三角形內心的性質及其應用.doc

三角形內心的性質及其應用一基礎知識三角形的內切圓的圓心簡稱為三角形的內心，內心有下列優(yōu)美的性質：性質1：設I為ABC的內心，則I到ABC三邊的距離相等；反之亦然。性質2：設I為ABC的內心，則BIC = 90 +A/2,類似地還有兩式。性質3：設I為ABC的內心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分別為D、E、F；內切圓半徑為r,令p = (a+b+c) /2 , 則S ABC = p r ; ；AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; abcr = pAIBICI .性質4：三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD（D在ABC的外接圓上）上的點，且DI = DB，則I為ABC的內心。性質5：設I為ABC的內心，BC = a, AC = b, AB = c, A的平分線交BC于K ，交ABC的外接圓于D，則性質6：過ABC內心I任作一直線，分別交AB、AC于P及Q兩點，則或性質7：設ABC的內心為I，ABC內一點P在BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F，當P與I重合時，和式的值最小。性質8：設I1為ABC的內心，R為ABC的外接圓的半徑，則二、綜合應用：例1如圖，D是ABC的內心，E是ABD的內心，F(xiàn)是BDE的內心。若BDE的度數為整數，求BFE的最小度數。例2如圖，設點M是ABC的BC邊的中點，I是其內心，AH是BC邊上的高，E為直線IM與AH的交點。求證：AE等于切圓半徑r.例3如圖，設P為ABC內一點，APB-ACB = APC-ABC .又設D、E分別是APB及APC的內心，證明：AP、BD、CE交于一點。（第33屆IMO第2題）例4如圖，設三角形的外接圓半徑、內切圓半徑分別為R、r, 其外心、內心分別為O、I，若IO = d, 則d2 = R2 2Rr. 例5如圖，設ABC的外接圓O的半徑為R，內心為I，B = 60 , AC, A的外角平分線交圓O于E，證明：IO = AE；2RIO+IA+IC(1+)R.例6如圖，在ABC中，有一個圓O內切于ABC的外接圓O，并且與AB、AC分別相切于P、Q。求證：線段PQ的中點I是ABC的內心。例7ABC的A的平分線與ABC的外接圓交于D，I是ABC的內心，M是邊BC的中點，P是I關于M的對稱點（設點P在圓內），延長DP與外接圓交于點N。試證：在AN、BN、CN三條線段中，必有一條線段中另兩條線段之和。例8如圖，在ABC中，O是外心，I是內心，C = 30 , 邊AC上的點D與邊BC上的點E，使AD = BE = AG，求證：OIDE，OI = DE。例9如圖，在ABC中，AB = 4 ，AC = 6，BC = 5，；A的平分線AD交ABC的外接圓于K。O、I分別為ABC的外心、內心。求證：OIAK。例10如圖，在直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，連結ABD的內心與ACD的內心的直線，分別與AB邊交于K，與AC邊交于L，ABC與AKL的面積分別記為S與T，求證：S2T. 例11如圖，在ABC中，ABAC, ADBC , D為垂足，過RtABD的內心O1和RtACD的內心O2的直線交AB于K，交AC于L ，若AK = AL ，則BAC = 90 .強化訓練1已知圓O1與圓O2于點C，延長O1A交圓O2于點C，延長O2A交圓O1于點D，求證：A是BCD的內心。2在RtABC中，C = 90 , CD是斜邊上的高，O1 、O2分別是ACD和BCD的內心，求證：AO2C =BO1C.3設ABC的內切圓I與AB、AC邊分別切于點E、F，射線BI、CI分別交EF于點M、N。試證：四邊形AMIN與IBC的面積相等。4設I為ABC的內心，CI的延長線分別交邊AB及外接圓于D、K，求證： ；5在梯形A