（控制理論與控制工程專業(yè)論文）非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究.pdf

摘要 本文針對模型未知或部分未知的一類非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和自適應 控制問題的某些重要方面作了研究 ，_ f 具體工作如下： 利用給定系統(tǒng)輸出的y 算子逼近或占算子逼近方法，對可反饋線性化的j # 線性系統(tǒng)設計了觀測器和自適應觀預- 1 器并證明了所設計觀測器的實用穩(wěn)定 性 針對現有的基于觀測器的輸出反饋控制器設計方法中存在的問題，利用 占算子逼近系統(tǒng)輸出導數的性質，設計了輸出反饋滑動模控制器、動態(tài)輸出 反饋滑動模控制器及自適應輸出反饋滑動?？刂破?，并保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn) 定性 針對實際應用中的多數非線性系統(tǒng)滿足線性增長性條件的特點給出了 該類系統(tǒng)可線性反饋控制的充分條件，在此條件下，對由輸入輸出表示的動態(tài) 未知的離散非線性系統(tǒng)，設計了自適應預測控制器；并將該方法與時變連續(xù)系 統(tǒng)的魯棒自適應極點配置方法相結合，實現了一類連續(xù)非線性系統(tǒng)的自適應 控制 對于兩類用于帶有非匹配時變不確定性的非線性系統(tǒng)的高增益控制器設 計，通過反例有效地證實了其穩(wěn)定性證明中存在的嚴重錯談、 關鍵詞：非線性系統(tǒng)，滑動模，自適應觀測器，動態(tài)反饋線性化，占算子，預 測控制，極點配置，實用穩(wěn)定 生 a b s t r a c t s o m ei m p o r t a n ti s s u e so ns t a t ee s t i m a t i o na n da d a p t i v ec o n t r o l h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d f o rn o n l i n e a r s y s t e m s w i t hu n k n o w no r p a r t i a l l yk n o w nd y n a m i c s t h em a i nc o n t r i b u “o n sa r ea sf o l l o w s a no b s e r v e ra n da n a d a p t i v e o b s e r v e ra r e p r e s e n t e d f o r i i n e a r i z a b ! en o n l i n e m ls y s t e m ab a s e do ny o p e r a t o ra n d 占o p e r a t o r , w h i c h p r a c t i c a ls t a b i l i t yi sg u a r a n t e e d t h r e e c o n t r o l l e r s ，i n c l u d i n ga p p r o x i m a t eo u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e rw i t h s l i d i n g m o d e ，d y n a m i c a l l ya p p r o x i m a t eo h t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e ra n d a d a p t i v ea p p r o x i m a t eo h t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e ra r e d e s i g n e du s i n g t h e a p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e s o f d i f r e r e n c eo p e r a t o ra n d 占o p e r a t o r , w h i c hi m p r o v et h ed r a w b a c ko f o b s e r v e r b a s e dm e t h o d s as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r o p o s e df o rl i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lo f n o n l i n e a rs y s t e m sw h i c hs a t i s f i e s l i p s c h i t z s c o n d i t i o n w i t l lt h i s c o n d i t i o n ，a na d a p t i v ep r e d ；c t i v ec o n t r o l l e ri s o b t a i n e df o rd i s c r e t e t i m eu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sr e p r e s e n t e db yi n p u t o u t p u tm o d e l c o m b i n i n gw i t hp o l ep l a c e m e n tm e t h o d s ，a na d a p t i v e l i n e a r i z a t i o n c o n t r o l l e ri sf o r m u l a t e df o r ac l a s so fc o n t i n u o u s t i m en o n l i n e a r s y s t e m s w i t hu n k n o w n d y n a m i c s t 、v 0c o u n t e r e x m n p l e sa r ed i s c u s s e dt op r o v et h ew r o n gr e s u l t s f o rt w ok i n d so f h i g h g a i nc o n t r o lo f t w oc l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m s w i t hm i s m a t c h e du n c e r t a i n t i e s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ，s l i d i n g m o d e ，a d a p t i v e o b s e r v e r , d y n a m i c a l l y f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n ，占o p e r a t o r ， p r e d i c t i v ec o n t r o l ，p o l ep l a c e m e n t ，p r a c t i c a ls t a b i l i t y 博士后研究報告 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 】緒論 控制理論研究的主要目的是尋求適當的手段瞎涮) 來使得被控對象滿足 預期的要求，如穩(wěn)定 生、跟蹤性能等【l 】為了達到這一目的，一般的途徑是首先 建立能夠盡量精確地描述被控對象運動規(guī)律的數學模型，然后針對這一模型 來設計控制律，以使系統(tǒng)滿足某些特定的性能要求其中前者屬于系統(tǒng)辨識2 1 的內容，后者為系統(tǒng)控制的范疇由于被控對象的復雜程度不同，描述它的數學 模型亦有所不同但是大多數被控對象或稱系統(tǒng)，在局部可以用線性模型表示 因此線性系統(tǒng)控制理論【3 的研究取得極大成功并趨于完善然而線性模型并 不能表示所有的被控對象，在許多情況下( 特別是系統(tǒng)在較大范圍運行或高精 度要求時) ，即使是近似地描述也是很困難的，此時我們認為所考慮的系統(tǒng)應是 非線性的，因此研究非線性控制理論 4 ，是非常必要的且具有普遍的意義 盡管可以采用非線性模型來描述被控對象，但是由于辨識方法的準確性 限制、干擾的存在，獲得全局、精確地表示被控系統(tǒng)的數學模型幾乎是不可 能的。針對這一問題，人們提出了自適應技術 ：】和魯棒性方法【5 。自適應 技術所研究的對象往往具有部分未知或完全未知動態(tài)的系統(tǒng)。本文就是從以 上問題出發(fā)，研究了參數未知或模型基本未知的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控 制問題。 具有適應性或在線修正能力的系統(tǒng)稱為自適應系統(tǒng)。因此，自適應系統(tǒng) 研究的對象是具有有限可預見性不確定性的系統(tǒng)。這些不確定性是由于建模 誤差( 如模型參數或結構與被控對象不匹配) 或系統(tǒng)時變特性而造成的。所謂 有限預見性是指可以預估有限時間之后的情況。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的自 適應有著本質的差別。線性系統(tǒng)的“確定性等價原理 6 】，在非線性系統(tǒng)中 不再成立，線性系統(tǒng)的控制方法，如模型參考方法、預測控制方法等對于非 線性系統(tǒng)不能直接應用。這是因為對于非線性系統(tǒng)來說，不僅參考模型難以 建立統(tǒng)一的形式，更重要的是要求被控對象與參考模型的完全匹配比討論控 制方法本身還要復雜，另外，非線性預測控制的預測模型一般較難建立，這 一系列方法只能在一定的穩(wěn)定條件或在局部近似的條件下才能使用。因而非 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 線性系統(tǒng)理論的研究是以穩(wěn)定性理論為核心的，如李亞普諾夫穩(wěn)定性 7 】和 無源穩(wěn)定性方法【8 。非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和自適應控制問題同樣是以穩(wěn) 定性理論為基礎的，比較成熟的方法有基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論的滑動模 方法和反饋線性化方法等等。雖然在最小相位和一定的穩(wěn)定性條件下，利用 線性近似方法可以探討非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和預測控制問題，但是所得結 果是局部的，難以克服模型和測量中的不確定性，難以適應現代高科技的發(fā) 展需要。 模型已知和模型未知的非線性理論方法是截然不同的，前者可以利用對 象的幾乎所有信息，已有許多比較成熟的方法可以利用，而后者正是目前研 究方興未艾的課題，常用的手段有，學習方法、模糊方法、神經網絡方法及 其結合而成的混合方法等等，利用這些方法常常帶來模型誤差，因此，研究 這些方法對于不同不確定性的魯棒性是非常必要的。 本文針對模型未知或部分未知的非線性系統(tǒng)，對非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計 和自適應控制問題的某些方面作了一些較深入的探討。 1 。1 非線性系統(tǒng)觀測器設計的研究現狀 非線性系統(tǒng)的控制已經成力重要的研究課題。許多有效的方法不斷涌 現，并成功地應用于生產實踐中，如反饋線性化方法 9 、滑動?？刂?4 、 基于神經網絡的控制f l o 、模糊控制方法 1 1 】等等。很顯然，所有這些流行 的方法都要求全狀態(tài)反饋控制。不幸的是，實際系統(tǒng)中某些狀態(tài)很難測得， 即使可測，增加傳感器會使得整個系統(tǒng)變得更加復雜，或所需設計成本高得 驚人而難以為工程應用所采納。為解決這一困難，運用觀測器來估計這些不 可測狀態(tài)將成為更具吸引力的有效途徑。 非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計是控制理論中的基本問題。在線性系統(tǒng)中， 解決這個問題的重要方法是熟知的l u e n b e r g e r 觀測器 1 2 】。然而，這種方法 并不能直接用于非線性系統(tǒng)。在近二十年里，研究者們利用不同的方法和原 理構造了許多不同類型的觀測器。近似線性化方法 1 3 】通過在乎衡點附近近 似線性化誤差方程，得到局部收斂的觀測器；精確線性化觀測器 1 4 是在可觀 性動態(tài)線性化條件下得到的，而該條件非常嚴格使得許多實際系統(tǒng)難以滿足； 基于坐標變換和輸出映射的線性化方法 1 5 ，要求非線性動態(tài)滿足輸出匹配條 2 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 件；滑動模方法 1 6 ，1 7 】由于切換增益嚴重依賴于非線性動態(tài)的某種有界性條 件而難以恰當地選擇；時滯觀測器 1 8 需要假設系統(tǒng)動態(tài)是輸入仿射的且輸 入增益有界上述方法不僅要求系統(tǒng)動態(tài)完全已知，而且各有其局限性，所以 如何擴大所設計的觀測器的應用范圍是觀測器設計中的重要內容 因為在實際系統(tǒng)中不可避免地存在著未建模動態(tài)或不可測擾動，因此研 究具有較強穩(wěn)定魯棒性的觀測器設計成為狀態(tài)估計能否在x - 程設計中得到應 用的關鍵技術。m i f i n o 1 9 對能精確線性化為觀測器標準型的帶有線性參數 化不確定性的非線性系統(tǒng)，利用正實性或濾波變換方法得到漸近自適應觀測 器該方法要求系統(tǒng)滿足嚴格參數和幾何線性化條件，因而很少系統(tǒng)能夠滿足； 而s 弧e r 2 0 所構造的p i 型觀測器只能抑制( 漸近) 有界的非線性擾動；對偶 于不確定性系統(tǒng)的二次型鎮(zhèn)定，c h e n g f ac h e n g 2 1 1 等描述了一種建立非線 性魯棒觀測器的新方法，可是必須進行復雜的滿足約束條件的r i c c a t i 方程 求解并且也只能抑制有界的非線性擾動。z a k 2 2 弦j 用變結構方法得到了一 種魯棒觀測器但是未建模動態(tài)必須滿足輸入和輸出匹配條件。此外，l y n c h l 2 3 提出基于插值函數逼近的非線性觀測器設計方法，該方法避免了廣義特征方 程的求解上述設計方法都是針對特定的非線性系統(tǒng)提出來的，因而具有較強 魯棒性、適用范圍更廣的觀測器設計問題有待深入研究。 1 2 非線性系統(tǒng)反饋控制的發(fā)展 近二十年朱，非線性系統(tǒng)控制得到了較大的發(fā)展，獲得一系列深刻的理論 結果，并在實際中得到許多成功的應用在眾多方法中，最為引人注目的方法有： 微分幾何反饋線性化方f l - 9 、變結構方法 4 ，2 4 、預測控制方；l - 2 5 ，2 6 】及人 工智能方法1 l ，2 7 1 等等， 自微分幾何反饋線性化方法提出以來，該方法在理論和應用方面得到了 較大的發(fā)展s a s t r y 2 8 將該方法和自適應技術結合起來設計了非線性自適應 控制器k o k o t o v i c 2 9 ，k r i s t c 3 0 等人在此基礎上發(fā)展了系統(tǒng)的反向設計方法； s l o t i n e 4 等對此類系統(tǒng)設計了滑動?？刂撇⒆C明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；張濤 1 0 等將神經網絡的逼近性質用于此類系統(tǒng)的控制，獲得基于神經網絡的穩(wěn)定 自適應控制；張?zhí)炱?1 1 】等利用模糊推理方法對這類系統(tǒng)設計了自適應輸出 反饋模糊控制器；k h a l i l 3 1 】等人基于高增益觀測器和飽和控制方法對反饋線 3 博士后研究報告 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 性化非線性系統(tǒng)設計了輸出反饋控制器，其后將該方法擴展到自適應控制 3 2 1 ： 為避免因高增益而導致峰值現象的發(fā)生，出現了基于觀測器狀態(tài)受限的自適 應輸出反饋控制器設計f 3 3 上述輸出反饋控制設計都需要應用線性高增益觀 測器來完成，且能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的半整體最終有界穩(wěn)定性s i r a r a m i r e z 3 4 1 對于滿足可觀性假設的仿射非線性系統(tǒng)設計了動態(tài)自適應反饋控制器上述 控制方法或者要求設計觀測器來實現輸出反饋控制，或者直接完成狀態(tài)反饋 控制，為提高控制器對非匹配時變不確定性的抑制能力，出現了兩種高增益控 制器設計方法，然而這兩磚方法并不能解決問題，相反，每一種設計都是錯誤 的，這一點可以通過兩個簡單的反例分析加以驗證 廣義預測控制是在自適應控制的發(fā)展過程中產生的，其基本原理是預測 模型、滾動優(yōu)化和反饋校正f 2 5 ，2 6 在預測控制中，優(yōu)化不是離線進行，而 是反復在線滾動的，這是預測控制區(qū)別于傳統(tǒng)最優(yōu)控制的根本點關于線性 系統(tǒng)的廣義預測控制，- - 4 f 3 已做了許多研究工作，建立了較完善的理論體系， 并日趨成熟f 2 5 ，2 6 廣義預測控制自問世以來，在工業(yè)控制過程中展現出廣 闊的應用前景，已成功地運用到各個領域，實踐表明它具有較強的魯棒性， 優(yōu)于常規(guī)的自適應控制但對于非線 生系統(tǒng)的預測控制，由于缺乏有效的數 學分析工具以及建立預測模型的困難，目前還沒有較為系統(tǒng)的行乏有效的研 究方法現在用的較多的是近似線性化方法f 3 4 3 6 】，即通過某種手段將非線 性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，再利用線性系統(tǒng)的已有方法進行控制這種方法在 一定范圍內可以有效地實現系統(tǒng)的控制，但是當系統(tǒng)大范圍運行時，由于近似 線性化方法的局部收斂t g , z - 4 s r 使建模誤差增大而導致系統(tǒng)性能下降或不穩(wěn)定 因此若能將非線性系統(tǒng)進行某種線性表示，再利用線性自適應廣義預測控制 方法，必將給系統(tǒng)的控制和分析帶來較大的方便。 g l 前，線性系統(tǒng)的自適應控制已經成為控制理論和工程應用最為活躍的 研究領域，并取得大量有價值的研究結果線性時不變系統(tǒng)的自適應控制結果 比較成熟，出現了許多有效方法并在實際中得到具體應用f 2 , 6 ，3 8 4 1 1 為了克服 外加擾動、測量噪聲或未建模動態(tài)對自適應系統(tǒng)的影響，提出并發(fā)展了許多 魯棒性辨識算法和魯棒自適應控制技術 4 2 - 4 4 為適應系統(tǒng)本身和環(huán)境的時 變特性及理論推導的完整 生，在不同的慢時變假設下，將時不變系統(tǒng)的自適應 方法進行適當修改而移植到慢時變系統(tǒng)上來 4 7 4 9 1 對于任意時變系統(tǒng)的自 適應控制還沒有太好的研究框架可以遵循 與線性系統(tǒng)相平行，非線性系統(tǒng)自適應控制也取得了長足的進展在線性 4 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 參數化假設下，提出多種設計方案【2 8 3 0 】，并在一定程度上討論了其算法的魯 棒性然而，建立系統(tǒng)的線 生參數化模型在復雜工業(yè)過程中，并不總能實現雖然 利用智能控制方法是解決這一問題的有效途徑，但是智能控制方法適時性較 差性雕于克服系統(tǒng)的任意時變特性 1 3 本文完成的主要工作 本文針對目前非線性系統(tǒng)控制研究中存在的幾個重要問題，完成了如下 工作： 1 利用給定系統(tǒng)輸出的y 算子逼近或占算子逼近方法，對可反饋線性化的 非線性系統(tǒng)設計了逼近觀測器和自適應觀測器，并證明了所設計觀測 器的實用穩(wěn)定性 2 針對現有的基于觀測器的輸出反饋控制器設計方法，利用占算子逼近 系統(tǒng)輸出導數的性質，設計了輸出反饋滑動?？刂破鳌討B(tài)輸出反饋 滑動?？刂破骷白赃m應輸出反饋滑動?？刂破鳎⒈ＷC了閉環(huán)系統(tǒng)的 穩(wěn)定性 3 針對實際應用中的多數非線性系統(tǒng)滿足線性增長性條件的特點，給出 了該類系統(tǒng)可線性反饋控制的充分條件，在此條件下，對由輸入輸出表 示的動態(tài)未知的離散非線 生系統(tǒng)，設計了自適應預測控制器；并將該方 法與時變連續(xù)系統(tǒng)的魯棒自適應極點配置方法相結合，實現了一類連 續(xù)非線性系統(tǒng)的自適應控制 4 對于兩類用于帶有非匹配時變不確定性的非線 生系統(tǒng)的高增益控制器 設計通過反例有效地證實了其穩(wěn)定性證明中存在的嚴重錯誤 5 博士后研究報告 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 2 基于逼近方法的非線性系統(tǒng)觀測器設計 本章首先基于y 算子逼近( 或差分算子逼近) 和滑動摸方法，對一類可線 性化的非線性系統(tǒng)，提出兩種新的觀測器設計方法，并通過李亞普諾夫方法 證明了所設計的觀測器的穩(wěn)定性，接著將李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和動態(tài)神經 網絡有機地結合起來，對一類不確定非線性系統(tǒng)提出了一種魯棒自適應觀測 器設計方案。該方法取消了現有方法中對非線性動態(tài)附加的輸出匹配條件的 限制，最后對三種方法進行了詳細的仿真研究，進一步證實了所提方法的有效 性 2 1 基于y 算子方法的非線性系統(tǒng)觀測器設計 該節(jié)利用y 一算子對微分算子的逼近性質，對一類可線性化的非線性系統(tǒng) 設計了觀測器 考慮由如下微分方程描述的單輸入單輸出非線性系統(tǒng) x “= f x ，z ”，x ( n - 1 ) , ) ( 21 1 ) 其中x ，! f r ，分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出x ( o ( 1 i ) 代表系統(tǒng)輸出x 的f 階導數。設x = z 。( o i f - 1 ) ，則方程( 2 1 1 ) 可寫成狀態(tài)方程表示如下 這里x = ，q a = x 。i t ， 01 ；0 0j o x = a x + b f t x ，f ， y = c x 且 00 、r o 、 1 oo b = o i ，c 7 = 假設采樣時間為r 0 ，則后向y 一算子( 4 9 可記為 6 o k ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 y = ；嵩 ， 于是y ，y 逼近d y a t 的精度為o ( r 2 ) ，顯然有 z 2 = 2 】zy ，y( 2 1 5 ) 以此類推，輸出的高階導數值可由下式近似表示 z 3 = j 2 “y y f 2 1 6 ) z 。= j h 形。y 若采樣常數r 選取得足夠小，則系統(tǒng)( 2 1 1 ) 輸出的i 階導數可由如下的i 階y 算子逼近 y 1 “y ：y 0 ) 由此可見，函數f ( x ，f ，“) 可近似表示成輸出及其滯后測量的非線性函數與f 的高階項之和，即 f ( x ，“) = f ( y ，7 ，y ，y ? y ，t ，“) + e ( r ) ( 2 1 7 ) 其中e ( r ) 為f 2 的同階小量，即存在常數k 0 使得 i s ( r ) l k r 2 ( 2 1 8 ) 成立。 于是觀測器可設計為 扯a 2 + b f ( x , t , u ) + g c ( x - 2 ) + k i s a t ( ( y 一多) a ) ( 2 1 9 ) 多= c x 其中賈= y ，y 。y ，? 。y 7 ，而常數k 。 k r 2 ，g 為設計矩陣使得 a g = a g c 的特征值均具有負實部。為了補償式( 2 1 7 ) 中的近似誤差s ( r ) ， 在( 2 ，1 9 ) 中引入飽和函數刪r ，其定y , a = t f1 ，x a 1 其中a 為飽和界，適當選擇口可以有效地補償近似誤差而提高觀測器的精度， 但是a 不應取得過小，因為這樣會導致觀測器動態(tài)中產生高頻振蕩 定義狀態(tài)估計誤差向量為2 = 一2 ，則可得狀態(tài)估計誤差和輸出誤差 方程如下 7 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 扯a a 工+ 州7 ) + k i s a t ( y 口) )( 2 1 1 1 ) 歹= c x 對給定的正定矩陣q ，設正定矩陣p 滿足如下的李亞普諾夫方程的解 a ：p + p a g = 一q b 7 p ：c 選擇李亞普諾夫函數為 v ：又tp x 沿著誤差系統(tǒng)( 2 1 1 1 ) 微分v ，可得 寸：曼tp 愛 鬟tp 受 = 矽( a r p + p a g ) 戈+ 2 ( s ( f ) + k l s a t ( y a ) ) b 7 所 一牙7 q x + 2 a b 7 p l l l 玉一丑。( q ) 阿+ 2 a p p l li 當吲 2 口p p i l 2 , , , ；。( q ) ，有 礦0 于是可得如下結論 ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) f 2 1 1 4 ) 定理2 1 ：假設系統(tǒng)( 2 1 2 ) 滿足輸入狀態(tài)有界穩(wěn)定性，且非線性函數 f ( x ，r ，“) 連續(xù)可微，則觀測誤差j 是指數穩(wěn)定于一開鄰域占( ) 內，而開鄰 域b ( f 1 ) 定義為 b ( p ) = z 叫盧 ( 21 1 5 ) 這里= 2 口舊7 p i x 。( q ) 。 注：從理論上講，為了滿足高精度要求，聲= 2 0 ，定義輸出及其滯后測量_ y 0 f ) 的后向差商， 即后向占算子【4 8 為 d 。y = ，( ，) 一y ( t f ) ( 2 2 1 ) 于是皿) ，逼近方卉的精度為( ) ，顯然有 乃2 毛。d ，yr 222 ) 以此類推，輸出的高階后向差商可表示為 d 2 t - i ( d ，y ( f ) 一d ，y ( t f ) ) = r 一2 ( y ( ，) 一2 y ( t f ) + y ( t 一2 r ) ) ( 2 23 ) d ；y 2 t - ( d ? “j 一( f ) d ? j o f ) ) = 2 - n z - 。( 一1 ) 。c 2 y ，一i r ) 這里c 為由胛個中選擇f 個的組合數 若滯后常數r 選取得足夠小，則由上式可知，系統(tǒng)的輸出的f f o 蘭i s ”一1 1 階導數可由如下的i 階后向差商y 逼近 x ，“= x d ：y 由此可知，函數f ( 肖，) 可近似表示成輸出及其滯后測量值的非線性函數與 其逼近誤差e ( r ) 之和，即 f ( x ，f ，“) = f ( y ，q 弘，d ? y ，“) + 占( f )f 2 24 ) 其中占( f ) 為f 的同階小量，日p 存在常數世 0 使得下不等式成立 i s ( f ) j k r ( 2 2 5 ) 于是觀測器可設計為 2 = ，a 。y e + 卵( x , t , u ) + g c ( 肖一露) + k j s a r ( ( y - 多) c t )( 2 2 6 ) p = 哪 、 其中= 眇，d ，y ，d ? 。糾7 ，s a t 為飽和函數，由( 2 1 1 0 ) 定義而常數 k t k r ，矩陣g 為設計矩陣，使得如= a g c 是漸進穩(wěn)定的 定義狀態(tài)估計誤差向量為牙= 并一譬，由( 2 1 2 ) ，( 2 2 6 ) 得狀態(tài)估計誤差 方程如下 9 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 x = 爿g x + b ( 占( f ) + k j 刪r ( 歹口) ) f 2 2 7 、 ，= c 又 其中常數a 0 由設計者根據精度要求來選擇。 列給定的正定矩陣q ，設正定矩陣尸是如下李亞普諾夫方程的解 4 ；尸+ p a g q f 2 2 8 ) b7 p = c 選擇李亞普諾夫函數為 y = j 7 面 ( 2 2 9 ) 沿著誤差系e z ( 2 2 7 、微分i ，得 驢：甏tp 愛+ 甏t p 曼 = j 7 ( 爿；p + p a g ) 舅+ 2 0 0 ) + k 8 a t ( y a ) ) b 7 廚 一足r 西+ 2 a b r p l l 巖l 2 川 s 一 。( q ) l 戈j2 + 2 a b 7 p i 戈l 當吲 2 dj b 7 p t i 。( q ) ，有 礦0 于是可得如下結論 定理2 2 ：假設系統(tǒng)( 2 2 2 ) 滿足有界輸入輸出穩(wěn)定性，且非線性函數 f ( x ，f ，“) 連續(xù)可微，則觀測誤差牙是指數收斂到原點的開鄰域b ( ) 內，而 b ( f 1 ) 定義為 b ( p ) = z 1 h ) ( 2 2 1 1 ) 這里= 2 口l b 7 p i , 。( q ) 。 注：= 2 口舊7 p l 五。( g ) 中的口雖然可以任意選擇，但是在工程中，應考 慮飽和函數大小對系統(tǒng)性能的正反兩方面的影響而折衷選取。 2 2 2 基于d 算子的自適應觀測器設計 當系統(tǒng)( 2 ，2 2 ) 中的非線性函數f ( x ，f ，“) 未知且滿足線性參數化條件時 為了能夠更好地完成系統(tǒng)的狀態(tài)估計，有必要討論自適應觀測器設計為此 l o 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 假定非線性函數f ( x ，f ，“) 滿足線性參數化假設，即存在未知常參數 o = 口，0 2 ，o p 】7 o 矗9l i o i y ) cr 9 和已知非線性函數f ( x ，r ，“) ( 1 i p ) ，使得下式成立 f ( x ，“) = 墨l o ，只( x ，“) = o 7 f ( x ，“)( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 1 2 ) 式可知，f ( x ，“) 叉可記作 y ( x ，r ，“) = f ( y ，d f y ，一，d ? y ，r ，“) + 手( f ) ( 2 2 1 3 ) 其中g r ) 類似于( 2 2 5 ) e e 占( r ) ，滿足 l i ( f ) l k r ( 2 2 1 4 ) 類似亍( 2 26 l 自適應觀測器可設計如下 雪= 且?guī)r+ 縣( 6 7 f ( r ，f ，“) 十g c ( x 一膏) + 足2 s a t ( ( y 一) l a ) f 2 2 15 1 = c 殳 其參數自適應律設計為 6 = f f 一( x ，t ，u ) y ( 2 2 1 6 ) 由( 2 2 2 ) ，( 22 1 5 ) 可得估計誤差方程為 譬= a g 戈+ 占 否7 f ( 牙，r ，“) + 2 ( s p ) + k 2 s a t ( y a ) f 2 2 1 7 1 歹= c 戈 這里西= o 一6 ，且足：露l o 卜 因為。為常數，則參數估計誤差方程可表示為 舀= 一f f 一( x 一，f ，u ) y ( 2 2 1 8 ) 定義李亞普諾夫函數為 礦：戈7 西+ 為f 。否( 2 2 1 9 ) 由( 2 2 1 7 ) 、( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) ，類似于( 2 2 1 o ) 的推導，可得如下結論： 定理2 2 2 ：假設系統(tǒng)( 2 2 2 ) 滿足輸入狀態(tài)有界穩(wěn)定性，且非線 生函數 f ( x ，r ，”) 連續(xù)可微，則觀測誤差戈是指數收斂到原點的開鄰域口( 盧) 內，而 b ( ) 定義為 _ b ( 盧) = z 1 h s 盧) ( 2 2 2 0 ) 且參數估計7 t 其估計誤差是有界的這里= 2 a l 占1 p i 五m m ( q ) 注： 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 ( i ) 與變結構方法【2 2 】相比，本文方法不要求輸出匹配務件雖然【1 8 中的 方法比本文的設計簡單，但是本文中設計不僅考慮了非線性動態(tài)的一般結構， 而且還充分利用了其動態(tài)特性，所以本文的估計精度要比c h a n g 1 8 1 中所提出 的方法更高 ( i i ) 由于參數自適應律( 2 2 1 6 ) 中的收斂性仍然依賴于持續(xù)激勵條件，若采 用投影算法或仃一修正算法，本文的算法不僅效果會更好，而且持續(xù)激勵條件 可以去掉【5 0 ( i i i ) 如果給定系統(tǒng)( 2 2 1 ) 中的非線性函數不僅是輸出及其導數的函數，而 且還是輸入及其導數的函數，此時，系統(tǒng)( 2 2 1 ) 稱為廣義觀測器標準型，顯然本 文的方法對具有廣義觀測器標準型的系統(tǒng)仍然適用 2 3 基于動態(tài)遞歸神經網的非線性系統(tǒng)自適應觀測器設計 該節(jié)我們基于動態(tài)遞歸神經網對一類不確定非線性系統(tǒng)提出一種新的魯 棒自適應觀測器設計方法。在網絡權學習過程中，沒有離線學習的要求。由 于采用新的權學習律，因而在權學習律的穩(wěn)定 生分析中，沒有持續(xù)激勵要求。 在李亞普諾夫穩(wěn)定性理論的基礎上，得到了觀測器的穩(wěn)定 生。與已有結果相 比，不要求不確定非線性動態(tài)的輸出匹配和線性增長性等條件。 考慮如下不確定非線性系統(tǒng) 量= a x + f ( x ，“) y = c x 這里x r ”，c r ”9 假設向量函數f ( x ，r ，b t ) 是未知的。 為后面討論問題的需要，給出如下必要的假設： a 1 ) ( a ，c ) 是可觀測的。 a 2 ) 存在向量酗u r h ( x ，r ，“) 使得如下矩陣方程成立 p 廠( x ，f ，“) = c 1 ( x ，f ，“) 其中正定矩陣p 滿足如下李亞普諾夫方程 爿：尸+ p a 。= 一q ， 1 2 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研密 這里q 0 為給定的正定矩陣。 2 3 2 動態(tài)神經網絡結構 一個動態(tài)神經網絡可以通過任一線性系統(tǒng)加上一個由前饋網絡形成的非 線性映射n n ( z ) 而構成 5 1 】，其結構如下圖2 3 1 所示a 圖2 , 31 廣義神經網絡結構圖 給定系統(tǒng)狀態(tài)向量z r ”，上述的廣義動態(tài)神經網絡( d 鼢蝌) 可以由如 下微分方程表示 名= 以z + b 警仃( 薹，v 肚z t 枷。) 枷。) j ( 2 1 4 ) f = c z i isq 于是具有一層網絡的d r n n 以緊湊形式可寫成 名= 爿z + 日眵盯( z ) + “】 ( 2 _ 3 5 ) = c z 2 3 3 動態(tài)神經網絡觀測器設計 利用f 2 ，3 5 ) 和網絡的逼近性質，一個非線性觀測器可以很容易得到。正如 下面所要證明的，基于結構條件和李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，所有誤差信號都 將有界。 根據已知的網絡逼近p z , 質- ，( 2 3 f 2 ) 中的連續(xù)向量函數h ( x ，f ，“) 可以通過具 有理想權值吼和充分多的輸入基函數盯( ) 的前饋網絡表示出來，即 m ，蜘) = 呀( 圳) + ( f ) h f ) l t - , l l w a - 0 。 證明：由( 2 3 6 ) 和叮( ) 的性質這個結論是顯然的。 于是觀測器及其誤差動態(tài)變成 i = 爿+ p 一1 c ( ( i ，“) + v 2 ) + g c ( x 一曼) r 23 1 0 、 歲= c f 弄口 寶= a 。i + p 一c ( ( r ) + 毛( r ) + 即氏( 王，“) 一v ) f 2 3 1 歹= g 其中d - 記作基函數盯( ) 在被估狀態(tài)( j ，“) 點的取值。 以上提出的神經網絡觀測器產生一個由插入到反饋通道以逼近系統(tǒng)非線 性的前饋網絡和一線性系統(tǒng)組成的廣義動態(tài)神經網絡，這種網絡形式首先在 f 5 1 中提出，因為一個廣義動態(tài)神經網絡是由任一線性傳遞函數和非線性映 射( 也稱靜態(tài)反饋網絡) 組成的，所以由( 2 3 1 ) 給定的非線性系統(tǒng)可由動態(tài)神經 網絡來近似表述。在網絡能夠通過反饋線性系統(tǒng)的輸出信息而逼近非線性動 態(tài)的意y - t 。如上所述結構也可以看作外部遞歸動態(tài)網絡 s 3 1 。 2 3 4 基于李亞普諾夫方法的觀測器穩(wěn)定性分析 下面通過李亞普諾夫方法獲得被估權吃的在線調整規(guī)律，同時保證某一 李亞普諾夫函數v 沿著觀測器誤差動態(tài)系統(tǒng)的導數是非正的，從而保證觀測 器的收斂性 1 4 博士后研究報告 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 為, b 考慮如下的李亞普諾夫函數 v = z 7 t + r ，( i 7 r 。1 ) ( 2 3 1 2 ) 設p 是李亞普諾夫方程( 2 3 3 ) 的解，對于滿足條件( 2 3 2 ) 的系統(tǒng)( 2 3 1 ) ，利用 函數a ( x ，r ，“) 的網絡估計( 2 3 7 ) ，沿著( 2 3 11 ) 微分e 得 礦= 一譬7 i 參+ 2 t r ( w r 一吃) + 2 ，( x ，f ，“) 一a ( 曼，“) 一v ) 7 c 譬( 23 1 3 ) 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) f f ，( 2 3 1 2 ) ，有 礦= 一z 7 1 萬+ 2 t r ( w r - 1 哌) + 2 彩，子 ( 曼，“) + w + s 一v ) 7 c 譬( 23 1 4 ) 若分別取魯棒項和參數自適應律為 v = d s a t ( y ) ，哦= 一r 2 驢+ i 6 - ( i ) 羅 ( 23 1 5 ) 其中d 尻，且s a t 為前面g 經k s l t 的飽和函數 記f i = y - i r 2 ，利用如下不等式， t r ( t r 】( 哆一只) ) 五。( r 1 ) i 眵憶一k 。( 酬杉 一九。c ) 4 i 帝j i | ，一器) 2 + 器 一 則礦的導數變?yōu)?礦s 矗。( 劍兩2 + 閉 ，( 露( 磁一露) ) 十p + 氣。+ 孱一d 】 蒯2 噸弼慨一薏器) 2 + 薏器m b 3 1 6 ， “劇劂i 晰驢捌，一憊器) 2 + 降器p 啡淵 當 忙犯j 幽i m ；o ( q ) 矧j ，筆導， 時，得 礦0 ( 2 3 ，1 8 ) 按李亞普諾夫穩(wěn)定性定理，( 2 3 1 7 ) 表明，舅，哆是一致最終有界妁。 由此可得： 博士后研究報告非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 定理2 3 1 ：假定滿足條件( 2 3 2 ) 的系統(tǒng)( 2 3 1 ) 是輸入狀態(tài)有界穩(wěn)定的，其 觀測器由( 2 3 1o ) 給出，而魯棒項v 和參數自適應律由( 2 3 1 5 ) 給定。則狀態(tài)估 計和網絡權估計是一致有界的，并且它們的誤差是一致最終有界的 注： f i ) 與已有結果相比，本文結果去掉了【2 2 中對非線性動態(tài)的輸出匹配條 件及附加在b 、c 的滿秩奈件的限制，并且未知非線性可在線逼近，因此本文 提出的觀測器方法擴大了文【2 2 】的應用范圍 ( i i ) 從( 2 3 1 6 ) = - 司- 看出，若適當增大矩陣q 的特征值，觀測誤差可設計得 很小而滿足設計者的精度要求 2 4 觀測器設計實例和仿真研究 這里我們通過三個簡單的例子及其仿真研究，說明本節(jié)所提觀測器的設 計方法及其有效性。 例2 4 ，1 考慮非線性系統(tǒng) 膏l(xiāng) = x 2 寶2 = 一0 3 x l + 一x 2 + 工2 礦 ( 2 4 - 1 ) y 2x 1 由2 i 節(jié)中所述方法，上述系統(tǒng)的觀測器可構造如下 毫= i 2 + l o ( x 1 一i l ) ；2 = 一0 3 x l + x l x 一2 + i 2 “3 + 1 0 ( x l 一毫) + k l s a t ( y a ) 夕= 曼。 其中 黼r ( 1 加) x ，= y 【r ) 一= 叫1 。 對所設計的觀測器進行數值仿真在仿真中，初始條件選為x ( o ) = ( o 5 ，o 】7 和 i ( o ) ：【o ，o 7 ，觀測器的設計參數選為f = 0 0 1 ，k l = l ，a = 0 1 ，而輸入信號取 “= s i n ( 5 0 t ) + c o s ( 2 t ) 。圖2 4 1 ( 1 ) # - 。t t l 了系統(tǒng)( 2 4 1 ) 的相平面曲線圖，圖2 4 1 ( 2 ) 畫出了狀態(tài)x t 及其估計的曲線，圖2 4 1 ( 3 ) 為狀態(tài)x 2 及其估計的曲線。從仿 真中可以看出，c h a n g 1 8 f h , t g , t t l 的時滯觀測器設計方法不適用于系統(tǒng)( 2 4 1 ) ， 1 6 博士后研究報告 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和控制中的若干問題研究 因為系統(tǒng)( 2 4 1 ) 中不是仿射非線性系統(tǒng)且輸入增益是無界的。 2 2 節(jié)所提出方法的有效性可以通過下面的例子加以驗證在仿真中，通 過自適應和非自適應方法的比較，說明引入自適應方法的必要性，同時也表明 該方法優(yōu)于z a k 2 2 1 中所述的方法 例2 4 2 為簡單起見，僅考慮如下已線性化了的非線 生系統(tǒng) 丈l = x 2 量2 = 一0 3 x l + o j x l x 2 + 0 2 x 2 “3( 2 4 2 ) y 2 一 該系統(tǒng)的觀測囂設計可以參照2 2 節(jié)的推導過程，在此略去 在仿真過程中，初始條件選為x ( o ) = 0 5 ，0 】7 和量( o ) = 【o ，o 7 ，觀測器的 設計參數選為k i = 0 5 ，0 t = 0 2 = 1 ，g = 【1 0 ，1 0 7 ，g z = f = o 1 或a = f = o 0 1 ，而 輸入信號取為“= s i n ( 5 0 t ) + c o s ( 2 t ) 。仿真結果如圖2 4 2 所示其中圖2 4 2 ( 1 ) 給出了系統(tǒng)的狀態(tài)曲線，圖2 , 4 2 ( 2 ) 為應用c h a n g 1 8 的時滯觀測器方法于系 統(tǒng)( 2 4 1 ) 所得的估計誤差曲線，圖2 4 2 ( 3 ) 為應用2 2 節(jié)中非自適應時滯觀測 器在甜= r = 0 1 和口= f = o o l 時的估計誤差曲線，圖2 4 2 ( 4 ) 為用2 2 節(jié)自適 應時滯觀測器在a = f = 0 1 時系統(tǒng)的誤差曲線，圖2 4 2 ( 5 ) 為利用2 2 節(jié)自適 應時滯觀測器在口= r = o 1 時系統(tǒng)的估計參數曲線，圖2 4 2 f 6 ) 為用2 2 節(jié)非 自適應時滯觀測器在口= 0 1 ，f = o 叭時系統(tǒng)誤差曲線，圖2 4 2 ( 7 ) 為用2 2 節(jié) 自適應時滯觀測器在口= o 1 ，f = o 0 1 時系統(tǒng)誤差曲線，圖2 4 2 ( 8 ) 為用2 2 節(jié) 自適應時滯觀測器在口= 0 1 ，f = o o l 時系統(tǒng)的估計參數曲線 從圖中可以看出，本文方法由于充分利用了系統(tǒng)的非線性動態(tài)，因而可 以對原系統(tǒng)的狀態(tài)實現較高精度的估計，因而優(yōu)于c h a n g t 8 提出的時滯觀測 器方法。本文提出的方法與z a k 【2 2 】方法相比沒有輸出匹配的限制嚴格地 說，時滯觀測器 1 8 】同樣不適用于系統(tǒng)( 2 ，4 ，2 ) 由仿真還可看出，選擇不同的 滯后時間，所得的仿真效果也不一樣，滯后時間越小估計誤差越，j 、，因此本文 方法適用可進行小滯后測量或高速采樣測量的非線性系統(tǒng)，這與張端金 4 8 】中 所陳述的結果相吻合， 下面例子用來說明2 3 節(jié)動態(tài)神經網絡觀測器的設計步驟壽口效果通過與 線性l u n b e r g e r ( 1 2 】觀測器相比較，較好地說明，本文提出的魯棒觀測器能夠適 時地補償系統(tǒng)中存在的不確定性，從而提高了所設計觀測器的精度和魯棒性 1 7 堡圭生竺塞墨蘭非線性