看作是周期解，因為它滿足z 。= x 。 1 1 3 混沌的基本特征1 3 】 ( 一) 內(nèi)隨機性和非周期性：內(nèi)隨機性，就是在一個原來完全確定的系統(tǒng)中， 在沒有外在干擾的情況下產(chǎn)生的隨機性。混沌就具有這樣的隨機性，永不 重復(fù)又永無交叉的洛倫茲吸引子就是最好的例證。另外，混沌運動的發(fā)展 交通流混沌研究初步 ”j 以使原來有周j c j 的運動最終變成完全沒有周期性的運動?；煦绲膬?nèi)隨機 性和非周期性使人們剝其運動狀態(tài)的預(yù)測陷入困境，產(chǎn)生撲朔迷離之感。 這也是混沌之所以稱為混沌的顯著特征。 ( 二) 不可預(yù)測性：不可預(yù)測性是指混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性，丌 始狀態(tài)的很小的羞芹將導(dǎo)致以后某時刻所能出現(xiàn)的最大差異，一個初始 條件可能對應(yīng)著數(shù)個結(jié)果值。 ( 三) 不可分解性：不可預(yù)測性是指混沌系統(tǒng)不能被分解為兩個不相互影響 的子系統(tǒng)。 f 四1 規(guī)律性成份：指混沌系統(tǒng)具有稠密的周期點，其隨機性是內(nèi)在的，在 本質(zhì)上具有規(guī)律性的成分。 f 五) 遍歷性：混沌運動的遍歷性是指混沌變量能在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī) 律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)。 ( 六) 具有分形性：混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾 何結(jié)構(gòu)，對它的空間描述只能采用分數(shù)維。 1 2 混沌的檢驗方法 1 2 1 關(guān)聯(lián)維數(shù)方法 在一般情況下，人們面對的是一系列采樣時間序列數(shù)據(jù)，為了能夠從 單一序列中研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性，j a m sp g r u t c h f i e l d 等人提出了相空間 重構(gòu)的方法，并由t a k e n s 用數(shù)學(xué)為之奠定了可靠的基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中， 判斷一個系統(tǒng)的動態(tài)行為是否混沌，即是否有混沌吸引子，一般從兩個基 本特征上來判斷：系統(tǒng)的相空間中的吸引子是否具有自相似結(jié)構(gòu)的分數(shù)維 幾何體；系統(tǒng)對于初始狀態(tài)條件是否敏感。如果所研究的吸引子具有這兩 個特征，那么我們認為該吸引子是混沌吸引子。般人們常用g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出的通過計算關(guān)聯(lián)積分從而得到關(guān)聯(lián)維的方法即g p 算法來 計算近似分維。這旱先給出了分維的定義。 f 一) 分維的定義 定義1 2 1 分維d 是使系統(tǒng)在伸縮變換下保持不變的不變量，它度量了系統(tǒng)填 充空間的能力，從測度論和對稱理論方面刻畫了系統(tǒng)的無序性和復(fù)雜性。 在實際中得到廣泛應(yīng)用的是關(guān)聯(lián)維數(shù)，記為d ，其定義為： 。，= l 鯽訾m o 交通流混沌研究初步 式中占是變換的標(biāo)度，c ( s ) 是關(guān)聯(lián)積分兩數(shù)，其定義為 式中 ( k ，= 嘉孝孝臼c s l y , - - y , i ，= 礦1 夸n 軍n 口忙一勺， c l q + 、。：1 1 ( 占一o ) 0 y y - 表示數(shù)據(jù)歹“，臼s 一2 o 、2 。一j j 。o 。 ( 二) 關(guān)聯(lián)維數(shù)的計算( g p 算法) 5 】 1 9 8 3 年，g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 根據(jù)嵌入理論和重構(gòu)狀態(tài)空間思想( 將 在下面作簡單介紹) ，提出了從時間序列直接計算關(guān)聯(lián)維數(shù)d ，的算法，簡稱 g p 算法。 設(shè) 以：k = 1 , 2 ，n 為時間序列，將其嵌入到m 維歐氏空問曰中，得到點 集( 或向量集) j ( m ) ，其元素記為： 瓦( m ，f ) = ( ，x 。，x n 伽- 1 ) ，) ( 1 - 3 ) 其中n = 1 , 2 ，n 。，= n - ( m - 1 ) r ，f = k a t 為時間延遲，f 為采樣間隔， k 為整數(shù)。 從用個點中任意選定一個參考點五，計算其余，一1 個點到蓋，的距離： o = ( 置，z ) = 【 ( x 。，一x j + r ) 2 i ( 1 - 4 ) 對所有x ，( i = 1 ，n 。) 重復(fù)這一過程，得到關(guān)聯(lián)積分函數(shù)： 咖志差吲 ( 1 5 ) 式中g(shù) ( o ) 為h e a v i s i d e 函數(shù)： 坼，= 熙： ( 1 - 6 ) 關(guān)聯(lián)積分表示了在時問序列中點對距離不超過r 的點對在所有點劃中 的比率，它是一種空間相關(guān)性的量度。 對充分的，關(guān)聯(lián)積分逼近下式： 4 交通流混沌研究初步 n c ，。( r ) = i n c d i m ) i n r ( 1 7 ) 因此r ”中的子集i ( m 1 的關(guān)聯(lián)維可由下式得到： 嘶) = ! 覡掣 ( 1 8 ) 當(dāng)d ( m ) 不隨相空i 刨維數(shù)m 增高而改變時就成為時削序列或動力系統(tǒng)吸 引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。 d 2 ( ) = l i md ( m ) ( 1 9 ) 關(guān)聯(lián)維數(shù)取可以提供一些有用的系統(tǒng)動態(tài)信息。如d ，= i ，系統(tǒng)處于自 持周期振蕩；d ，= 2 時系統(tǒng)具有兩種不可約頻率的準(zhǔn)周期振蕩；當(dāng)d ，不是 整數(shù)或大于2 時，系統(tǒng)表現(xiàn)出一種對初始條件敏感的混沌振蕩。 1 2 2 李雅普洛夫( l y a p u n o v ) 指數(shù)法 ( 一) 重構(gòu)相空間 6 1 對于連續(xù)函數(shù)，根據(jù)混沌與分形理論的原理，可以得到具有n 個狀態(tài)變量x 。 隨時間變化的非線性動力系統(tǒng)方程 _ d x i ：，( 一，x 2 ，x 。) 硪 ( 1 1 0 ) 可根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法計算出連續(xù)動力系統(tǒng)方程的李雅普洛夫指數(shù)。但是， 實際和實驗室里通常得到的是有關(guān)系統(tǒng)的離散的觀測數(shù)據(jù)。計算離散型系統(tǒng)的李 雅普洛夫指數(shù)要用到相空間重構(gòu)理論。因此，研究離散型的位移時間變量序列的 相空間重構(gòu)尤為重要。 對于離散型的位移時間變量序列可采用不連續(xù)的時序x ( t ) 和它在( 1 1 1 ) 時滯位移來估計系統(tǒng)信息，組成的動力系統(tǒng)軌跡為： x ( t ) = f ( x ( t ，) ，x ( t ，+ r ) - x ( ，+ ( h 一1 ) r ) ) 通過這種方法將觀測數(shù)據(jù)的固定時間延遲，重構(gòu)“等價”的多維狀態(tài)空間， 重復(fù)這一過程并提取不同時刻的各延遲量，產(chǎn)生出描述系統(tǒng)在n 維相空間相點演 化軌跡。具體計算中將原始位移觀測數(shù)據(jù)托) 按固定時間間隔r ( r = k t a t ) 拓展 成l q 維相空問的一個相型分布： 交通流溉沌研究初步 ( 11 2 ) i | | 式( 1 1 2 ) 組成相型分如中m 個相點，每個相點有n 個分量，在1 1 維空帕j 構(gòu) 成千h 型，相點問的連線描述了系統(tǒng)在n 維相空間的演化軌跡。 f 二) 從維時間序列中提取l y a p u n o v 指數(shù)的方法【7 1 l y a p u n o v 指數(shù)是刻畫耗散系統(tǒng)相空間中相體積收縮過程中的幾何特征變化 的物理量?？疾煲怨ぁ橹行牡膎 維無窮小球面的長時間演變，由于局域變化球 面變?yōu)閚 維橢球面，以t 時刻按長度排在第i 位的橢球軸長度( ，) 相對初始球半 徑w i ( 0 ) 的平均變化采用l y p u n o v 指數(shù)表示其增長率為 上巨= 姊器 ( 1 1 3 ) 此時橢球的線度以2 嵋的速度增長或收縮。 w o l f 給出在一維數(shù)據(jù)中提取l y p u n o v 指數(shù)的方法： ( 1 ) 應(yīng)用時間序列選取延滯時間f ，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)樣本總數(shù)n ，構(gòu)造i 3 維相空 間的新序列，相點數(shù)為m ：m = n 一( n 1 ) r ； ( 2 ) 以初始相點j 。為基點，在點集 x ，) 的其余相點中選取與x 。最近的點 x ，為端點，構(gòu)成一初始向量，氓一，間歐氏距離可記為l ( t 。) ； 。( 3 ) 取時問步長為k ，= “+ k ，初始向量沿軌線向前演化得到一新向量其 相應(yīng)基點與端點間歐氏距離可記為三( f ，) ：在相應(yīng)時間段內(nèi)系統(tǒng)線度指數(shù)增長率 記為： 弘批籌 ( 1 _ 1 4 ) ( 4 ) 如此繼續(xù)直至所有相點、然后取各指數(shù)增長率的平均值為最大l y p u n o v 指數(shù)估計值： 蝎( 咖磊1 各mi ll o g ：怒 ( 1 - 1 5 ) ( 5 ) 依次增加嵌入維數(shù)n ，重復(fù)b 、c 、d 過程直至l y p u n o v 指數(shù)估計值隨n 6 交通流混沌研究幸j 步 變化而變得較為平穩(wěn)為止，此叫得到的汁算結(jié)果即為所求最大l ) ，p u n o v 指數(shù) 值。 1 2 3 替代數(shù)據(jù)方法 ( 一) 替代數(shù)據(jù)方法的實現(xiàn)步驟 替代數(shù)據(jù)方法是由t h e i l e r 等人提出的，該力法的實現(xiàn)步驟為【8 i ： ( 1 ) 首先作m 零假設(shè)：所討論的時問序列為線性隨機序列： ( 2 ) 按照一定的算法由待檢驗序列出發(fā)l 。生出一組既滿足零假設(shè)條什 義保留了原序列的f o u r i e r 功翠譜值的替代數(shù)據(jù)； ( 3 ) 分別計算待檢驗數(shù)據(jù)及替代數(shù)據(jù)的l y a p u n o v 指數(shù)或關(guān)聯(lián)維數(shù)等指 豐，j i ：根據(jù)原序列和替代數(shù)據(jù)指標(biāo)的顯著性差異水平在一定的置信度內(nèi)決定 是接受零假設(shè)，還是拒絕零假設(shè)。如果待檢驗序列和替代數(shù)據(jù)的特征指數(shù) 無顯著差別，則零假設(shè)為真，待檢驗數(shù)據(jù)是由隨機過程產(chǎn)生的；否則，若 待檢驗數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的特征指數(shù)之間有顯著差別，則可以拒絕序列是由 線性過程決定的零假設(shè)，數(shù)據(jù)中必定含有非線性混沌成分。 ( 二) 替代數(shù)據(jù)的生成 替代數(shù)據(jù)的生成主要經(jīng)過以下三個步驟： ( 1 ) 原始時間序列進行f o u r i e r 變換： ( 2 ) 變換后得到的序列進行相位隨機化，并要保證經(jīng)過逆變換得到的序 列為實數(shù)； ( 3 ) 隨機化后得到的序列進行f o u r i e r 逆變換，便得到一列替代數(shù)據(jù)。 般地，生活中的時間序列為實數(shù)列，但是對于經(jīng)過f o u r i e r 變換并進 行相位隨機化后得到的序列，在進行逆f o u r i e r 變換得到的數(shù)據(jù)虛部可能不 為零，遍布在整個復(fù)數(shù)空間，這樣將會造成原始數(shù)據(jù)中的部分信息流失至 虛部中。為了減少這種信息流失，可以按照一定的方法使逆變換后得到的 序列的虛部為零。 設(shè)待檢驗的時間序列為：，x r ，x 。，x ，為在，時刻所得到的數(shù)據(jù)，其 中，。，k f 。分別為a t ，2 ，( 一1 ) a t ，5 t 為時間序列的時間間隔。對序列進 行離散f o u r i e r 變換，變化算子為f ，則 x ( 女) = f b ( ”) = x ( n ) e x p ( - 2 n n k i n ) k = o ，l ，一l ( 1 1 6 ) n = 0 上式可以寫為功能譜及相位的形式： x ( k ) = a ( k ) e “州( 1 17 ) 其中爿( 女) 為幅值，m ( t ) 為相位，然后將中( 七) 隨機地旋轉(zhuǎn)一相位角妒( t ) 交通流混沌研究初步 得至4 x ( k ) = x ( k ) e “” ( 1 18 ) 妒( d 從醫(yī)f u j 0 , 2 c 】【_ ，選取。 命題1 2 1 設(shè)經(jīng)f o u r i e r 變換得到的復(fù)序列為賈( i ) ( 扛0 , 1 ，) ，若碧( ) = 2 ( n 一) ( t = o ，l ，。，f 專 ) 則膏( f ) 的逆f 。u r i e r 變換序列為實數(shù)列p 1 。 根掘上述命題，為了使得經(jīng)逆f o u r i e r 變換的結(jié)果為實數(shù)，p ( 女) 需要滿 足下面的條件： 妒( 女) ：一妒( 一女)七：o ，1 ，一，岸】( 1 - 1 9 ) 對相位進行隨機化后，再對序列進行逆f o u r i e r 變換： 立( ”) = ，。譬( 女) ) = j ；薹x ( 七) e x p ( 2 刀”肼) 七= 。，1 ，r 一，v 一1 f i 。2 0 ) 量( h ) 即為所要求的替代數(shù)據(jù)。這樣得到的替代數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)具有相同 的f o u r i e r 功能譜，保留了原始數(shù)據(jù)的線性自相關(guān)函數(shù)，但卻除去了其中的 非線性相關(guān)性。 1 2 4k o l m o g o r o v 熵方法 計算系統(tǒng)的熵有多種，例如信息熵、柯爾莫哥羅夫熵( k o l m o g o r o v ) 等，這里介紹柯爾莫哥羅夫熵。 k o l m o g o r o v 熵是刻畫系統(tǒng)的一個重要參量。在不同類型的動力系統(tǒng)中， k 的值不同。在隨機系統(tǒng)中，k = 0 0 ；在規(guī)則系統(tǒng)中，k = 0 ；在確定性混 沌系統(tǒng)中k 0 。因此通過k 的計算可給出系統(tǒng)的粗略分類。 當(dāng)不知道系統(tǒng)的微分方程時，k 是難以計算的。但由于k 是玎階r i n y i 熵k 。的下界，且k 。k 州，k l = k 。，因此常計算足2 熵作為k 的近似。具體計 算過程如“卜： 設(shè)給定時間序列 ：k = 1 ，) ，按前述空間重構(gòu)的作法，構(gòu)造向量 x 。( m ，f ) ，并計算關(guān)聯(lián)積分函數(shù)c 。( ，) 。按k 的定義可得： c 。( r ) r ”2e x p ( - m r k 2 )( m 寸o o ，r 寸o )( 1 - 2 1 ) 兩邊馱對數(shù)，得： 8 交通流混沌研究初步 n c 。，( r ) d 2i nr m r 2 對充分小的r ，當(dāng)d ：不隨m 改變時，從上式有： 1 3 c l ( ，) d 2i n r 一( + 1 ) r k 2 由以上兩式可得： 如) = 1 n 瓦c m 麗( r ) 媽= l i m 眨。( r ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 對于給定的延遲時間r ，在無標(biāo)度區(qū)間內(nèi)給出一個，對m = 2 ，3 ，計算 出c 。( ，) ，再由式( 1 3 1 ) 求出島。( ，) ，當(dāng)其不隨m 變化而改變時得到 k ：。( r ) ，m 。是使丘：，。( r ) 對m 達到飽和的最小值a 在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)減少r 的值， 再按上述方法求出k 2 , m o ( r ) ，當(dāng)其不隨r 而改變時的值即可作為k ：的估計值。 1 2 5p o i n c a r e 截面方法 在相空間中適當(dāng)選取一截面( 要有利于觀察系統(tǒng)的動力特性和變化，如 截面不能和軌線相切，更不能包含軌線) ，稱此截面為p o i n c a r e 截面，相空 間的連續(xù)軌線與p o i n c a r e 截面的交點稱為截點。設(shè)記錄得的龐加萊點為 風(fēng)，b l ，一，或，。這樣，就在龐加萊截面上讓系統(tǒng)連續(xù)運動，高維的截點系 列就降為低維的離散點之間的映射： b 。l = t b 。 ( 1 2 6 ) 式( 1 2 6 ) 中的t 稱為龐加萊映射i i 。 通過觀察p o i n c a r e 截面上截點的情況可以判斷是否發(fā)生混沌。當(dāng) p o i n c a r e 截面上有且僅有一個不動點或少數(shù)離散點時，運動是周期的；當(dāng) p o i n c a r e 截面上是一封閉曲線時，運動是準(zhǔn)周期的；當(dāng)p o i n c a r e 截面上是一 些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點時，運動便是混沌。 1 2 6 功率譜方法 在許多實際問題中，人們只能觀測到如下的離散時間序列 ， ” m 之 _ l 0 0 交通流混沌研究初步 f 1 2 7 ) ( 其中時間陽j 隔為，) 。由于它反映了實際非線性動力系統(tǒng)的運動狀態(tài)，而吸 引子正是這種狀態(tài)的歸宿，因此吸引子的信息就包含在這時問序列之中。 崩功率譜方法1 可卣接觀測到時問序列的混沌運動狀態(tài)。為得到時州序列 的功率譜，肘x 作傅立葉變換： 1 ”一，2 班 _ = z ，k = 1 , 2 ，” ( 1 2 8 ) 其頻率i n 隔為2 者 ， 吒 的逆變換為： i x ，： 窆遷。了1 2 , 9 k ，= 1 ，2 ，。 吖 k = l ( i 一2 9 ) 式中i = 一l 。 這種變換雖不具有歐氏長度z ，2 的守恒性，但卻具備哈密頓長度的守 恒性 ， 2 1 x j l = y 1 x 。i ( 1 - 3 0 ) 對n 耷采樣信l 力口上周期條件x n + ，：x m ，可計算時間序列工，的自相關(guān)函 數(shù) y m2 吉薈協(xié)m( 卜3 1 ) 自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換就是功率譜b i 2 ： 踮e l 一= 鼽c o s ( 孚)2 l ” ( 1 3 2 ) 式中s 。說明第k 個頻率分量對x ，的貢獻，其意義代表單位頻率上的能 量。由于窆瞳i ：窆卜二。i ，所以功率譜相對于垂直線廠：i 1 厶。( ：。是采樣 = 【 k = l i n i n 7 所能反映的最高頻率，允2 石1 ) 是對稱的，故其有效信息的頻率 范圍在0 到l 之間。 o 交通流混沌研究初步 i i i j tj u j 序列的功率譜分析了非線性動力系統(tǒng)的波動狀態(tài)，故從功率譜l 區(qū)分周 期運動、準(zhǔn)周期運動和非周期運動。 用蝴運z 力的功率譜是分直的、離敝的( 對應(yīng)尖峰) 。它包括基頻 = _ = 1 ( t 為叫間序列的周期) 和其諧波吾，亍3 ，亍4 ，或它的分頻五2 ，每，每，。 準(zhǔn)周期運動的功率譜包括各種各樣的刷期( 或頻率) ，且各頻率之問的 比例為無理數(shù)，其頻譜線并不像周期運動那樣以某問隔的頻率分立。 非周期運動的功率譜與上述的周期運動和準(zhǔn)周期運動的譜線不同，是 連續(xù)的譜。非周期運動包括隨機運動和混沌運動，而隨機運動的功率譜的 振幅與頻率無關(guān)，是連續(xù)的平譜。混淹運動的功率譜也是連續(xù)的，但由于 其運動極其復(fù)雜，在倍周期分岔過程中，功率譜會出現(xiàn)一批對應(yīng)新分頻及 倍頻的峰，所以混沌運動的譜不是平譜，即功率譜中出現(xiàn)了噪聲和寬峰。 以卜是常用的幾種識別混沌的方法，但替代數(shù)據(jù)方法和k o l m o g o r o v 嫡 方法的核- t l , 仍然是計算l y a p u n o v 指數(shù)或關(guān)聯(lián)維數(shù)，因此，本文在研究交通 流的混沌性時，主要是利用關(guān)聯(lián)維數(shù)方法、l y a p u n o v 指數(shù)方法。 交通流混沌研究初步 第二章交通流的不確定性與交通流混沌研究綜述 2 1 交通流及交通流理論 2 1 1 交通流的概念與有關(guān)特性 交通流由單個駕駛員與車輛組成，道路一段時間內(nèi)一條道路上依次通過的車 輛就構(gòu)成了交通流。 交通流會受到交通設(shè)施的影響，根據(jù)交通設(shè)施對交通流的不同影響，可將 交通流設(shè)施分為連續(xù)流設(shè)施和間斷流設(shè)施。連續(xù)流設(shè)施下，無內(nèi)部因素會導(dǎo)致交 通流周期性中斷。連續(xù)流主要存在于設(shè)置了連續(xù)流設(shè)施的高速道路及一些限制出 入口的路段。在這些路上，沒有停止或讓路一類的交通標(biāo)志，也不會由于平交而 中斷車流。間斷流設(shè)施是指那些由于外部設(shè)備而導(dǎo)致了交通流周期性中斷的設(shè) 施。導(dǎo)致間斷流的主要裝置是交通信號，它使車流周期性中止運行。其他設(shè)施， 如停車或讓路標(biāo)志，也會中止交通。同樣在一些有著重要用途卻沒有任何控制的 路段上，車流也會受到中斷。在間斷流設(shè)施下，交通工程師必須注意車流經(jīng)常性 的停車和重新啟動。車流不僅受車輛與道路環(huán)境的相互影響，也受著周期性信號 的影響。比如說，交通信號只在部分時間內(nèi)允許車流運動。在這類設(shè)施下，由于 車流受到周期性的干擾，車流就表現(xiàn)為成隊行進的車群。車群是指一隊車輛一起 沿著同一方向運動，在一隊與另一隊之間存在著明顯的間隔。在信號設(shè)施下，車 群是由連續(xù)的交叉口綠燈時段的模式而形成的，對間斷流設(shè)施來說，時間作為一 個重要參數(shù)影響著車流。 連續(xù)流與間斷流的有關(guān)特征如下： ( 一1 連續(xù)流特征 ( 1 ) 總體特征 連續(xù)流是在沒有外界干擾的情況下能保持連續(xù)車流的交通狀態(tài)。 行車速度v ，、車流密度k 是表征交通流特性的三個基本參數(shù)。 此三參數(shù)之問的基本關(guān)系為： q = v 。k 式中 交通量q ( 2 1 ) 交通流泓沌研究初步 d ：i r 均流量( 輛a ) ； v 。：。卜口曠f j 均車速( k i n a ) ； k ：、r 均1 流密度( 輛m ) ( 2 ) 數(shù)學(xué)描述 速度1 了密度關(guān)系 19 6 3 年，格林希爾茨( g r e e n s h i e l d s ) 提出了速度一密度線性關(guān)系模型 y 叫( 1 _ 等) f 2 2 1 式中 v ：車流速度 礦，：暢行速度，車流密度趨于零，車輛可以暢行無阻時的平均速度 k ：阻塞密度車流密集到車輛無法移動時的密度 這一模型簡單直觀，研究表明上式表示的模型與實測數(shù)據(jù)擬合良好。 與密度的關(guān)系 交通流的流量一密度關(guān)系是交通流的基本關(guān)系。根據(jù)格林希爾茨公式及 基本關(guān)系式q = v ，- k ，得： q = 聊l 一參 ( 2 _ 3 ) 上式表示一種二次函數(shù)關(guān)系。 量與速度的關(guān)系 q = k j ( v - v 萬2 ) ( 2 4 ) 上式同樣表示條拋物線。 綜上所述，按格林希爾茨的速度一密度模型、流量一密度模型、速度一流量 模犁可以看出，處于擁擠與不擁擠臨界處的流量、速度、密度值級、吃和k 。是 劃分交通流是否擁擠的重要特征值。當(dāng)q 9 pk k 卅、v 0 ，出口匝道s ( x ，0 0 ；k 為交通密度，q 為 交通流量。 設(shè)v 為空間平均速度，則存在以下速度一密度關(guān)系： 9 = h( 輸運方程)( 2 1 0 ) 另設(shè)平衡狀態(tài)下“和k 滿足下式： 1 6 交通流混沌研究初步 v = v ，( t )( 2 - 1 1 ) 將式( 2 9 ) 、( 2 - 1 0 ) 、 ( 2 - 11 ) 構(gòu)成聯(lián)贏方程組，利用特征線法可以求得一些 簡t p 交通流問題的解析解。 鞍為著名的流體模型有p a y n e 模型1 ，p a p a g e o r g i o u 模型，p h i l l i p s 模，艘 1 1 1 1 k u h n e 模型1 1 ，m i c h a l o p o u l o u s 模型( 2 0 j 。 從以上交通流理論的研究現(xiàn)j 隊可以看出，現(xiàn)有交通流理論的研究主要集中在 流量、速度、密度與容量之間的關(guān)系上，而各種模型在進行研究時都做了各種各 樣的假設(shè)，并不是建立在完全真實的交通狀況基礎(chǔ)上，忽略了交通流中存在的不 確定性，更沒有任何對交通流不確定性的處理，這是與實際情況相違背的，如果 能在交通流研究中全面地考慮到交通流不確定性，無疑會使交通流理論更接近現(xiàn) 實，提高交通流理論的實際應(yīng)用價值。 2 2 關(guān)于不確定性 不確定性存在于生活的諸多方面，不確定性信息在不確定性的形成中起著重 要作用，在介紹不確定性之前，先介紹一下不確定性信息的概念及其分類。 2 2 1 不確定性信息的概念與分類 所謂不確定性信息引1 ，就是不能本源地反映事物本質(zhì)的信息，是失真的信息。 信息是人類認識事物的根本依據(jù)，信息分為源信息和宿信息，源信息是事物本質(zhì) 特性的反映，它具有確定性。然而科學(xué)不僅是人類對客體的認識，而且也應(yīng)該是 人類對主體世界和主體與客體相互作用的認識，它既不是完全客體的，也不是完 全主體的，而是主客體在相互作用中交互的結(jié)果。信息的傳輸過程，正是這種主 客體相互作用的過程。源信息在能量的作用下向外發(fā)射，通過信道( 人類獲取信 息的途徑，包括人的認識標(biāo)準(zhǔn)、測量工具或傳輸工具等) ，將源信息傳輸?shù)浇邮?系統(tǒng)。人類所能獲取的信息只能是接收系統(tǒng)所呈現(xiàn)的信息一宿信息，即主客體在 相互作用中交互的結(jié)果。它具有由主體傳來的主體性、具有反映客體源信息的窖 體性，同時具有在主客體相互作用過程中各種噪音干擾的交融性，即宿信息是來 自這三方面作用的綜合結(jié)果。源信息的載體一信源的復(fù)雜性會影響信息的發(fā)射狀 態(tài)，各種噪音的干擾會影響源信息的真實傳輸，接收系統(tǒng)( 含人的辨識) 能力的 限制會影響人類對信息真實度的認識，所以，從源信息到宿信息會有不同方面不 1 7 交通流、混沌研究初步 同程度的尖真，失真的信息必然不能本源地反映事物的本質(zhì)，這就是信息的不確 定r ：。我們稱失真的信息為f 、確定性信息。 t hj 二失真的方麗有所不同，所吼不確定性信息會表現(xiàn)為不同類別，如隨機信 息、模糊信息、灰色信息、末確知信息等。以下為擁天數(shù)學(xué)定義1 2 2 ： 定義2 2 1 隨機信息：設(shè)x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，為“x 在s 中”，a 為“x 在s 中”，并且對s 中任一元素8 ，x = p 的可信度為d 。，0 n 。1 ，d 。滿足n 。= 1 ( 口。表示總可信度) ，則稱a 為隨機信息。 定義2 2 2 模糊信息：設(shè)x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，| v 為“x 在s 中”，a 為“x 在s 中”，并且對s 中任一元素p ，x = e 的隸屬度為d 。，0 口。1 ，則稱a 為模糊信 息。 定義2 2 3 未確知信息：設(shè)x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，為“x 在s 中”，a 為“x 在 s 中”，并且對s 中任一元素p ，工= p 的可信度為d 。，0 口。l ，口。滿足吒1 ( 吼表示總可信度) ，則稱a 為未確知信g t 。 定義2 2 4 灰色信息：設(shè)x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，s 是s 的非空子集，n 為“x 在 s 中”，a 為“上在f 中”，則稱a 是灰信