數(shù)學(xué)觀的嬗變及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示.pdf

2012 年 4 月 第 13 卷第 2 期 天津師范大學(xué)學(xué)報(bào) 基礎(chǔ)教育版 Journal of Tianjin Normal University Elementary Education Edition Apr 2012 Vol 13No 2 數(shù)學(xué)觀的嬗變及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示 胡典順 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 湖北 武漢 430079 摘要 數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法 數(shù)學(xué)觀是不斷演變的 數(shù)學(xué)觀的發(fā)展經(jīng)歷了從絕對(duì)主義數(shù) 學(xué)觀到可誤主義數(shù)學(xué)觀以及建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀三個(gè)階段 數(shù)學(xué)觀的演變給數(shù)學(xué)教育極大的啟示 在數(shù)學(xué)教育 中 我們應(yīng)該把握數(shù)學(xué)觀的深刻內(nèi)涵 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)是一種文化 理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì) 把握數(shù)學(xué)思想方法 鑒賞 數(shù)學(xué)美和追求數(shù)學(xué)精神 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)觀 內(nèi)涵 演變 啟示 收稿日期 2011 12 25 作者簡(jiǎn)介 胡典順 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院副教授 研究生導(dǎo)師 教育學(xué)博士 基金項(xiàng)目 華中師范大學(xué)國(guó)家教師教育創(chuàng)新平臺(tái)理論創(chuàng)新研究成果 985ZX06 受中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助 CCNU10B01004 一 數(shù)學(xué)觀的內(nèi)涵與分類 在辭海中 觀念 有兩層意思 其一是指看法 和思想 思維活動(dòng)的結(jié)果 其二是指觀念 希臘文 idea 通常指思想 有時(shí)亦指表象或客觀事物在人 腦里留下的概括的形象 1 從而 從字面上來(lái)看 可 以把 數(shù)學(xué)觀 理解為人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)或看法 也 就是數(shù)學(xué)在人腦里留下的概括形象 然而 由于研 究視角 研究目的 研究領(lǐng)域等方面的不同 人們對(duì) 數(shù)學(xué)觀的內(nèi)涵有不同的認(rèn)識(shí) 例如 林夏水先生認(rèn) 為 數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法 它有各種表 現(xiàn)形式 2 鄭毓信教授指出 什么是數(shù)學(xué) 這也 就是所謂的 數(shù)學(xué)觀 3 一般說(shuō)來(lái) 人們對(duì)數(shù)學(xué)觀 的認(rèn)識(shí)有以下幾種 數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì) 數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)與周圍世界聯(lián)系的根本看法和 認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)觀是關(guān)于 什么是數(shù)學(xué) 這一問(wèn)題的認(rèn) 識(shí) 數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法和認(rèn)識(shí) 其內(nèi) 容主要涉及數(shù)學(xué)的研究對(duì)象 數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)的 地位和作用等 結(jié)合以上認(rèn)識(shí) 我們可以認(rèn)為 數(shù) 學(xué)觀就是人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法 或者說(shuō)是對(duì) 數(shù) 學(xué)是什么 這一基本問(wèn)題做出回答 從不同的視角來(lái)看 數(shù)學(xué)觀有不同的分類 其 一 科學(xué)視角的數(shù)學(xué)觀 由于數(shù)學(xué)的對(duì)象是一種純 理性的存在 可以在封閉的演繹聯(lián)系中得到表現(xiàn) 從而科學(xué)視角的數(shù)學(xué)觀認(rèn)為 數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)的 結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的思想 知識(shí) 方法體系 數(shù)學(xué)精神是科 學(xué)精神和理性精神的典范 數(shù)學(xué)以其卓越的智力 成就被人們尊稱為 科學(xué)的皇后 這表明數(shù)學(xué)的重 要地位以及對(duì)其它科學(xué)的發(fā)展不可或缺的重要性 可以說(shuō) 科學(xué)的數(shù)學(xué)觀是數(shù)學(xué)本質(zhì)觀的基礎(chǔ)與核 心 其二 文化視角的數(shù)學(xué)觀 這種數(shù)學(xué)觀認(rèn)為 數(shù)學(xué)不僅是門(mén)科學(xué) 還是一種文化 數(shù)學(xué)是形成人 類文化的主要力量 并且是人類文化極其重要的因 素 文化視角的數(shù)學(xué)觀側(cè)重于從數(shù)學(xué)作為一種文 化以及數(shù)學(xué)與其它人類文化的交互作用中探討數(shù) 學(xué)的文化本質(zhì) 數(shù)學(xué)的文化視角有助于克服和彌 補(bǔ)片面的 科學(xué)主義傾向的數(shù)學(xué)觀的不足和弊端 其三 社會(huì)視角的數(shù)學(xué)觀 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上 不同 民族的數(shù)學(xué)觀是不相同的 數(shù)學(xué)是一種文化傳統(tǒng) 數(shù)學(xué)活動(dòng)就其性質(zhì)來(lái)說(shuō)是社會(huì)性的 社會(huì)視角的 數(shù)學(xué)觀是與文化視角的數(shù)學(xué)觀緊密相連的 另外 數(shù)學(xué)的結(jié)果要得到認(rèn)可也是一個(gè)社會(huì)化的過(guò)程 6 著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出 雖然大多數(shù)的數(shù)學(xué)創(chuàng) 造都是一個(gè)人在一張桌子前 在一塊黑板前或是在 散步中 或者有時(shí)在兩個(gè)人的交談中完成的 但數(shù) 學(xué)仍是一個(gè)社會(huì)性的科學(xué) 4 與文化視角的數(shù)學(xué) 觀相比 社會(huì)視角的數(shù)學(xué)觀側(cè)重于從社會(huì)的角度來(lái) 看待數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系 其四 工具視角的數(shù)學(xué) 觀 工具視角的數(shù)學(xué)觀把數(shù)學(xué)看成是由事實(shí) 法 則 技巧構(gòu)成的一套工具 數(shù)學(xué)作為一種工具被廣 泛地應(yīng)用于其它科學(xué) 服務(wù)于其它科學(xué) 數(shù)學(xué)的工 具性表明 數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的重要基礎(chǔ) 在其它科 學(xué)理論的發(fā)展和完善過(guò)程中起著不可或缺的作用 數(shù)學(xué)研究的成果往往是重大科學(xué)發(fā)明的催生素 數(shù)學(xué)要么直接為其提供研究工具 要么間接地影響 其發(fā)展 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展 其工具性作用勢(shì)必將更 廣泛地顯現(xiàn)出來(lái) 顯然 多層面地分析數(shù)學(xué)觀 不 僅有助于我們較好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì) 還有助于我 們更好地建立正確的數(shù)學(xué)觀 二 從絕對(duì)主義到建構(gòu)主義 一 絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀 絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀認(rèn)為 數(shù)學(xué)是由確定并無(wú)異議 的真理所構(gòu)成的 即是說(shuō) 數(shù)學(xué)是由簡(jiǎn)單的基本定 理 直截了當(dāng)?shù)母拍?無(wú)可辯駁的結(jié)論構(gòu)成 自古 以來(lái) 人們總是渴望確定的知識(shí) 渴求那種超越千 年而永恒不變的知識(shí) 古希臘的數(shù)學(xué)家之所以堅(jiān) 持一定要用演繹推理 是因?yàn)樗麄冋J(rèn)為這樣可以得 到永恒的真理 在歐幾里得的 幾何原本 之前 柏 拉圖就認(rèn)為幾何是 永恒知識(shí) 的一門(mén)學(xué)科 其確實(shí) 性就來(lái)自數(shù)學(xué)對(duì)象永恒不變的完美性 笛卡爾指 出 觀察以前在科學(xué)上探求真理的學(xué)者 唯有數(shù)學(xué) 家能找出一些確實(shí)而自明的證明 5 M 克萊因 認(rèn)為 在各種哲學(xué)系統(tǒng)紛紛瓦解 神學(xué)上的信念受 人懷疑以及倫理道德變化無(wú)常的情況下 數(shù)學(xué)是唯 一被大家公認(rèn)的真理體系 數(shù)學(xué)知識(shí)是確定無(wú)疑 的 它給人們?cè)谡訚傻厣咸峁┝艘粋€(gè)穩(wěn)妥的立 足點(diǎn) 6 為了解決集合悖論而導(dǎo)致的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派 邏輯主義 直覺(jué)主義和形式主 義 都試圖為數(shù)學(xué)真理提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 企圖 在有限制但卻可靠的真理領(lǐng)域 通過(guò)數(shù)學(xué)證明而獲 得全部的數(shù)學(xué)真理 以羅素為代表的邏輯主義 企 圖以邏輯作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 把集合論重新系統(tǒng)化 使 其能夠避免羅素悖論 在羅素和弗雷格看來(lái) 數(shù)學(xué) 就是邏輯 羅素和懷特海合著的 數(shù)學(xué)原理 的主 要目的是說(shuō)明整個(gè)純粹數(shù)學(xué)是從邏輯的前提推演 出來(lái)的 弗雷格在 算術(shù)基礎(chǔ) 中主張把算術(shù)的基 礎(chǔ)歸結(jié)為邏輯 對(duì)于數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系 羅素進(jìn)行 了深刻的論述 所有純粹數(shù)學(xué) 既然它能從自然數(shù) 的理論演繹出來(lái) 就不過(guò)是邏輯的延伸 并且即使 是不能從自然數(shù)的理論演繹出來(lái)的數(shù)學(xué)的現(xiàn)代分 支 將以上的結(jié)論推廣到它們 也沒(méi)有原則上的困 難 7 他聲稱 邏輯是數(shù)學(xué)的少年時(shí)代 數(shù)學(xué)是邏 輯的成人時(shí)代 他甚至試圖證明它們是等同的 形式主義旨在通過(guò)把數(shù)學(xué)化歸為形式符號(hào)的操作 而不是邏輯 來(lái)為數(shù)學(xué)提供一個(gè)新的基礎(chǔ) 試圖把 數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為無(wú)意義的游戲而保證其基礎(chǔ)的安全 至于符號(hào)的意義則不是數(shù)學(xué)考慮的事情 以希爾 伯特為代表的數(shù)學(xué)家相信可以應(yīng)用形式的公理化 治愈由于悖論的出現(xiàn)而得以暴露的數(shù)學(xué)疾病 至 于直覺(jué)主義 他們的共同觀點(diǎn)是 經(jīng)典數(shù)學(xué)或許不 可靠 需要用 構(gòu)造 的方法重建數(shù)學(xué) 直覺(jué)主義者 主張 數(shù)學(xué)真理和數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性都必須由構(gòu)造 方法加以確定 德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克主張?jiān)谥庇X(jué) 的基礎(chǔ)上 用構(gòu)造的方法建立的數(shù)學(xué)才是可靠的 否則是不能接受的 以布勞威爾為代表的直覺(jué)主 義認(rèn)為 數(shù)學(xué)是獨(dú)立于物質(zhì)世界的直覺(jué)構(gòu)造 數(shù)學(xué) 的對(duì)象 必須能像自然數(shù)那樣明示地以有限步驟構(gòu) 造出來(lái) 才可以認(rèn)為是存在的 由于他們主張一種 構(gòu)造性數(shù)學(xué) 所以直覺(jué)主義也被稱為構(gòu)造主義 二 可誤主義數(shù)學(xué)觀 非歐幾何的建立 意味著自古希臘以來(lái) 數(shù)學(xué) 絕對(duì)真理觀的終結(jié) 20 世紀(jì) 30 年代 哥德?tīng)柌煌?全性定理的證明從根本上宣布了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué) 派整體數(shù)學(xué)目標(biāo)的失敗 當(dāng)哥德?tīng)枱o(wú)可辯駁地證 明 存在著可被看作真但卻不能證明為真的數(shù)學(xué)命 題時(shí) 給數(shù)學(xué)界帶來(lái)了強(qiáng)烈的震撼 因?yàn)?數(shù)學(xué)已 經(jīng)失去了 絕對(duì)可靠性 從最本質(zhì)的意義上說(shuō) 哥 德?tīng)柖ɡ泶蚱屏苏媾c證明同一的信念 因?yàn)榧词?我們采用全部邏輯推理和數(shù)學(xué)形式證明的工具 仍 有些真的數(shù)學(xué)陳述是不可證的 簡(jiǎn)言之 在可證的 和真的之間永遠(yuǎn)存在一條不可逾越的鴻溝 哥德 爾定理打破了人類已經(jīng)堅(jiān)持了兩千多年的關(guān)于完 全的 無(wú)矛盾的知識(shí)的夢(mèng)想 從而 對(duì)數(shù)學(xué)觀的認(rèn) 識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期 可誤主義數(shù)學(xué)觀 可誤主義接受數(shù)學(xué) 絕對(duì)可靠的不可能性 的 觀點(diǎn) 可誤主義數(shù)學(xué)觀體現(xiàn)在基切爾 普特南 赫 7 什 波普爾 拉卡托斯等哲學(xué)家的數(shù)學(xué)思想中 基 切爾說(shuō) 在反思數(shù)學(xué)的過(guò)程中 曾有許多途徑來(lái)表 示數(shù)學(xué)知識(shí)的先天的先驗(yàn)論觀念 我想提交一份 拒絕數(shù)學(xué)先驗(yàn)論的數(shù)學(xué)知識(shí)的圖景 對(duì)數(shù)學(xué)先 驗(yàn)論的取代 數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)論 還從未被精辟地 表述過(guò) 我要努力補(bǔ)上這個(gè)缺憾 普特南指出 數(shù)學(xué)知識(shí)反映了經(jīng)驗(yàn)知識(shí) 即數(shù)學(xué)中的真理檢 驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)像物理中的一樣 都是我們實(shí)踐中思想火花 的成功閃爍 數(shù)學(xué)是可糾正的而不是絕對(duì)的 赫什 說(shuō) 對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)提出一個(gè)新任務(wù)是有道理的 不要 追求沒(méi)有疑問(wèn)的真理 而要解釋真正的數(shù)學(xué)知 識(shí) 像其它每一種人類知識(shí)一樣 數(shù)學(xué)知識(shí)是可 誤的 可糾正的 探索性的和發(fā)展進(jìn)化的 8 波普 爾提出了 證偽主義的科學(xué)觀 即科學(xué)的本質(zhì)是大 膽猜想 科學(xué)的方法是批判與反駁 科學(xué)不等于真 理 知識(shí)本質(zhì)上是猜測(cè)性的 拉卡托斯將證偽主義 的觀點(diǎn)推廣到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域 認(rèn)為數(shù)學(xué)是通過(guò)批評(píng)猜 測(cè)以及大膽的非正式的證明而發(fā)展起來(lái) 他指出 非形式 準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)發(fā)展 并不只靠逐步增加的 毋庸置疑的定理數(shù)目 而是靠以思辨與批評(píng) 證明 與反駁之邏輯對(duì)最初猜想的持續(xù)不斷的改進(jìn) 9 拉卡托斯提出的擬經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)為 數(shù)學(xué)命題不具有 必然的真理性 它是可錯(cuò)的 相對(duì)的 它包括以下 五個(gè)基本觀點(diǎn) 數(shù)學(xué)知識(shí)是可誤的 數(shù)學(xué)是假 設(shè) 演繹的 歷史是核心 斷定非形成數(shù)學(xué)的重 要性 知識(shí)創(chuàng)造的理論 總之 可誤主義數(shù)學(xué)觀認(rèn) 為 數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)的 猜測(cè)的 擬經(jīng)驗(yàn)的 可錯(cuò)的 歷史 的 數(shù)學(xué)真理是可以修正的 三 建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀 20 世紀(jì)末 繼可誤主義數(shù)學(xué)觀之后 人們對(duì)數(shù) 學(xué)觀的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了社會(huì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀時(shí)期 社 會(huì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀將數(shù)學(xué)視作社會(huì)的建構(gòu) 它吸取 約定主義的思想 擬經(jīng)驗(yàn)主義的可誤主義認(rèn)識(shí)論 拉卡托斯的哲學(xué)論點(diǎn) 旨在合適的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍 所理解的數(shù)學(xué)的本質(zhì) 歐內(nèi)斯特的社會(huì)建構(gòu)主義 數(shù)學(xué)哲學(xué)被認(rèn)為是關(guān)于這一論題的最早的系統(tǒng)研 究 歐內(nèi)斯特認(rèn)為把數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)成是一種社會(huì)建 構(gòu)的理由有三 一是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是語(yǔ)言知識(shí) 約定和規(guī)則 而語(yǔ)言知識(shí)是一種社會(huì)建構(gòu) 二是個(gè) 人的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)發(fā)表后轉(zhuǎn)化為客觀數(shù)學(xué)知識(shí) 這需要社會(huì)性的交往與交流 三是客觀性本身應(yīng)該 理解為社會(huì)性的認(rèn)同 社會(huì)建構(gòu)主義的核心是數(shù) 學(xué)知識(shí)的生成 其主要論點(diǎn)集中在七個(gè)方面 一是 個(gè)體具有主觀的數(shù)學(xué)知識(shí) 二是發(fā)表是主觀數(shù)學(xué)知 識(shí)變成客觀知識(shí)所必要的 三是發(fā)表的數(shù)學(xué)知識(shí)歷 經(jīng)拉卡托斯所說(shuō)的啟發(fā)式過(guò)程成為客觀知識(shí) 四是 啟發(fā)式過(guò)程取決于客觀標(biāo)準(zhǔn) 五是評(píng)判發(fā)表了的數(shù) 學(xué)知識(shí) 其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建立在客觀的語(yǔ)言知識(shí)及數(shù) 學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上 六是數(shù)學(xué)主觀知識(shí)根本上是內(nèi)化 了的再建構(gòu)了的客觀知識(shí) 七是在數(shù)學(xué)知識(shí)的增 添 再建或再現(xiàn)方面 個(gè)人能夠發(fā)揮作用 圍繞著客觀數(shù)學(xué)知識(shí) 主觀數(shù)學(xué)知識(shí)及其相互 關(guān)系 歐內(nèi)斯特構(gòu)建起了社會(huì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀的理 論框架 對(duì)于客觀知識(shí)的認(rèn)識(shí) 歐內(nèi)斯特與波普爾 的認(rèn)識(shí)有所不同 在波普爾看來(lái) 人類思想的產(chǎn) 物 如數(shù)學(xué)定理以及對(duì)這些證明中有關(guān)的討論及定 理證明都是客觀知識(shí) 歐內(nèi)斯特不僅把波普爾的 客觀知識(shí)劃為客觀知識(shí) 并且還認(rèn)為人類思維的產(chǎn) 物也是客觀知識(shí) 對(duì)歐內(nèi)斯特來(lái)說(shuō) 客觀知識(shí)是指 共有的 主體間的知識(shí) 即使是隱含 未充分表達(dá)清 楚的也算在其中 并且 主觀數(shù)學(xué)知識(shí)與客觀數(shù)學(xué) 知識(shí)的轉(zhuǎn)換是一個(gè)社會(huì)議定過(guò)程 即這是一個(gè)證明 與反駁 猜測(cè)與改進(jìn)的過(guò)程 從而 客觀性就是一 種社會(huì)認(rèn)同 個(gè)體的主觀數(shù)學(xué)知識(shí)得到社會(huì)承認(rèn)的 過(guò)程就是主觀知識(shí)向客觀知識(shí)轉(zhuǎn)化的過(guò)程 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)話的考察 歐內(nèi)斯特賦予建構(gòu)主 義數(shù)學(xué)觀更為廣泛的意義 他認(rèn)為 數(shù)學(xué)知識(shí)的 基礎(chǔ)是對(duì)話的 10 也就是說(shuō) 數(shù)學(xué)不是獨(dú)白而是 對(duì)話 數(shù)學(xué)對(duì)話以各種方式滲透到數(shù)學(xué)中 例如 數(shù)學(xué)證明的想法是從交換意見(jiàn)中發(fā)展起來(lái)的 證 明就是要說(shuō)服人 數(shù)學(xué)證明作為一個(gè)論斷是用來(lái) 說(shuō)服別人的 事實(shí)上存在著一個(gè)聆聽(tīng)者 進(jìn)一步 數(shù)學(xué)證明不僅是從對(duì)話形式發(fā)展而來(lái) 而且要得到 數(shù)學(xué)共同體的確認(rèn)也必須要使用對(duì)話的形式 又 如 數(shù)學(xué)知識(shí)不是從一開(kāi)始就以完備的形態(tài)存在 的 而是不斷變化和發(fā)展的 數(shù)學(xué)知識(shí)的完善是一 個(gè)對(duì)話的過(guò)程 再如 很多數(shù)學(xué)概念都含有一個(gè)對(duì) 話的基礎(chǔ) 對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性 你在所給區(qū)間任給 我一個(gè) x1 x2 我就有 f x1 f x2 或 f x1 f x2 在極限定義 中 你任給我一個(gè) 我 將為你找到一個(gè)相應(yīng)的 等 三 對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示 數(shù)學(xué)觀的問(wèn)題看似是純理論的問(wèn)題 其實(shí) 對(duì) 于數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)卻是很實(shí)際 很重要的問(wèn)題 然 而 遺憾的是 許多數(shù)學(xué)教師自從站上三尺講臺(tái)就 8 埋頭于 題海 對(duì)于 數(shù)學(xué)是什么 這樣的基本問(wèn)題 很少思考 對(duì) 數(shù)學(xué)是什么 不同的回答對(duì)應(yīng)不同 的立足點(diǎn) 表明不同的數(shù)學(xué)觀 數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育 活動(dòng)密切相關(guān) 教師的數(shù)學(xué)觀直接影響著他的數(shù)學(xué) 教學(xué)觀 同樣 學(xué)生的數(shù)學(xué)觀也會(huì)直接影響到他們 的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀 數(shù)學(xué)哲學(xué)家赫什認(rèn)為 問(wèn)題不在于 教學(xué)的最好方式是什么 而在于數(shù)學(xué)到底是什么 如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題 便解決不了關(guān)于教學(xué) 上的爭(zhēng)議 一 形成合理的數(shù)學(xué)觀 由于數(shù)學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的多元體 并且是不斷發(fā) 展的 所以任何從數(shù)學(xué)的某些特征對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行的描 述都不是完整的 它們要么過(guò)于狹窄 要么過(guò)于寬 泛 事實(shí)表明 無(wú)論是柏拉圖主義 還是數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 三大學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)的描述都存在某種缺陷 由于數(shù) 學(xué)起源于幾何和算術(shù) 所以它常被定義為空間和數(shù) 的科學(xué) 恩格斯在 反杜林論 中的論述影響很大 純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系 也 就是說(shuō) 以非?，F(xiàn)實(shí)的材料為對(duì)象的 11 在國(guó)內(nèi) 這一敘述往往用來(lái)作為數(shù)學(xué)的定義 例如 吳文俊 教授在 中國(guó)大百科全書(shū) 數(shù)學(xué)卷 中寫(xiě)道 數(shù)學(xué) 是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的 簡(jiǎn)單地 說(shuō) 是研究數(shù)和形的科學(xué) 迄今為止 這仍然是大 多數(shù)數(shù)學(xué)工作者可以接受的觀點(diǎn) 然而 考慮到數(shù) 學(xué)的發(fā)展 非歐幾何 泛函分析等分支離現(xiàn)實(shí)世界 越來(lái)越遠(yuǎn) 數(shù)理邏輯等分支又很難判定其歸屬 所 以 將數(shù)與形作為數(shù)學(xué)的特征來(lái)理解并不能從根本 上解決數(shù)學(xué)定義中涉及的內(nèi)涵與外延問(wèn)題 盡管 從不可追溯的古代起 數(shù)學(xué)就被看作是關(guān)于量的科 學(xué) 或者是關(guān)于空間與數(shù)的科學(xué) 但是 在今天這 種觀點(diǎn)就顯得太狹隘了 也就是說(shuō) 我們應(yīng)該超越 數(shù)學(xué)是形和數(shù)的科學(xué) 的認(rèn)識(shí) 歷史上許多人給數(shù)學(xué)下了定義 但沒(méi)有人能夠 真正成功 定義和數(shù)學(xué)本身不是完全相符 其實(shí) 試圖給數(shù)學(xué)下定義所遇到的困難主要來(lái)自這樣的 假設(shè) 即認(rèn)為數(shù)學(xué)就其本質(zhì)而言是絕對(duì)的 它不隨 時(shí)間和地點(diǎn)的改變而改變 然而數(shù)學(xué)的發(fā)展表明 數(shù)學(xué)并不是這樣的 數(shù)學(xué)是什么 是一個(gè)綜合性 的 不斷發(fā)展的 與時(shí)代緊密聯(lián)系的哲學(xué)問(wèn)題 在數(shù) 學(xué)發(fā)展過(guò)程中不可能有固定的 永恒的答案 無(wú)論 是對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)認(rèn)識(shí) 還是對(duì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代隱喻 我 們都不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的一方面 而忽視數(shù)學(xué)的另 一方面 數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué) 今天很多 數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家持有這樣的觀點(diǎn) 這一觀點(diǎn)較 好地刻畫(huà)了數(shù)學(xué)的本質(zhì) 這里的 模式 其實(shí)是廣 義的量 它不僅包括現(xiàn)實(shí)世界中的 數(shù) 與 形 而 且還包括數(shù)學(xué)抽象后的各類模型和結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)探 求的是一些結(jié)構(gòu)與模式 數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在 從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對(duì)模式進(jìn)行研究 數(shù)學(xué)家在數(shù) 空間 科學(xué) 計(jì)算機(jī)以及想象中尋求模 式 數(shù)學(xué)理論解釋模式間的關(guān)系 數(shù)學(xué)應(yīng)用則是利 用這些模式解釋和預(yù)測(cè)符合它們的自然現(xiàn)象 模 式可以啟發(fā)新的模式 產(chǎn)生模式的模式 當(dāng)模式增 加時(shí) 數(shù)學(xué)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)分支之間的相互聯(lián)系也在 增加 數(shù)學(xué)之所以有不同尋常的為科學(xué)研究提供 正確模式的能力 其原因可能在于數(shù)學(xué)家所研究的 模式就是所有可能存在的模式 如果模式是數(shù)學(xué) 的全部 那么數(shù)學(xué)的這種 異乎尋常的作用 就可能 完全是尋常的了 二 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)觀的內(nèi)涵 既然數(shù)學(xué)是一門(mén)探索的 動(dòng)態(tài)的 發(fā)展的學(xué)科 而不是一套死板的 絕對(duì)的 封閉的規(guī)則 那么在 數(shù)學(xué)教育中 我們就應(yīng)該把握數(shù)學(xué)觀的深刻內(nèi)涵 其一 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)是一種文化 數(shù)學(xué)是人類文化的重 要組成部分 數(shù)學(xué)在人類社會(huì)文化中的地位和作 用 越來(lái)越重要 數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門(mén)的鑰匙 數(shù) 學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言 數(shù)學(xué)是思維的工具 數(shù)學(xué)是理性 的藝術(shù) 應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值 應(yīng)用價(jià) 值 人文價(jià)值 美學(xué)價(jià)值 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的 規(guī)律 提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí) 其二 理 解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì) 以往在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)中 我們往往只看到數(shù)學(xué)知識(shí)的某一個(gè)方面 而沒(méi)有看 到它們的另一個(gè)面 從而導(dǎo)致了各種認(rèn)識(shí)上的誤 區(qū) 例如 只看到數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性 沒(méi)有注意到 數(shù)學(xué)知識(shí)的可誤性 只看到數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性 沒(méi) 有注意到數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納性 只看到數(shù)學(xué)知識(shí)的抽 象性 沒(méi)有注意到數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀性 或具體性 只看到數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性 沒(méi)有注意到數(shù)學(xué)知識(shí)的 文化性 在數(shù)學(xué)教育中 理解數(shù)學(xué)概念沒(méi)有必要逐 字逐句 更沒(méi)有必要讓學(xué)生背誦 抓住數(shù)學(xué)概念的 實(shí)質(zhì)就行了 例如 含有未知數(shù)的等式叫方程 什么叫等式 式子 x x 0 x 1 x 2 是不是 方程 事實(shí)上 這些爭(zhēng)議是沒(méi)有必要的 在實(shí)際運(yùn) 用中 師生都能理解方程的含義 方程的實(shí)質(zhì)在 于 為了求得未知數(shù) 在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立 的一種等量關(guān)系 在數(shù)學(xué)教學(xué)中 教師應(yīng)該揭示數(shù) 9 學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程 并帶給學(xué)生智力上的挑戰(zhàn)和認(rèn) 知上的沖突 數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生真正感受 從冰冷 的美麗 到 火熱的思考 的過(guò)程 其三 把握數(shù)學(xué) 思想方法 數(shù)學(xué)基本知識(shí)背后往往蘊(yùn)涵著重要的 數(shù)學(xué)思想方法 在數(shù)學(xué)教學(xué)中 只有從知識(shí)和思想 方法兩層面上去教和學(xué) 才能從內(nèi)部規(guī)律上掌握系 統(tǒng)化的知識(shí) 才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 才能有助 于學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu) 其四 鑒賞數(shù)學(xué)美 欣賞數(shù)學(xué) 美是一個(gè)人應(yīng)該具備的基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)教 學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的符號(hào)美 圖形美 簡(jiǎn)潔美 對(duì)稱 美 和諧美 方法美 思想美和創(chuàng)造美等 應(yīng)該讓學(xué) 生理解數(shù)學(xué)美 體驗(yàn)數(shù)學(xué)美 欣賞數(shù)學(xué)美 享受數(shù)學(xué) 美 最后 追求數(shù)學(xué)精神 數(shù)學(xué)是一種精神 一種 理性精神 正是這種精神 激發(fā) 促進(jìn) 鼓舞和驅(qū)使 人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性精神和探究精神 總之 對(duì)數(shù) 學(xué)觀的這些認(rèn)識(shí)都應(yīng)該給數(shù)學(xué)教育以極大的啟示 參考文獻(xiàn) 1 辭海編輯委員會(huì) 辭海 上卷 M 上海 上海辭書(shū)出版社 1989 2 林夏水 數(shù)學(xué)本質(zhì) 認(rèn)識(shí)論 數(shù)學(xué)觀 J 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2002 11 3 3 鄭毓信 數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué) M 南京 江蘇教育出 版社 2007 4 約翰 因文 保羅 哈爾莫斯 他的原話 J 數(shù)學(xué)譯林 2009 28 2 5 笛卡爾著 尚新建等譯 笛卡爾思辨哲學(xué) M 北京 九州出 版社 2006 6 M 克萊因著 張理京 張錦炎譯 古今數(shù)學(xué)思想 第 1 冊(cè) M 上海 上?？萍汲霭嫔?1979 7 羅素著 晏成書(shū)譯 數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論 M 北京 商務(wù)印書(shū)館 2005 8 歐內(nèi)斯特著 齊建華 張松枝譯 數(shù)學(xué)教育哲學(xué) M 上海 上海教育出版社 1998 9 拉卡托斯著 方剛 蘭釗譯 證明與反駁 M 上海 復(fù)旦大 學(xué)出版社 2007 10 黃秦安 曹一鳴 數(shù)學(xué)教育原理 哲學(xué) 文化與社會(huì)的視 角 M 北京 北京師范大學(xué)出版社 2010 11 恩格斯著 中共中央馬克思 恩格斯 列寧 斯大林著作編 譯局譯 反杜林論 M 北京 人民出版社 2005 責(zé)任編輯 況 琳 the Evolution of the Conception of Mathematics and its In