數(shù)學競賽中的橢圓問題.doc

數(shù)學競賽中的橢圓問題韓保席江蘇省吳江市高級中學(215200)例1(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽) 在橢圓(ab0)中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B.若該橢圓的離心率是，則ABF=_.OAFB圖1分析：的三邊可用、來表示，再用余弦定理或勾股定理來求角. 解：由得，即. 如圖1有:，而，易見，故ABF=90. 評注：本題著眼于考查橢圓的基本量在圖中的表示. 例2(1997年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)在平面直角坐標系中，若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為（ ）A(0,1) B(1,+ C(0,5) D(5,+ 分析：如果把表達式配方成橢圓標準式，由于含有項，需要對坐標軸進行旋轉(zhuǎn)，而利用第二定義可以直接解決這一問題. 解：由可得：，也即：，此式表示的是點到定點的距離與到定直線的距離之比為，由第二定義及橢圓的離心率范圍得：，即. OPF1B圖2F2例3（第12屆希望杯高二試題）設(shè)是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使，則橢圓離心率的取值范圍是： . 分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P點位于短軸頂點B時最大，于是. 解：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為：、如圖2：在中，即. 這時，又橢圓離心率小于1，故所求的范圍是. OAPB圖3例4(2002年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)直線與橢圓相交于、兩點，該橢圓上點，使得的面積等于3這樣的點共有（ ）A1個B2個C3個D4個分析：作圖后可以發(fā)現(xiàn)，若的面積為3，則到的距離為即可. 解：如圖3，若在直線上方，設(shè)，則到直線的距離：，化簡得：舍去. 點不可能在直線的上方，顯然在直線的下方有兩個點. 評注：恰當?shù)乩脵E圓的參數(shù)方程，可以使解題過程簡明扼要. OAB圖4CF2例5（1996年上海市高中數(shù)學競賽）連結(jié)橢圓的右焦點與橢圓上的動點A，作正方形（、按順時針排列）. 則當點A沿橢圓運動一周后，動點C的軌跡方程是： . 分析：如圖4，C點可以看成是由繞點順時針旋轉(zhuǎn)90后得到的. 故用向量法，可方便解決. 解：設(shè)，易知則，所以，令則消去參數(shù)有. 評注：在解幾中利用向量這一嶄新有力的工具，可以減少推理過程，有效地降低思維量. ABNMF圖5例6（1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）給定已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是左焦點，當|BA|+|BF|取得最小值時，求B點坐標. 分析：如果設(shè)B的坐標，用距離公式求|BA|+|BF|,則計算相當繁瑣，而如果利用橢圓的第二定義把|BF|轉(zhuǎn)化為B點到準線的距離就簡單的多. 解：由題意得,. ,左準線為 過B點作左準線的垂線，垂足為點，再過點作左準線的垂線，垂足為點. 由橢圓的第二定義得：|= 于是:|+|=|+|（|長為定值）. 當且僅當點是線段與橢圓左面交點