電磁場與電磁波(第4版)第1章部分習(xí)題參考解答.pdf

1 1 給定三個矢量 A B 和C如下 23 xyz Aeee 4 yz Bee 52 xz Cee 求 1 2 A e AB 3 A B 4 AB 5 A 在B 上的分量 6 7 A C AB C 和 A BC 8 A BC 和 AB C 解 1 222 23 12 141414 12 3 xyz Axy eee A eee A 3 z e 2 23 4 64 xyzyzxyz ABeeeeeeee 53 11 3 23 4 xyzyz A Beeeee 4 由 1111 cos 1417238 AB A B A B 得 11 arccos 135 5 238 AB 5 A 在B 上的分量 11 cos 17 BAB A B AA B 6 12341310 502 xyz xyz eee A Ceee 7 因為041852 502 xyz xyz eee 0B Cee e 12310 041 xyz 4 xyz eee A Beee 所以 23 8520 4 xyzxyz AB Ceeeeee 2 104 52 4 xyzxz A BCeeeee 2 8 1014240 502 xyz 5 xyz eee A BCeee 1235544 8520 xyz xyz eee AB Ceee 11 1 2 三角形的三個頂點為 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 1 判斷是否為一直角三角形 2 求三角形的面積 123 PP P 解 1 三個頂點 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和的位置矢量分別為 3 6 2 5 P 1 2 yz ree 2 43 xyz reee 3 625 xyz reee 則 1221 4 xz Rrree 2332 28 xyz Rrreee 3113 67 xyz Rrreee 由此可得 1223 4 28 0 xzxyz RReeeee 所以 123 PP P 為一直角三角形 2 三角形的面積 12231223 111 176917 13 222 SRRRR 1 3 求點到點的距離矢量 3 1 4 P 2 2 3 P R 及R 的方向 解 點和點的位置矢量分別為 3 1 4 P 2 2 3 P 34 Pxyz reee 223 Pxyz reee 則 53 P PPPxyz RRrree e 且 P P R 與x yz軸的夾角分別為 5 arccosarccos32 31 35 xP P x P P eR R 3 arccosarccos120 47 35 yP P y P P eR R 1 arccosarccos99 73 35 zP P z P P eR R 4 1 4 給定兩矢量23 xyz Aeee 和456 xyz Beee 求它們之間的夾角和在A B 上的分量 解 222 23 4 29A 222 45677B 234 456 31 xyzxyz A Beeeeee 故與A B 之間的夾角為 31 arccosarccos131 2977 AB A B A B A 在B 上的分量為 31 3 532 77 B B AA B 1 5 給定兩矢量234 xyz Aeee 和64 xyz Beee 求A B 在 xyz Ceee 上的分量 解 23413221 641 xyz xyz eee A Beee 0 132210 25 xyzxyz A BCeeeeee 222 1 1 13C 所以 A B 在上的分量為C 25 14 43 3 C A BC A B C 1 6 證明 如果A BA C 和ABA C 則BC 證 由 得ABA C AA BAA C 即 A B AA A BA C AA A C 由于 于是得到 A BA C A A BA A C 所以 BC 1 7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積 那么便可以確定該未 知矢量 設(shè)A 為一已知矢量 pA X 而PAX p和P 已知 試求X 解 由 有PAX A PAAXA X AA A XpAA A X 故得 2 pAA PpAA P X AA A 1 8 在圓柱坐標(biāo)系中 一點的位置由 2 4 3 3 定出 求該點在 1 直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo) 2 球坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 解 1 在直角坐標(biāo)系中 22 4cos 2 4sin 2 3 3 33 xyz 故該點的直角坐標(biāo)為 2 2 3 3 2 在球坐標(biāo)系中 22 2 435 arctan 4 3 53 1 rad120 3 r 故該點的球坐標(biāo)為 5 53 1 120 1 9 用球坐標(biāo)表示的場 2 25 r Ee r 1 求在直角坐標(biāo)中點 3處的 4 5 E 和 x E 2 求在直角坐標(biāo)中點 3處 4 5 E 與矢量22 xyz Beee 構(gòu)成的夾角 解 1 在直角坐標(biāo)系中 3點處 4 5 222 3 4 5 5 2r 故 2 251 2 r Ee r 又在直角坐標(biāo)系中 3點處 4 5 345 xyz reee 所以 23 34 2525 10 2 5 xyz r eee Eer rr 故 33 2010 2 xx EeE 2 2 222 2 2 1B 3 在直角坐標(biāo)中 3點處 4 5 345 19 22 10 210 2 xyz xyz eee E Beee 故 與E B 構(gòu)成的夾角為 19 10 2 arccosarccos153 6 3 2 EB E B E B 1 11 已 知 標(biāo) 量 函 數(shù) 求在 點 2 3 1 處 沿 指 定 方 向 2 ux yz u 34 505050 lxyz eeee 5 的方向?qū)?shù) 解 2222 2 xyzxy uex yzex yzex yzexyze x ze x y xyz 2 z 故沿指定方向 34 505050 lxyz eeee 5 的方向?qū)?shù)為 22 645 505050 l uxyzx z u e l x y 點 2 3 1 處沿的方向?qū)?shù)值為 l e 2 3 1 361660112 50505050 u l 1 12 已知標(biāo)量函數(shù) 1 求 222 23326uxyzxyz u 2 在哪些點上 等于0 u 解 1 23 42 66 xyzxyz uuu ueeeexeyez xyz 2 由 23 42 66 0 xyz uexeyez 得 3 2 1 2 1xyz 1 13 方程 22 22 2 2 xyz u abc 給出一橢球族 求橢球表面上任意點的單位法向矢量 解 由于 222 222 xyz xyz ueee abc 222 222 2 xyz u abc 故橢球表面上任意點的單位法向矢量為 22 222222 nxyz u 2 xyzxyz eeee abcabcu 1 14 利用直角坐標(biāo)系 證明 uvu vv u 證 在直角坐標(biāo)系中 xyzxyz xyz xyz vvvuuu u vv uu eeev eee xyzxyz vuvuvu euveuveuv xxyyz uvuvuv eee xyz uv z dS 1 15 一個球面S的半徑為5 球心在原點上 計算 3sin r S e 的值 解 3sin 3sin rr SS edSee rdS 2 22 00 3sin5 sin75d d 1 16 已知矢量 試確定常數(shù) b c 使為無源場 222 2 xyx Ee xaxzexybye zzczxxyz aE 解 由 得 2 2 1 22 0Exazxybzcxxy 2 1 2abc 1 17 在由5 和圍成的圓柱形區(qū)域 對矢量0z 4z 2 2 z Aeez 驗證散 度定理 證 在圓柱坐標(biāo)系中 22 1 2 3Az z 2 所以 425 000 32 1200 V AdVdzdd 又 SSSS A dSA dSA dSA dS 上下柱面 2525 000040 24 005 2524 2 0000 5 2 4551200 zz zz Aed dAed d Aedzd d ddzd 故有1200 VS AdVA dS 1 18 1 求矢量的散度 2 求 22222 24 xyz Ae xe x yex y z 3 A 對中心在原 點的一個單位立方體的積分 3 求A 對此立方體表面的積分 驗證散度定理 解 1 222223 22 24 2272 xx yx y z Axx yx y z xyz 22 2 A 對中心在原點的一個單位立方體的積分為 1 21 21 2 2222 1 21 21 2 1 2272 24 V AdVxx yx y zdxdydz 3 對此立方體表面的積分為 A 22 1 21 21 21 2 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 3 1 21 21 2 2222 1 21 211 2 11 22 11 22 11 2424 22 S A dSdydzdydz xdxdzxdxdz x ydxdyx y 3 1 2 2 1 24 dxdy 故有 1 24 VS AdVA dS 1 19 計算矢量r對一個球心在原點 半徑為a的球表面的積分 并求對球體 積的積分 r 解 2 23 00 sin4 r SS r dSr e dSdaada 又在球坐標(biāo)系中 2 1 rr r rr 3 所以 2 23 000 3sin4 a V rdVrdrd da 1 20 在球坐標(biāo)系中 已知矢量 r Ae ae be c 其中 b和 均為常數(shù) 1 問矢量是否為常矢量 2 求 ac A A 和A 解 1 222 AAA Aabc 即矢量 r Ae ae be c 的模為常數(shù) 將矢量 r Ae ae be c 用直角坐標(biāo)表示 有 sincoscoscossin sinsincos sincos cossin r x yz Ae ae be c e abc e abce ab 由此可見 矢量A 的方向隨 和 變化 故矢量A 不是常矢量 有上述結(jié)果可知 一個常矢量C 在球坐標(biāo)系中不能表示為 r Ce ae be c 2 在球坐標(biāo)系中 2 2 1112 sin sinsinsin cab Ar ab rrrrrr cos 2 sin 1cos sinsin sin r r r erere cc Ae rrrr ArArA b ee r 1 21 求矢量 22 xyz Ae xe xe y z 沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線 積分 此正方形的兩邊分別與x軸和軸相重合 再求yA 對此回路所包圍的 曲面的面積分 驗證斯托克斯定理 解 如圖題1 21所示 可得 y x C 2222 00000220 2222 2 0000 20 8 xyxy Cyxyx A dlAe dxAe dyAe dxAe dy xdxdyxdxdy 又 22 22 xyz xz eee Ae xyz xxy z yzex 所以 2222 0000 22 28 xzz S A dSeyzexe dxdyxdxdy 故有8 CS A dlA dS 1 22 求矢量 2 xx Ae xe xy 沿圓周 222 xya 的線積分 再計算A 對此圓面積 的積分 解 2 CC A dlxdxxy dy 4 2 2422 0 cos sincossin 4 a aad 4 2 222 00 sin 4 a y x zz SSS A Aa A dSee dSy dSd d xy 1 23 證明 1 2 3r 0r 3 k rk 其中 xyz re xe ye z 為一常矢量 k 證 1 3 xyz r xyz 2 0 xyz eee r xyz xyz 3 設(shè) xxyyz ke ke ke k z 則xyz k rk xk yk z 故 xxyzyxyz zxyz xxyyzz k rek xk yk zek xk yk z xy ek xk yk z z e ke ke kk 1 24 一徑向矢量場用 r Fe f r 表示 如果0F 那么函數(shù) f r會有什么特 點 解 在圓柱坐標(biāo)系中 由 1 d Ff d 0可得 C f C為任意常數(shù) 在球坐標(biāo)系中 由 2 2 1 d Fr f r r dr 0可得 2 C f r r C為任意常數(shù) 1 25 給定矢量函數(shù) xy Ee ye x 試求從點 1 2 1 1 P 到點的線積分 2 8 2 1 P C E dl 1 沿拋物線 2 2xy 2 沿連接該兩點的直線 這個是保守場嗎 E 解 1 22 222 11 2 2614 xy CCC E dlE dxE